DİZİLER

DİZİLER; Alın. Progressionen, Fr. Prögression,
İng. Progression. Tanım kümesi pozitif tam sayılar
olan bir fonksiyon. Bu fonksiyonun değer kümesi
reel sayılar ise. reel dizi: kompleks sayılar ise.
kompleks dizi adını alır, n’inci görüntüsü olan
f(n) = an ye genel terim denir. Terimleri aj. a2…..
an … olan bir dizi (a^ a2….. an …) veya kısaca (an)
şeklinde gösterilir. Örnekler:
1. (an) = (—) = ( l- “4-‘*4″…..— n 2 3 n .•••) O’dır.
2~ . (bn). = r2—n+l.) = (,3y 5 7 2n+l , T – 7 …..— r ) ^ ^ d.,
3. (cn) = (-1 )”n = (-1, 2. -3.4……..(-1 )”n……..j
4. (dn) = (2) = (2. 2 .2 ……….2………) – 2
Birinci dizi monoton azalan, ikinci dizi monoton
artan dizilerdir. Her n için an>an+1 ise dizi
monoton azalandır. an<an+1 ise dizi monoton artandır.
Birinci dizinin bütün terimleri 0 ile 1 arasında,
ikinci dizinin bütün terimleri ise 2 ile 3/2
arasındadır. Böyle alt ve üst sınırları olan dizilere
sınırlı diziler denir. Bâzı dizilerin alt sınırı reel savı
olup, üst sınırı belli bir sayı olmaz veya tersi
olur. Dizinin alt sınırına EBAS (en büyük alt sınır),
üst sınırına da EKÜS (en küçük üst sınır) denir.
Bir dizinin yakınsaklığı: Genel terimin limiti
belli bir sayı olan dizilere yakınsak dizi denir.
Belli bir limiti yoksa veya birden fazla limiti varsaDİZİLER; Alın. Progressionen, Fr. Prögression,
İng. Progression. Tanım kümesi pozitif tam sayılar
olan bir fonksiyon. Bu fonksiyonun değer kümesi
reel sayılar ise. reel dizi: kompleks sayılar ise.
kompleks dizi adını alır, n’inci görüntüsü olan
f(n) = an ye genel terim denir. Terimleri aj. a2…..
an … olan bir dizi (a^ a2….. an …) veya kısaca (an)
şeklinde gösterilir. Örnekler:
1. (an) = (—) = ( l- “4-‘*4″…..— n 2 3 n .•••) O’dır.
2~ . (bn). = r2—n+l.) = (,3y 5 7 2n+l , T – 7 …..— r ) ^ ^ d.,
3. (cn) = (-1 )”n = (-1, 2. -3.4……..(-1 )”n……..j
4. (dn) = (2) = (2. 2 .2 ……….2………) – 2
Birinci dizi monoton azalan, ikinci dizi monoton
artan dizilerdir. Her n için an>an+1 ise dizi
monoton azalandır. an<an+1 ise dizi monoton artandır.
Birinci dizinin bütün terimleri 0 ile 1 arasında,
ikinci dizinin bütün terimleri ise 2 ile 3/2
arasındadır. Böyle alt ve üst sınırları olan dizilere
sınırlı diziler denir. Bâzı dizilerin alt sınırı reel savı
olup, üst sınırı belli bir sayı olmaz veya tersi
olur. Dizinin alt sınırına EBAS (en büyük alt sınır),
üst sınırına da EKÜS (en küçük üst sınır) denir.
Bir dizinin yakınsaklığı: Genel terimin limiti
belli bir sayı olan dizilere yakınsak dizi denir.
Belli bir limiti yoksa veya birden fazla limiti varsa
bu diziye ıraksak dizi denir. 1. ve 2. örnekteki
dizilerin limitleri 0 ve 2 olduğundan yakınsaktırlar.
3. örnekteki dizinin içinde iki dizi vardır. Bunlar
(-1. -3. -5,… (-l)n n ….) ve (2.4.6.8…..(-l)n n,
…) dizileridir. Her iki dizinin de belli bir limiti yoktur.
Bu dizi .ıraksaktır. 4. örnekteki diziye sabit
dizi denir. Sabit dizilerde her ıı için an = an+1’diı\
((-1 )n) dizisi de ıraksaktır. Bu dizi (-1. 1. -1. 1. -1.
1 ….) şeklindedir. İki farklı limiti vardır. Biri (-1)DİZİLER; Alın. Progressionen, Fr. Prögression,
İng. Progression. Tanım kümesi pozitif tam sayılar
olan bir fonksiyon. Bu fonksiyonun değer kümesi
reel sayılar ise. reel dizi: kompleks sayılar ise.
kompleks dizi adını alır, n’inci görüntüsü olan
f(n) = an ye genel terim denir. Terimleri aj. a2…..
an … olan bir dizi (a^ a2….. an …) veya kısaca (an)
şeklinde gösterilir. Örnekler:
1. (an) = (—) = ( l- “4-‘*4″…..— n 2 3 n .•••) O’dır.
2~ . (bn). = r2—n+l.) = (,3y 5 7 2n+l , T – 7 …..— r ) ^ ^ d.,
3. (cn) = (-1 )”n = (-1, 2. -3.4……..(-1 )”n……..j
4. (dn) = (2) = (2. 2 .2 ……….2………) – 2
Birinci dizi monoton azalan, ikinci dizi monoton
artan dizilerdir. Her n için an>an+1 ise dizi
monoton azalandır. an<an+1 ise dizi monoton artandır.
Birinci dizinin bütün terimleri 0 ile 1 arasında,
ikinci dizinin bütün terimleri ise 2 ile 3/2
arasındadır. Böyle alt ve üst sınırları olan dizilere
sınırlı diziler denir. Bâzı dizilerin alt sınırı reel savı
olup, üst sınırı belli bir sayı olmaz veya tersi
olur. Dizinin alt sınırına EBAS (en büyük alt sınır),
üst sınırına da EKÜS (en küçük üst sınır) denir.
Bir dizinin yakınsaklığı: Genel terimin limiti
belli bir sayı olan dizilere yakınsak dizi denir.
Belli bir limiti yoksa veya birden fazla limiti varsa
bu diziye ıraksak dizi denir. 1. ve 2. örnekteki
dizilerin limitleri 0 ve 2 olduğundan yakınsaktırlar.
3. örnekteki dizinin içinde iki dizi vardır. Bunlar
(-1. -3. -5,… (-l)n n ….) ve (2.4.6.8…..(-l)n n,
…) dizileridir. Her iki dizinin de belli bir limiti yoktur.
Bu dizi .ıraksaktır. 4. örnekteki diziye sabit
dizi denir. Sabit dizilerde her ıı için an = an+1’diı\
((-1 )n) dizisi de ıraksaktır. Bu dizi (-1. 1. -1. 1. -1.
1 ….) şeklindedir. İki farklı limiti vardır. Biri (-1)halde bu üç sayı 11,15,19 sayılarıdır.
6. Sonlu bir aritmetik dizinin ilk n terim toplamı:
Sn = -4r— (at+an) veya:
Meselâ (4,11,18,25,…) dizisinin 10 terim toplamı:
Sıo –
10 (4+9.7) =5.67 = 335 bulunur.Geometrik dizi: k, 0 ve l ’den farklı bir reel
sayı olmak üzere (an) = (a. ak, ak2, ak3…..akn’ 1. …)
dizisine geometrik dizi denir. İlk terim olan a’yı sâbit
bir k sayısı ile çarparak dizinin terimleri elde
edilir. Geometrik dizinin genel terimi:
an = a.kn_1 dir. k>l ise artan, a<k<l ise azalan
dizi olur.
Sonlu bir geometrik dizinin özellikleri:
1. Bir geometrik dizide bir terimin kendinden
öncekine bölümü ortak çarpandır. Yâni:
an
—— = k’dır.
dn-l
a = 2, k = 3 için geometrik dizi, (2.6.18,54….) dır.Bu dizide:
54 6
18
18 – = 3 olur.2. Bir geometrik dizide her terimin karesi kendisinden
önceki ve sonraki terimlerin çarpımıdır.
Yâni:
4 = Vı-V, dir.
3. Sonlu bir geometrik dizide baştan ve sondan
aynı uzaklıktaki iki terimin çarpımı, ilk ve son
terimlerin çarpımına eşittir. Yâni:
aı.an= a2.an_j = a3.an_2= ••• = ap.an_p+1 dir.
4. a ile b sayıları arasına bunlarla birlikte geometrik
dizi teşkil edecek şekilde n tane sayı yazılırsa
bu dizinin ortak çarpanı:
Fosfai
Meselâ 2 ile 162 arasına öyle üç sayı yerleştirelim
ki, bu beş sayı bir geometrik dizi teşkil etsin.
Bunun için;
‘•T P V Ü ‘«
bulunur.İstenen sayılar: 6,18,54’tiir.
5. Bir geometrik dizinin ilk n terim toplamı:
l-kn ■
Sn = a T îT r’
Meselâ (2. 1. 2 44“ ‘ “S8–
dizisinin ilk 10 terim toplamı:
1-(X)0
®b= 2
1 -J –
2
1 – -1—
■ 2 1024 _ ¿\ 1023 _ 1023
2
1024 256
bulunur.
bu diziye ıraksak dizi denir. 1. ve 2. örnekteki
dizilerin limitleri 0 ve 2 olduğundan yakınsaktırlar.
3. örnekteki dizinin içinde iki dizi vardır. Bunlar
(-1. -3. -5,… (-l)n n ….) ve (2.4.6.8…..(-l)n n,
…) dizileridir. Her iki dizinin de belli bir limiti yoktur.
Bu dizi .ıraksaktır. 4. örnekteki diziye sabit
dizi denir. Sabit dizilerde her ıı için an = an+1’diı\
((-1 )n) dizisi de ıraksaktır. Bu dizi (-1. 1. -1. 1. -1.
1 ….) şeklindedir. İki farklı limiti vardır. Biri (-1)