DENKLEM (Matematik)

DENKLEM (Matematik); Aim. Gleichung
(f), Fr. Equation (f), İng. Equation. İki niceliğin
eşitliğini gösteren bağıntı. Araya (=) işâreti konularak
ifâde edilir. Denklemlerde eşitlik değişkenlerin
belirli değerleri için sağlanır. Değişkenlerin
her değeri için geçerli olan eşitliklere “özdeşlik”
denir.
(x+y) 2 =x2+2xy+y2 özdeşlik x2-3x+2=0 ise bir
denklemdir. x2 -3x+2=0 denklemi sâdece x=l ve
x= 2 sayılan için doğrudur, diğer değerler için yanlıştır.
Özdeşlikte ise her x ve y değeri için eşitlik doğrudur.
Denklemlerde değişkenlerin en büyük kuvveti
denklemin derecesini gösterir. Her terimin derecesi
aynı olan denklemlere “homojen denklem” denir.
Yüzey denklemi: Üç boyutlu uzayın herhangi
bir P noktasının koordinatları x,y,z ise, f (x,y,z)
= 0 şeklindeki denklemlerdir.
Eğri denklemi: Eğri, târifinden dolayı iki yüzeyin
arakesiti bir eğridir f(x,y,z) = 0 ve g (x,y,z) = 0
yüzey denklemleri bir arada eğri denklemi verir. İki
boyutlu uzayda x ve y gibi iki değişkenle meydana
gelen denklemler bir eğri denklemidir:
y2=2x, y=3x, x2+y2=l
birer eğri denklemidir.Cebirsel denklem: Terimleri cebirsel fonksiyonlardan
meydana gelen denklemlerdir.
Denklem sistemi: Ortak çözümleri olsun veya
olmasın iki veya daha fazla denklemler grubu.
Lineer denklem: Değişkenleri birinci dereceden
olan cebirsel denklem. Meselâ:
3x+y=5, 8x+9=3 gibi.
Logaritmik denklem: Bilinmeyenlerin logaritmik
fonksiyonlarının bulunduğu denklemlerdir.
logx+31og3x=4 gibi.
Transandant denklem: Cebirsel olmayan denklemlerdir.
Logaritmik, üstel, trigonometrik fonksiyonlardan
meydana getirilen denklem böyledir.
Denklemler teorisi:
Denklemler teorisi:
f(x) = a ^+ a ^ jX 11″1-*-…. + atx + a0 = 0
çok terimli denklemleriyle ilgilenir. Burada n
denklemin derecesini ve an denklemin baş katsayısını
gösterir.
Çarpan teoremi: Eğer (n’inci) mertebeden
f(x) = 0 denkleminin x=a gibi bir kökü (çözümü)
varsa, g(x) çokterimlisi (n-1 ) mertebeden olmak
üzere:
f(x)=(x-a)g(x)
yazılabilir.
Kök sayısı: Bir denklemin en fazla, derecesi
kadar kökü vardır.
Katlı kök: Eğer:
f(x)=(x-a)kg(x)
yazılabiliyorsa x=a, f(x) = 0 denkleminin k katlı
köküdür.
Meselâ:
x 3+x 2-5x +3=(x – 1)2(x +3)=0
denkleminde x=l iki katlı kök, x=-3 tek katlı köktür.
Karmaşık kök: Eğer gerçel katsayılara sâhip
f(x) = 0 denkleminin bir kökü x=a+ib ise, x=aib
de diğer bir köktür.
Gerçel kökün yeri: Eğer gerçel katsayılara sâhip
f(x) için f(a) ve f(b) ters işâretli değerler ise, a
ve b arasında f(x) = 0 denkleminin bir kökü vardır.
Meselâ f(x)=x5 -x-l=0 da f(l)=-l ve f(2)=29 olduğu
için, denklemin 1 ile 2 arasında bir kökü vardır.
İkinci derece denklem: a2+bx+c= 0 denkleminin
en çok iki kökü bulunur.
Bu kökler 2=~^^^2′ ^ g-formülü ile bulunur.
2 a
gerçel çözümün olması için karekök altındaki ifâdenin
negatif olmaması gerekir. Eğer kökün altındaki
ifâde sıfırsa, kök tek olarak iki katlı ortaya
çıkar. Negatif ise gerçek kök yoktur.