DİFERANSİYEL HESAP

Aim. Differentialrechnung
(f), Fr. Calcul (m) diffĞrentiel, İng. Differential
Calculus. Matematikte y=f(x) gibi bir fonksiyonda x
bağımsız değişkeninde meydana getirilen sonsuz küçük
dx artımına karşılık, bağımlı y değişkeninde meydana
gelen dy artımı ile ilgili hesaplar. Kelime olarak fark
anlamına gelir.
Türev: En basiti d y /d x dir ki, buna fonksiyonun o
noktadaki türevi denir. Geometrik olarak teğetin eğimi
ile ilgilidir. Türevin değişik bir fizik karşılığı da, hareket
halinde bulunan bir cismin anî hızıdır. Meselâ bir noktanın
doğru üzerindeki hareketi belirli bir noktadan
olan uzaklığı f(t) ile ölçülüyorsa, anî hızı d f/d t olarak
belirtilir. Eğer artımlar sonlu bir değerde iseler, meselâ
y=f(x) fonksiyonunda x deki a sonlu artımına A y=f(x+
A x)-f(x) artımı karşı gelir, a x ve A y’ler küçüldükçe dx ve
dy’e yaklaşırlar.
Maksimum ve Minimum: Sürekli fonksiyonların bir
noktadaki teğeti yataysa bu nokta bir maksimum veya
minimum nokta olabilir. Bu ise fonksiyonun türevi
sıfıra eşitlenerek kolayca aranabilir.
Diferansiyel Denklem: Matematiksel fizik ve kimyada
olayları kontrol eden ifadeler genellikle fonksiyonu
ve türevlerini ihtiva ederler. İşte böyle aranan
fonksiyonun türevlerini de ihtiva eden denklemlerediferansiyel denklem” denir.
Meselâ, dy / dx = -ky bir diferansiyel bir denklemdir.
Kısmî Türev: Eğer U gibi bir fonksiyon x,y ve z gibi
birden fazla bağımsız değişkene bağlı ise, U = U (x,y,z)
bu halde türev işlemi her üç değişkene göre yapılabilir.
Bu halde türevi alınmayan bağımsız değişken sabit gibi
davranır. Birden fazla bağımsız değişken olmasındaki
bu özel durum d u /d x , d u /d y ve d u /d z yazılarak ayırt
edilir. Bilinmeyen fonksiyonlarının bu çeşit türevlerini
ihtiva eden denklemlere ise kısmî türevli diferansiyel
denklemler gelir.
Zincir Kaidesi: Bir fonksiyonun bağımsız değişkeni,
başka bir bağımsız değişkenin fonksiyonu ise, yâni
z=z(y) ve y=y(x) ise ilk fonksiyonun, esas bağımsız
değişkene göre türevi zincir kaidesi denilen dz / dx =
dz / dy . dy / dx ifadeye göre hesaplanır.
Diferansiyel Geometri: Matematiğin, türev işleminin
anlamlı olduğu uzayları bu vasıta ile inceleyen koludur.
Fonksiyonun bağımsız değişken sayısı uzayın koordinatlarına
karşı getirtilebilir. İncelediği temel büyüklükler
eğri, yüzey, teğet düzlem, normal vektör olaraksayılabilir.