CEBİR
Matematiğin etkili bir aracı olan cebir, özel durumlardan kurtulmaya imkân verir ve böylece düşünce tasarrufu sağlar: kendi cebirsel yapısı içinde doğru olan bir sonuç, yeniden kanıtlamaya gerek olmaksızın, bu yapıya denk düşen her tür durumda da doğru olma özelliğini sürdürür. Nitekim, kümeleri yapılandıran ve matematiksel nesneleri düzenleyen çeşitli özellikler arasında her zaman cebirsel
yapıya sahip bir özellik vardır.
Cebir, sayılara dayalı sayısal hesaplamadan hareketle işlemleri ve işlemlerin özelliklerini incelemek amacıyla geliştirilmiştir.
XVII. yy’a kadar, rasyonel, gerçek veya karmaşık sayılar üzerindeki işlemleri konu edinen aritmetiğin genelleştirilmiş bir biçimi olarak kaldı. Daha sonra, soyut ve bilinmeyen nicelikler üzerinde akıl yürütülmesini destekleyen güçlü bir yöntem olarak, analizin (çözümleme) bir aracı haline de geldi. XIX. yy’ın başlarındaysa cebir, geometri sayesinde cebirsel yapıların tanımlanmasını olanaklı kılan vektör uzayı kavramının geliştirilmesiyle birlikte sayısal görünümlerden uzaklaşabildi. Böylece cebir, artık «sayılandan oluşmayan öğelerle ve dört aritmetik işleminin ötesindeki işlemlerle ilgilenmeye başladı. Kısmen Cari F. Gauss’a ve özellikle de Evariste Galois’ya borçlu olunan gruplar kuramıyla birlikte, «modem» cebir dönemi başlamış oldu. Yüzyılın ikinci yarısında, başka temel cebirsel yapılar ortaya çıktı: Emst E. Kum-mer, Gauss’un cebirsel sayılar üzerindeki çalışmalarından yola çıkarak, cisimler kuramını ortaya attı. 1925’e doğru EmmyNoether ve Emil Artin’in önceki fikirlerin sentezinden hareketle ele aldıkları cebirsel yapı çalışmalarıyla yeni bir evre aşıldı. Cebiri, baştan kabul edilen az sayıdaki özellikten yola çıkarak kurmaya yönelik bu eğilim (başka bir deyişle aksiyomatikleştirme) Fransa’da Bourba-ki grubunun «Matematiğin Öğeleri» (Elements de Mathematique) adlı eserinin yayımlandığı 1939’dan bu yana sürdürülmektedir.
Cebir, günümüzde matematiğin temel bir dalıdır ve üzerinde çok sayıda araştırma yapılmaktadır; bu kuramsal incelemeler arasından, özellikle şunları belirtmek gerekir: birtakım kategori’leri inceleyen homolojık (benzeşik) cebir (cebir nasıl sayısal hesabın bir «soyutlanma»sıysa, homolojik cebir de kümelerden yola çıkarak yapılan «soyutlama»dır); cebirin başka temel yapılarla (mesela, topolojik cebir ve Lie grupları) kurduğu bağların incelenmesi; cebirin, matematiğin diğer dalları (cebirsel geometri, sayılar kuramı, değişmeli armonik analiz: Fourier dönüşümleri), ayrıca, mekanik ve kuramsal fizik için temsil ettiği yapılandırma kapasitesinin analizi.
DENKLEMLER KURAMI
Cebirsel denklem sistemlerinin (P bir polinom olmak üzeri = 0 tipindeki denklemler) incelenmesi, XIX. yy’a kadar gel olan «klasik» cebiri oluşturur. Bu, söz konusu işlemlerin yaj ve sayısına bağlı olarak, yeni ve farklı kavramların doğmasır açmıştır. Günümüzde denklemler kuramı, temel cebirsel ya dan yola çıkılarak ulaşılmış kuramsal ve uygulamaya yönelik melerin birçok yanından artık yalnızca birini oluşturmaktadı
Denklemlerin rolü
Bir hesap, ne kadar karmaşık olursa olsun temelde herhanj problem oluşturmaz: başlangıçta açık bir şekilde verilmiş ele; lardan yola çıkılarak, yeni bir eleman oluşturulur. Ulaşılmak nen eleman biliniyor, ama başlangıç elemanları bilinmiyı problem daha ciddî bir görünüm kazanır. Ne tür bir hesap u lanmalıdır? Bu hesabın yapılabilmesine imkân veren sadece langıç elemanlarımıdır? Bu ikinci problem tipi denklem daral landırılır ve mesela, alanı 15 m2 olan bir karenin kenar uzunlı nu, yüzde 20’lik bir indirimden sonra 250 bin lira ödenmiş bi yanm gerçek fiyatını bulmak için kullanılır.
Cebirin doğuşu genellikle, hakkında III.-IV. yy’lar arasında şamış olduğunun dışında fazlaca bir şey bilinmeyen Diofant mal edilir. Çalışmalarının önemi bilinmeyen kavramını gel:; miş olmasında yatmaktadır, bu da incelenen problemlere uy hesapların yazılmasına imkân vermiştir. Nitekim, (x + 3)2 = :
25 ifadesi, «bir karenin kenarı 3 m uzatıldığında, alanı 25 m’ tar» önermesinin matematiksel bir «çeviri»sidir; burada x, mt cinsinden, başlangıçtaki karenin kenar uzunluğunu temsil etrn tedir. Bu durumda bir denklemde, her zaman bir eşitlik söz kc: sudur; bütün sayılar verilmiş olmadığından, bu hesaplamalar pılamaz ve aranan bilinmeyen sayıya ulaşmak amacıyla, işler: re birtakım dönüşümler uygulamak gerekir.
Böylece, «cebir» kelimesinin ortaya çıkmasından çok daha : ce, basmakalıp yöntemlere dayanan ve sözel olarak sunulan (r. hesaplar kelimelerle yazılır ve cümlelerle betimlenir) denklem s temlerine bağlı problemlerin çözümüne ilişkin birtakım teknik geliştirilmiştir. Cebirsel simgelemenin gelişmesi, gerçek anlaır. bir denklemler kuramının ve cebirin ortaya çıkmasını sağlam:;:
Harfli hesap
Matematiksel işaretlerin tarihi oldukça eskilere dayanır. Dî-Antikçağ’da sayılar veya geometrik elemanlar birtakım harfls: belirtiliyordu, ama bunlar hesapta kullanılmıyordu; diğer y; dan, temel işlemler nadiren simgelerle temsil ediliyordu ve X yy’a kadar matematik temel olarak sözel bir yapıda kaldı. Ça| ilk simge sistemlerini IV. Henri’nin özel danışmanı (îspanycL ile İtalyanlar arasındaki gizli resmî yazışmaların şifrelerini çöz yordu) François Viete geliştirdi: bu simgesel sistemlerde, bilinn yenler, ünlülerle (sesli harf), bilinen ama belirlenmemiş katsE larsa (parametreler), ünsüzlerle (sessiz harf) temsil ediliyor;, Böylece cebirsel ifadeler çeşitli hesaplamalara uygun «kelir–: ler»den oluşuyordu. Harflere dayanan gösterim biçimlerinin s. temli bir şekilde yaygınlaşması, cebiri genel ifade ve denklem ir lerini inceleyen bir dal haline getirerek matematiğe önemli kat; _
DİOFANTOS’UN YAŞI
«Hey yolcu, işte Diofantos’un mezarı burada; yaşadığı yılların sayısını, bu şaşırtıcı anlatımıyla sana o öğretecek. Gençliği, yaşamının aİtıc-birini oluşturdu; yaşamının on ikide birlik bir dönemi boyunca, yanağında ayva tüyü benzeri kıllar taşıdı. Kendine bir eş almadan önce, yine hayatının yedide birlik bir dönemini geçirdi ve evlendikten beş yu sonra, güzel bir çocuk sahibi oldu; bu çocuk, babasının yaşının yansına geldiğinde, talihsiz bir şekilde yaşama veda etti. Babası, arkasındar. dört yıl boyunca ağlayarak, bu acıya dayanmak zorunda kaldı. Tür’, bunlardan, yaşını hesapla».
Bu eski bilmece, bilinmeyen kavramını göstermektedir: hesaplamalar «Diofantos’un yaşı soyut sayısı üzerine kurulacaktır; bu da, günümüzde daha basit anlaşılması için x ile gösterilmektedir:
12 7
işlemlerin dönüştürülmesi, kesir hesabı kurallarına göre yapılır ve sc-nunda, şu basitleşmiş ifade elde edilir:
9 + -M- X = X.
28
Sonraki dönüşümler, toplama ve çarpma işlemleri için, simetrik sayıların (sırasıyla, ters işaretliler ve tersler) varolmasına dayanılarak gerçekleştirilir; bu temel özellik, grup kavramının da temelini oluşturur. Sonuç olarak, şu genel bağıntı ve sonuç elde edilir:
9 = r- X; buradan da # = 84 bulunur.
28
Gnş. İki küme, yani güneş şemsiyeleri kümesi G ve şezlonglar kümesi Ş göz önüm alınırsa, bunların birleşimi G U Ş ve kesişimi GnŞ biçiminde yazılır.
İÇİNDEKİLER
DENKLEMLER KURAMI CEBİRSEL YAPILAR CEBİRSEL YAPILARIN UYGULAMA ALANLARI
, -j^f-W u>-» ‘-J&c
J^jrb yh¥^’1 . J
*&& t ÜAlçÂ?
,fŞ’\\\’ aLJs -/L
>^u
ı isbı. XI. -XII. yylar arasında yaşamış, Iranlı filozof,
– -şematikçi Ömer Hayyam’ın bir cebir kitabının.
:;- kalma kopyası.
. jt.İm. çünkü artık genel durum işlemleri sonsuz özel duru-
■ – aDsarhale gelmişti.
ebirsel sayılar ve üstün sayılar
i: yy’da Pierre de Fermat, Diofantos denklemlerinden yola \: sayılar kuramını yemledi. Diofantos, bazı koşulları sağ-
■ tamsayıların veya rasyonel sayıların arandığı problemleri :rdu. Bunlar günümüzde, birçok bilinmeyeni olan cebirsel ;~lerle gösterilebilir. Bu durumda, genellikle, bilinmeyen ıdan daha az denklem vardır. Bu durumda sonsuz sayıda •’ e.de edilir. Nitekim, 43a- + 19y = z denkleminin genel çö-;.r: şu şekilde gösterilebilir; x= 4z + \ 9t ve y = 9z- 43? (bura-Z kümesi içinden keyfî olarak seçilmiş bir tamsayıdır).
–.at daha çok, ikilenik (kuadrik) biçimdeki (A, fi, C, u ve v, -.’.esinin elemanları olmak üzere, Air + Bv~ + Cuv biçiminde)
i gösterimleriyle ilgilenmiştir. Pitagoras üçlülerinin ince-de bu çerçeveye dahil edilebilir. Burada, x2 + y = z2 ola-rAilde x, y ve z gibi sıfırdan farklı, üç doğal tamsayının (ger-bır dik üçgenin kenar ölçülerine denk düşen) bulunması ;nusudur. Bu Diofantos denkleminin çözümleri, ıı > v (u ve ^meşinin sıfırdan farklı herhangi iki sayısıdır) olmak üzere,
– }’ = 2ııv; z = u~ + V formülleri yardımıyla elde edilir. (3, ; 5, 12, 13) üçlüleri, en küçük çözümlerdir. Fermat, proble–neileştirmiş, ve « > 2 için, x” + y” = z” denkleminin tamsayı ~-ierınin olmadığı sonucuna varmıştır: «Bunun mükemmel ;r:anı buldum. Ancak bu sayfanın kenarı bu kanıtlamayı ak-__mem için çok dar» diye yazmıştır. Fermat’nın, henüz bu-:amış olan kanıtlaması, bu biiyiik Fermat teoremi’nin kanıtlanır, araştırılmasını kolaylaştırmak amacıyla, Kummet’e, ide-Uarı, ardından ideal kümeleri ortaya atma imkânım verdi rada, Fermat’mn büyük teoremi, hâlâ bir sanı, doğru olduğu . edilen bir bağıntı konumundadır).
;~lann ve bunlar üzerinde gerçekleştirilen işlemlerin incelen-
XIX. yy sonlarında, N, Z, Q ve R kümelerini betimleyenler-.aha soyut kavramların (özellikle, cebirsel ve üstün sayılar kav-zt., geliştirilmesiyle, sayıların «yapı»sını tanımlamaya imkân „ birtakım yeni düşünce akımlarına kaynak oluşturmuştur. ?b:rsel sayılar, yalnız rasyonel sayıların söz konusu olduğu ar.tos denklemlerinin çözümlerini oluşturur. Mesela, xL – 2 = + 1=0 denklemlerinin çözümleri, sırasıyla, birer cebirsel
sayı olan, ± V2ve ± i’dir. Cebirsel sayılar, cetvelle ve pergelle yapılan geometrik çizimlerde önemli bir rol oynar: bunlar, yalnız belli rasyonel ölçümlerden yola çıkarak ve yalnızca, toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve n’inci kök tipinde işlemlerin kombinasyonlarıyla yeni ölçümlerin belirlenmesine yol açar. Bu ölçümler, rasyonel katsayılı polinomlarm çözümleridir, yani bunlar cebirseldir.
Buna karşılık, çemberin kareleştirilmesine, açının üçe bölünmesine, kübün iki katına çıkarılmasına ilişkin eski büyük problemler, cetvel ve pergel yardımıyla yapılan çizimlerle çözülemez ve bunların çözümünde cebirsel olmayan sayılar söz konusu olur. Nitekim, ;r sayısı, bu tip herhangi bir denklemin çözümü değildir: bu durumda Vnin, üstün bir sayı olduğundan söz edilir. Üstün sayıların incelenmesi ve araştırılması, sayıların analitik kuramı için önemli bir ilerleme etmeni olmuştur. Bu, hâlâ matematiğin en canlı ve incelemeye açık alanıdır (mesela, e ve e”’nin üstün sayılar olduğu bilinmektedir, ama e’ veya e + JT’nin öyle olup olmadıkları bilinmemektedir).
Cebirin temel teoremi
Harflerle ifade edilen hesaplamanın gelişmesi ve sayıların yapısının daha iyi anlaşılması, cebirsel denklemler kuramıyla, kök değerlerinin araştırılması durumunda, polinomlar kuramının birleştirilmesine imkân vermiştir. Daha XVII. yy’da, Albert Girard ve Rene Descartes, «’inci dereceden bir P(x) polinomu için, n tane kökün bulunması gerektiğini ileri sürmüşlerdi. Bazı kökler gerçek anlamda hesaplanamadığmdan bunlara sanal veya karmaşık kökler denir.
-1746’da Jean le Rond d’Alembert, karmaşık sayıların söz konusu edildiği bir önerme ortaya attı, ama bu sonucun cebirin temel teoremi’dİ oluşturan kesin bir kanıtlamasını elde etmek için Ga-uss’un çalışmalarını beklemek gerekiyordu: «C, karmaşık sayılar kümesi, cebirsel olarak kapalıdır.» Bu önerme, günümüzdeki anlamıyla, katsayıları karmaşık sayılardan oluşan her polinomun {x – b) biçiminde 1 ’inci dereceden n tane polinomun çarpımı olduğunu belirtir, bu da «’inci dereceden bir polinomun n tane karmaşık köke sahip olduğunu söylemek anlamına gelir. Bu teorem (D’A-lembert teoremi) tümüyle cebirsel bir çerçevede kanıtlanamama özelliğini gösterir ve analiz teoremlerine baş vurulmasını gerektirir.
Bu teorem, herhangi bir çözüm yolu göstermese de, çözümlerin var olduğunu ileri sürer. Bununla birlikte köklerin, aritmetiğin dört işlemi ve kök alma yöntemi kullanılarak etkili bir şekilde belirlenmesi, XIX. yy kadar, matematikçilerin değişmez bir uğraşı olmuştur. 2’ınci dereceden denklemler için, kesin algoritmalar geliştirilmiştir (A = bz- 4 ac diskriminantımn kullanıldığı), ama 3’ün-cü veya 4’üncü dereceden denklemler için yöntemler, uygulamaya yönelik olmaktan ziyade, kuramsaldır.
Beşinci dereceden denklem
1826’da, Niels Abel’in, 5’inci dereceden veya daha yüksek herhangi bir denklemi köklerle çözmenin olanaksızlığını kanıtlaması, denklemler kuramını geleneksel biçimiyle bitirdi. Aynı çağda Galois, 5’inci dereceden denklemler problemini yeniden ele aldı, ama amacı tüm cebirsel denklemlerin bir çözülebilirlik ölçütünü sağlamaktı. Galois için bir denklemin çözülebilirliği, kesin bir cevap gerektiren bir problem olmaktan çıkar, ama iki cebirsel varlık arasındaki bir bağ olarak tasarlanır: denklem ve bunun, genellikle bir cisim yapısına sahip olan «sayısal ortam»ı. Bu durumda çözülebilirlik, gözönüne alman cisime ilişkin hale gelir.
Galois kuramının temel fikri, denklemin cismini ardışık olarak genişletmeye dayamr. x4 – xl – 2 = 0 denklemini gözönüne alarak, bu cisim genişletme kuramının bir örneğini inceleyelim. Söz konusu denklem, şu şekilde yazılabilir: (xz – 2) (xz + İJ = 0.
Q rasyonel sayılar cismi üzerinde, başka hiçbir ek çarpanlara ayırma işlemi yapılamaz; bu durumda, bu denklem için rasyonel çözüm yoktur, a + bP2 elemanları (a ve b, Q ’ya ait sayılar olmak üzere) göz önüne alınarak, bir ilk genişletme gerçekleştirilebilir; bu elemanlar, Q(V2) biçiminde gösterilen yeni bir cisim oluşturur; bu durumda, VJ ve -V2, C’nun bu uzantısı içinde, önceki denklemin çözümleridir, a + b!2 + d + ditâ ifadesinin (burada, a,
b, c, d, Q’ya ait sayılar ve i, i2 = -1 olacak şekilde, sanal bir sayıdır) göz önüne alınmasıyla, ikinci bir genişletmenin yapılması mümkündür. Bu durumda denklem, Q(V2, i) biçiminde yazılan uzantı içinde, dört çözüme sahiptir ve temel teorem başka çözüm olmadığını doğrulamaya imkân verir. Denklem, Q(V2, i) üzerinde, şu biçimde ifade edilebilir: (x – ~32) (x + İ2) (x – i) (x -i) = 0. Q(V2, i) cisminin başka uzantılarım da elde etmek mümkündür, ama bunlar göz önüne alınan denkleme fazladan hiçbir şey getirmez. Maksimum genişleme (uzantı), C karmaşık sayılar
GRUP, HALKA. IDE VE CİSİM
(Z, +) grubu. Ter-‘ — i i
natılmış bağıl tamız •• kendisine grup yam: özelliği sağlar
-toplama bırleşm=- :.r ‘ r-ı sahiptir, yan: c.rrır.m t-. f lemi gerçekleştim;.’ .ir -zetmeden, hırsım. v- : den başlanabılır-
– bir nötr eleman ım – :: de, herhangi bir .n~ •: ması, bu sayıyı
– her elemanın but-:;
dır: bir sayının ve ,
lisinin toplamı, r.ctr t.zr \r (Z,+,x)halkası T:r.ı.—- : ıu yasalarıyla dcr.=r.lrr_i :- i. u yılar kümesi b:r hâ.yıu.* . –
– bu, toplama ı;.r_ r.r
– çarpma işlem. : özelliğine sahiptir
– çarpma işlem, tır : göre dağılımlıdır r ^ i rine bağlayan te;’ . özellik, a, b : gibi r.sr -1: sayı için, şu şekıl^s Jzı ir .: • (b + c) = (a x b – a * :
Bir halkanın ideali. ı için kararlı bir ı.t-
sidir; Z içinde. ? sîy-î.r_r. ı -. ideal oluşturur.
İR cismi. Toplama vf ıırr-“: . riyle donatılma • i: si İR, bir cısım.uır. uurj – 7 -halkadır ve ayr.za F’ t gerçek sayılar kurni’.. lemıyle dcnaulmın ı.ı.c,-: grup özeli# gssarr ır-ı , dan farklı her elem2.r_ r. r : *
CEBİR KELİMESİNİN KÖKENİ
Arapça el *ci,r’ds~ ge.fr -kelimesinin keker.. •
tikçı El-Harızmı mn Mukayese H__.” ■_
Cebr ve‘l-Mux.£re..£ –u. – ■ •
nı yayımladığa rar…:…..e-
yy’a kadar -.zam;, ı r ~
bu matemat-j;;-
ayırt ediyordu raî.t ı:n
sav ‘şey adı veri-tr. ı
(o donemde 1
receden , aln «cstügır. .m
sımfiandinlrmş v s ______r r :::
re çozulmuşmr
yen ; eşıtlığm r.er _ =ı: – u • m say; eklener_.r
l:5:n her Jc vamr.us u- ü: i: –
CEBİR
8’inci basamaktan çevrimsel grup örneği. Bir sekizgenin sekiz köşesi, (A,, A2. &3, A4, Ağ, Ağ, A7, A8) dizisine, (A?, A?, A$, A$, Aç, A?. Ag, A,J dizisini eşlik ettiren S ornatmasını ve ayrıca S2 = ST S olacak şekilde, T bileşim yasasıyla elde edilmiş (S2. SI S4, S5, S6, S7, S8,) ornatmaiannı temsil etmeye imkân verir.
Doğrusal fonksiyon. «Doğrusal» kelimesi, bir x gerçek sayısına. f(x) biçiminde gösterilen ax sayısını (burada a, keyfi bir sayıdır) eşlik ettiren f uygulamalannı temsil eden doğruyla bağlantılıdır. Doğrusallığın ayırt edici özelliği, f tarafından, toplama işleminin ve X gibi bir skaler sayıyla çarpma işleminin korunuyor olmasıdır: f(x+\) = f(x) + f(y); f(kz) = \f(z).
2 r”! i
H x y x+y 7 >z
«II
S fW fW fM+fW=f(*+j4 f(2)—
* t_i
+ eşitlikler: doğrusallığın özellikleri
cismidir; bu da, cebirsel olarak kapalı cisim terimim doğrulamaktadır.
CEBİRSEL YAPILAR
Tüm XIX. yy boyunca, cebirin aksiyomlaştınlmasma yönelik bir süreç yaşandı; bu, metamatiksel mantığa ve kümeler kuramına dayanarak az sayıda temel kavramın, yani cebirsel yapı’yı belirten aksiyomların tanımlanmasına yol açtı. Bu aksiyomlardan yola çıkılarak hesaplamalar gerçekleştirilecek, başka kavramlar oluşturulacak ve yeni özellikler ortaya konacaktı. Aksiyomların sonuçlan olarak ortaya konan sonuçların tümü, göz önüne alınan yapının kuramını oluşturur; bu durumda, mesela aşağıda sunulan grup yapışım, çoğu zaman çok karmaşık olan ve ancak uzman çalışmalarla ulaşılabilen gruplar kuramından ayırt edilmesi önemlidir.
1850’den itibaren İngiliz matematikçiler, özellikle George Pea-cok, William R. Hamilton, Arthur Cayley ve George Boole, cebirsel yapıların temel kavramı olan bileşim yasası kavramını ortaya attılar. Bu işlem, uygulanabileceği konulardan bağımsız olarak, kendisi için göz önüne alınır; çok çeşidi durumlarda kullanılır: vektörler, matrisler, mantık cebiri vb.
Gruplar
Augustin Cauchy tarafından ortaya atılan ve derecesi 5’e eşit veya daha yüksek cebirsel denklemlerin incelenmesi sırasında Galois tarafından açıklığa kavuşturulan grup kavramı, tüm cebirsel yapılara hakimdir. Bir grup, T olarak gösterilebilen bir iç bileşim yasasıyla donatılmış bir G kümesidir ve G’nin her elemanı için aşağıdaki özellik söz konusudur:
x E G ve y E G ise, bu durumda, (x T y) 6E G’dir (iç işlem). Bir grup için, yasa, şu özellikleri doğrular:
– birleşmelidir: (x T y) T z = x T (y T z);
– G, şu bağıntıyı doğrulayan ayrıcalıklı bir elemana sahiptir: e T x = x T e = X; e’ye, etkisiz eleman denir.
– G’nin her x elemanı, x’ biçiminde gösterilen bir simetrik’e sahiptir, şöyle ki: x T x’ = x’ T x = e.
Bazı gruplar, ek bir özelliğe de sahiptir; bu, iç bileşim yasasının değtşmelilik özelliğidir: x T y = y T x. Böyle bir grubun, Abelgrubu olduğundan söz edilir.
Z, Q, R, C kümeleri, toplama işlemi için, Abel gruplarıdır. O* (sıfır elemanı olmayan Q kümesi), R*, €*, çarpma işlemi için Abel gruplarıdır. Buna karşılık, düzlemin izometriler grubu (öteleme, dönme, eksenel simetri), S o T (yani, ardışık olarak, önce S sonra T) yapmaya dayanan, o bileşim yasası için bir Abel grubu değildir.
Sonlu gruplar. Öncekilerden oldukça farklı bir yapıda olan bu gruplar, günümüzde, sayılar kuramı ve cebirsel geometriyle bağlantılı olarak büyük bir gelişme içindedir. 8. basamaktan çevrimsel bir grup gibi, sonlu sayıda elemana sahip olduğundan bu şekilde adlandırılan böyle bir sonlu grup örneğini ele alalım.
Bir sekizgenin sekiz köşesi, (Aj, A2, A5, A4, A3, A6, A7, A3) elemanlar dizisine, (A2, A3, A4, As, A6, A7, Ae, A,) dizisini eşlik ettiren S ornatmasını (yerine koymasını) ve yanı sıra, S2 = S o S olacak şekilde, bileşim o bileşim yasasıyla elde edilmiş ornatmaları (S2, S3, S4, S5, S6, S7, S8) temsil etmeye imkân verir. S2 ornatması için, (Aı, A2, A3, A4, A5,A6,A7, A6) dizisine, (A3, A4, Af, A6, A-*, As, Aı, A2) dizisi eşlik ettirilir; S8, o yasasına bağlı etkisiz elemandır: S8 ile/ Aı e At eşlik ettirilir; her elemana bir simetrik karşılık gelir: S, S2, S3, S4’ün simetrikleri sırasıyla S’, S6, S5, S4’tür. Bu G grubunun çevrimsel olduğundan söz edilir, çünkü tek bir elemandan, mesela S, S3, S5 veya S7’den yola çıkılarak oluşturulabilir. Diğer yandan, S2’de, S2, S4, S6, S8 elemanlarından oluşmuş, G olmayan bir grup oluşturur; bu, G’nin, 4’üncü basamaktan bir altgru-budur.
Halkalar ve cisimler
Alman matematikçilerin (Kummer ve Kronecker’den, Dede-kind ve Hilbert’e) cebirsel sayılar üzerindeki çalışmaları, halkaların ve cisimlerin incelenmesine temel oluşturmuştur; burada, söz konusu halkaların ve cisimlerin, cebirsel eğrilerin ve yüzeylerin incelenmesi için temel araçlar oldukları ortaya çıkacaktır ve bu da, cebirsel geometri olarak adlandırılan dalın doğuşunu beraberinde getirecektir; burada, günümüz matematiğinin, en soyut, ama bunun yanı sıra en canlı dallarından biri söz konusudur. Bir halka, çoğu zaman + (artı) ve x (çarpı) biçiminde gösterilen iki iç bileşim yasasıyla donatılmış bir E kümesidir; (£, +), bir Abel grubudur. İkinci yasa x, birleşmeli bir yasadır. Dağılabilirlik özelliği, bu iki yasayı birbirine bağlar; x, vvez,E kümesinin üç elemanı olsun:
X X (y + z) = (x X y) + (x X z); ve, (y + z) X x = (y X x) + (z x x)
O, R, C kümeleri, birer cisimdir. Tüm sonlu (yani, sonl da elemana sahip olan) cisimlerin değişmeli oldukları ka mıştır; bu arada, kuaterniyonlar cisminde söz konusu oldı bi, bütün cisimler bu özelliğe sahip değildir.
Karmaşık sayılar ve kuaterniyonlar. V-l niceliği, 3’ün receden denklemlerin çözümü için XVI. yy’m başlarında 1 çıkmıştır. XVIII. yy’m sonunda, özellikle Gauss, bu kavraı anlam kazandırmış ve hesaplamaları, o dönemden beri ka, sayılar adı verilen, a + ıb biçimindeki sayılarla düzenlemişi rada i, VTi temsil etmektedir.
a + ib, dik bir koordinat sistemiyle donatılmış bir düzlı koordinadarı (a, b) olan bir noktaya benzetilerek, geometriy layca bağ kurulur. Şu veya bu yönde, geometrik alandan s alana yapılan çok yararlı geçişler (yöntemleri basitleştirmek yeni sonuçları önceden sezmek için) o dönemin matematik ni, uzayın noktalan için de benzer bir transpozisyon (dev aramaya yöneltmiştir. Probleme ilk olarak, VVilliam R. Ham uzayın bir noktasının koordinatlarını temsil edebilen (a, b, lüleriyle, sistemli bir şekilde yaklaşmıştır; ayrıca, işlemler birleşmelilik, değişmelilik ve dağılabilirlik özelliklerinin k masını da ilke edinmiştir. Verimsiz çabalarla geçen birçok yi rasında, iki orta yolu kabul etmek zorunda kalmıştır: yeni ss üç değil dört bileşene sahip olacaklardır; çarpma yasası değ: li olamayacaktır. Bu yeni sayılar, kuaterniyonlar olarak adlanc Geometrik bakış açısından, bu dört bileşen kolayca açık çarpma, R” uzayı içinde, ilk üç bileşene bağlı bir dönme oluş: bir dönüşüme ve dördüncü bileşenle bağlantılı bir homot (karmaşık sayılarının çarpımının, bir dönme ve bir homotetic luşmuş bir düzlemle benzerliğine bağlı olması gibi) karşılık g Çarpmanın değişmeli olmayan yapısı, o dönem için devnr teliğindeydi ve ilk değişmeli olmayan cisim örneğini gözler c: sererek düşüncelerin evriminde önemli bir gelişmeye yol aç Kuaterniyonlar, yeni matematiksel cisimleri gündeme ge: ve işin tuhafı, tanımlandıkları sıralarda hiçbir ihtiyaca cevap meyen kuramsal gelişmelerin ilk tarihî örneğiydi. Hamiltor» şamının son yıllarını boşu boşuna kuaterniyonlarla ilgili birtâ uygulamalar bulmak için harcamıştır. Bunlar ancak çok daha i raları, XIX. yy’ın sonlarında, matematiğin parçacıklar fizıf matematiksel modellerim oluşturan bazı çok soyut alanlar. (Lie grubu, topolojik cebir) «doğal» bir şekilde ortaya çıktı.
Vektör uzayları ve cebir
Vektör uzayı kavramı, 3 boyutlu geometrik uzay vektörler özelliklerini genelleştirir. Bu kavram, cebir ve Eukleides gecr rısi arasında bağ kuran doğrusal cebir’m temelim oluşturur. Dc; sal cebir, açıklamalarının basitliğiyle, hesaplama algoritmalar. (mesela matrislerle) kurulma kolaylığıyla, deneysel bilimlere olayların hesabını verme kapasitesiyle (mesela, ekonomi gık: neysel bilimler), matematiğin temel bir dalıdır; yüzdelerle ere: lılık veya ölçekleriyle birlikte harita çizimciliği, bunun temel gulama alanlarını oluşturur.
Bir K cismi üzerindeki bir E vektör uzayı (burada K cisnr [toplama] ve X [çarpma] yasalarıyla donatılmıştır), © biçinrr gösterilen bir Abel grubu yasasıyla veKx £’nin her (A, x) çırr
KUATERNİYONLARIN YAPISI
Kuaterniyonlar, dört gerçek sayıdan (a, b, c, d) oluşmuş dörtlülere bunlar, aşağıdaki eşitlikleri gerçekleyen 1, i, j ve k gibi dört temel e.r manın doğrusal devşirimi olarak yazılabilir:
ı – k2–1 ij =*-ji = k
ık = —kj — ik Jd = -ik = j.
Çarpma işleminin değişmeli olmadığı, tanımlardan anlaşılmakta c-mesela, ij * ji bağıntısı söz konusudur, çünkü i, i, j ve k birbirleriyle :ct-lanmaz. a + H + cj + dk kuaternıyonunun tersi, aşağıdaki biçimde g:~ terilen kuaterniyondur:
a – b\ – cj – dk
2 ,2 2 2, a +c +a
Kuaterniyonlar kümesi, değişmeli olmayan bir cisim ve R gerçek sayılar cismi üzerinde, 4-boyutlu bir vektör uzayı oluşturur. Bu dururr.-da, R üzerinde bir cebir örneği elde edilmiş olur.
Cebir yapısı E « _rf v
uzayından ve ajr:s * oluşur. (1) ,e 2 eş: • r çarpım işlem ” -göstermekteür
dış çarpım ■
İÇ
çarpım x
I
~ a
iç çarpım ® a-jf–
!
[1](axfi).(xx y)J
& 3xb-3 J
5 t
– b-y –
Cebirin «coğrafyam.
Grup yapısından /m z -katmalan, başka yas imkân verir; bunlar ze-; – = * sağlayan belli sayıda ::e ; ze beraberinde getır.r
= • X- © (b ■ x);
= • xı S> (a ■ y).
. z i x yasaları için bir cisim yapısına da sahipse ve : iz. bağdaşıksa, yani, (a ■ x) x (b ■ y) = (a x b) ■ (x ® := – {: *■”nin, K üzerinde bir cebir yapısına sahip oldu-: Cebir yapısı, «büyük» kümeleri kapsar: mat–: —_=r. yakınsak diziler, K üzerinde cebir yapılarına
t uzayında doğrusal devrişim (kombinezon). Bir
; ‘zzzn temel özelliği, bunun elemanlarından birinin, – vcla çıkılarak, aşağıdaki biçimde yazılabilmesidir:
•. v- – … + ta,Xn, burada jct, x2, …,xn, E’nin eleman’la-, K cisminin elemanlandır. x elemanı, xv …, erosal devşirimi’dir. xt (i G {1, 2,…, «)) elemanlarının ‘.5″in bir doğrusal devşirimi olarak yazılamıyorsa, -z’l’ist aile oluşturduklarından söz edilir. £’nin tüm -„ :r elemanlarının doğrusal devşirimleriyse, bunların ■ -i- oluşturduklarından söz edilir. Serbest ve doğuru-uzayının bir taban’ını oluşturur; nitekim, düz-. -iır.at sisteminin i, j vektörleri, düzlemin vektörler ■ tabanım oluşturur.
: sayıda vektöre sahipse, vektör uzayı sonlu boyut-ve uzay, sırasıyla 2 ve 3 boyutludur). «İyi taban-“_nası, doğrusal cebirde temel bir yaklaşımdır, çün-. – ,, ‘ktörlerine ilişkin birtakım özelliklerin bilinmesi, -i~en, doğrusal devşirimler sayesinde her tür vektör , ^anabilmesi için yeterlidir.
-.–var cebiri. Okullarda verilen eğitim çerçevesinde, po-ılıc:~ .:; ısnmli) fonksiyonlarının incelenmesi, temel olarak,
—ıc-_______ ; :urevlenebilirlik gibi analitik özelliklere ilişkindir. Bu-
snc:ı» ~ ‘ -• polinomlar her şeyden önce, cebirsel nesnelerdir; sie– – jerçek sayıdan oluşan her tür dizi, 2’nci dereceden (en s» * : : :_r.om oluşturur:
~3s:t olarak P] biçiminde yazılır;
7; biçiminde yazılır; biçiminde yazılır;
– _ ; -r-imda (a, b, c), aP3 + bP2 + cPl biçiminde, yani, a, b ve :• katsayıları olmak üzere, Pj, P2 ve P3’ün doğrusal bir
je- larak yazılır; bu polinomların tümü, 3 boyutlu bir vek-
– – :.-şturur. Bu tanım, bu durumda n + 1 boyutlu bir vek-.j… . oluşturacak olan «’inci dereceden polinomlar elde et–E . “ ır.yla. (« + 1) gerçek sayıdan oluşan her tür diziye genel-
– – : r_r Tüm polinomlar kümesi ele alındığında, sonsuz bo-.. – : vektör uzayı örneği elde edilir.
ar için, bir iç çarpım işlemi tanımlanmıştır; buna göre,
■ – : :~.andır ve P2- P2 = P3 eşitliği söz konusudur; bu durum-a – bağıntı elde edilir:
– (cP2 + dPJ = acP3 + (ad + bc)P2 + bdPv Bir alışkanlık ________ -_;tr eleman Ph 1 ile ve P2 polinomu, Xile gösterilir; bu du-
– :; .7 zrolınomu, X • X veya X2 biliminde ifade edilir. X ve X2
– . – : ~_an. x değişken sayısına, 2x – 5x + 7 sayı’sım (mesela, ; 0 ise 7 veya x = -1 ise 14 eden) eşlik ettiren polinom
: – jn ile değişmez bir cebirsel nesne olan 2X2 – 5X + 7 po-ı-. .• ı=:\ farklı olarak ele alınması gereken polinomlar arasın-
– • -ağmtı kurma imkânı verir.
1 . :2î.na işlemi, polinomun katsayıları R içinden alınmışsa ; : .ciminde gösterilen bir polinomlar cebiri elde etmeye im-;r.r, 3elirsiz nicelik Yise, a„Y” + a„_tY^1 + … + atY + a0 po-;r^ıın cebiri, R[Y] biçiminde gösterilir; burada, a„, an_h …, 7 mn elemanlarıdır. Birçok belirsiz içeren polinomlar da ta-;-îMİır: mesela, 3X2 + 5XY- Y2 + X-4, R|X, yj’nin bir poli-
– Z[X], 0[X] ve C[X| de, katsayıları, sırasıyla Z, O ve C …..-alınmış olmak üzere, birer polinom cebiridir. İç toplama
. i—ma işlemleri göz önüne alınırsa, polinomlar cebiri, Z ile zzelliklere (Eukleides bölmesi, indirgenemez polinom, ortak :-_enn en büyüğü [OBEB], ortak katların en küçüğü [OKEK], -; : “da asal polinomlar vb) sahiptir. 1585’te, Simon Stevin, da-_ : innemlerde, bu özellikleri açıkça ortaya koymuş ve sayılar–la çıkılarak oluşturulan bu yeni soyut cebirsel varlıkları : – • —r-.ışti.
7 r^omların kuramsal olarak incelenmesinin, cebirsel denk-; çözülmesi, bir matrisin özdeğerlerinin belirlenmesi, ras-
-_<esırlere bağlı cebirsel eğrilerin incelenmesi, iki polinomun
r^ıru eşlik ettiren, ■ biçiminde gösterilen bir dış yanı elemanlar kümesidir; burada söz konusu ya-sağlar:
bölümünün hesaplanması, cisim genişlemelerinin incelenmesi bakımından, birçok uygulaması vardır. Aynı şekilde, analizde kullanılan, ama üzerinde işlem yapılması fazla kolay olmayan birçok fonksiyona iyi bilinen polinomlarla yaklaşılabilir.
Yapı uygulamaları
Cebirsel yapıların incelenmesi, aynı yapıya sahip çeşitli kümeler arasında birtakım ilişkiler kurulduğunda, büyük önem kazanır; daha açıkçası, yapı uygulamaları, bir E kümesinden bir F kümesi içine tanımlı uygulamalardır; burada E ve F, herbiri birer bileşim yasasıyla donatılmıştır. Bu durumda, bu yasaların bir kümeden diğerine taşınmasıyla ilgilenilir. Mesela, EvcF,K üzerinde, E için + ve F için © toplama yasalarıyla, ayrıca • ve x gibi iki iç yasayla donatılmış iki vektör uzayı olsun; E’denF içine f uygulaması, f’nin her x elemanı, F’nin f(x) fonksiyonu ve K’nin a parametresi için, aşağıdaki eşitlikleri sağlamalıdır: f[x + y) = f{x) © f(y)
ve f{a ■ x) = ax f(x)
Bu durumda f bir doğrusal uygulama veya eşyapı (homomorfizma) uygulaması’ dır.
Diğer yandan, grup, halka veya cisim yapı uygulamaları da vardır; (R, +)’nm (R*, x) üzerindeki tüm grup yapı uygulamalarının incelenmesi, yalnız üstel fonksiyonların yukarıdaki koşullara uyduğunu ortaya koymuştur.
Özellikle önemli bir yapı uygulamaları ailesi, birebir örten (bi-jektif) yapı uygulamaları veya eşbiçim (izomorfızma) uygulamaları a-ilesidir. Gerçekte, bunlar için, bir kümeye yönelik olarak kanıtlanmış özellikler, otomatik olarak bir diğerine taşınır. Bu eşbiçim uygulamaları çok araştırılmıştır, çünkü bunlar yeni sonuçlar bulmaya imkân verir veya karadamaları kolaylaştırır. Matematikte yaygın olarak kullanılan iki biçim uygulaması örneği şunlardır: C ve bir koordinat sistemiyle donatılmış geometrik düzlem ve ayrıca, m x n boyudu matrisler kümesi ve m boyudu bir vektör uzayından, n boyutlu bir vektör uzayına doğru olan uygulamalar kümesi.
CEBİRSEL YAPILARIN UYGULAMA ALANLARI
Cebirin, matris hesabından, uzayın dönüşümlerinin incelenmesine veya matematiksel mantığın biçimselleştirilmesine kadar uzanan çok çeşitli uygulama alanı vardır.
Matrisler
Matrisler, cebirsel hesabın temel araçlarıdır. Bunlar, n satirli ve p sütunlu, yani np adet sayı içeren, dikdörtgensel sayı tabloları biçimindedir. Eski Çinli matematikçilerden çok iyi tanıdığımız sihirli kareler, özel bir niteliğe sahip kare matrisler olarak göz önüne alınabilir: her satırdaki, her sütundaki ve her köşegendeki sayıların toplamı birbirine eşittir.
Bununla birlikte matrisler, kendileri için nadiren incelenmiştir, çünkü esas olarak, matematiksel durumları göstermeye ve problemleri açıklamaya yönelik araçlardır. Matrisler, hesapların dü
zenlenmesini ve çözümleri verecek veya başlangıç durumlarını çözümlemek için en iyi betimlemelere imkân sağlayacak olan dönüşümleri kolaylaştırır.
XVIII. yy’ın birinci yarısından itibaren Gabriel Cramer, y bilinmeyenli n denklemden oluşan denklem sistemlerinin çözümünde matrislerden yararlanmaya başladı. XIX. yy’da İngiliz cebirci-ler James J. Sylvester ve Arthur Cayley, matris hesabım geliştirdiler. Ulaştıkları sonuçlar kısaca şunlardı: n satirli ve p sütunlu matrisler kümesi, matrislerin toplamı ve bir sayıyla çarpımı için, np boyutlu bir vektör uzayı oluşturur; n satirli ve n sütunlu matrisler kümesi, önceki işlemler ve matrislerin çarpımı için bir cebirdir.
Hesaplama kuralları. Matrisler üzerinde bir toplama işlemi ve iki çarpma işlemi tanımlanabilir:
– iki matrisin toplanması:
CEBİR VE GEOMETRİ
Bir (E, G) çiftine geometri adı verilir; burada E, bir küme (genellikle bir noktalar kümesi) ve C, E üzerinde bir bijeksiyonlar grubudur; bu durumda, G’nin E üzerinde işlem yaptığından söz edilir. Geometriye ilişkin bu cebirsel bakış açısı, geometrik/den söz etmeyi zorunlu kılar, çünkü, bu durumda, E veya G’yi değiştirerek elde edilen farklı geometriler ortaya çıkar: afin geometri7de, dizilişleri ve uzunlukların oranı (ama, mutlaka uzunlukların kendileri değil) korunarak, noktalar ve bijeksiyonlar kullanılır; Eukleides geometrisinde, yukarıdaki ölçütlerin yanı sıra, uzunlukların korunduğu, «izometri» adı verilen bijeksiyonlar da göz önüne alınır.
4-boyutlu bir uzayda (fizikteki, uzay-zaman modeli) yer alındığında, doğrusal, birebir örten uygulamalar kümesi, fizikte, genelleştirilmiş (genel) görelilik kuramına bağlanan kısıtlı göreliliğin geometrisini oluşturmaya imkân verir.
R =
koordinatları (x, y) olan U vektörünü,
(0-4′)
olacak şekilde, bir V (x”, y’) vektörüne dönüştürülen, dönmeye eşlik eden matristir.
(a b/2\ = \b/2 c)
Aynı şekilde, C
denklemi ax2 + bxy + cy2 = d olan koniğe eşlik eden ma burada, söz konusu koniğin denklemi, aşağıdaki gibi matri minde de yazılabilir:
f f$2 &-) ^2^ Al
\di e, fi) + \d e2 f ) = \dı
– bir matrisin bir sayıyla çarpılması:
(a b A / \a Xb K\d e f) = \M Xe Xf)’
– iki kare matrisin çarpılması; bu, birinci matrisin satırları ve ikinci matrisin sütunları ele alınarak gerçekleştirilir:
bt + b2 e, + e,
cı + f+f
©
d
(x y) C
Matrislerin köşegenlenmesi. Sıfırdan farklı tek dej ana köşegen üzerinde bulunan bir matris, köşegen matris c tanımlanır; nitekim, aşağıdaki matris bir köşegen matristir:
(3 0 0\ 0 4 0 ]
0 0-1 J
(a b\ (a2 b2\ (, \cı dt)x \^2 d2) ^
🙂
2 + b^C2
cta2 + dtc2
alb2 + b,d:
c1b2 + d,d2
Matrisler genellikle matematiksel dönüşümleri temsil ett den bir köşegen matrisin yararı, hesaplamaları bunları basit ma işlemlerine indirgeyerek önemli ölçüde basitleştirmektir
‘ 3x\
Böylece, önceki ( V ) matrisi, [ 4y ) matrisine dönüşür
Bir denklem sisteminin çözümü, iki bilinmeyenli iki denklemden oluşan bir sistem, matris hesabının kullanımına ilişkin basit bir örnektir.
2x – 5 y = -13
3 x + y- 6
sistemi, denklemleri bilinen (yani, 2x – 5y + 13 = 0 ve 3x + y – 6 = 0) iki doğrunun kesişme noktasının {x, y) koordinatlarının araştırılması olarak yorumlanabilir. Bir başka yorumlama ise, matris gösterimi biçiminde yapılabilir; gösterimi şöyledir:
0/3x\
matrisi, I 4y )
\-v
Bu durumda, imkân olduğunda, herhangi bir matrisin bir k gen matrise dönüştürülmesinde yarar vardır; köşegenin değ rine, öz değerler denir. Köşegen matrise geçiş, bir koordinat s mi değişikliğiyle birlikte gerçekleştirilir; yeni koordinat sisti nin vektörleri {öz vektörler), dönüşümün veya şeklin ayırt edic teliğinde, birtakım ek özelliklere sahiptir: uzaydaki bir dö: matrisinin köşegenlenmesi, dönme eksenini elde etmeye iır verir.
Mesela, bir koniğe eşlik eden bir matrisin köşegenlenmesi. nun ana eksenlerini elde etmeye imkân verir:
(»23
-ro
Sx1 – 2xy + 3)’2 = 2,
matrisinin tersi
/3-l\
biçiminde köşegenlenebilen l j 3 ) matrisine eşlik eder, elips denklemidir.
Koordinat sisteminin değiştirilmesi sonucunda, aşağıdaki ir ris elde edilir:
/ 1/17 5/17 \ y- 3/17 2/17 )
matrisidir.
(i ?)
Bu iki matrisin çarpımının, birim matris rulanabilir.
olduğu doğ-
CEBİR VE ARİTMETİK
k’nin Z içindeki katlarının kümesi, kZ biçiminde gösterilir: kZ’nın elemanları, (…, -2k, -k, 0y k, 2k, 3k, …) biçimindedir. Mesela k = 1 ise, yine Z bağıl tamsayılar kümesi elde edilir; k = 2 için ise, çift sayılar elde edilir. Z’nin, toplama ve çarpma işlemleri için halka ve yalnız toplama işlemi için grup yapısına sahip olması, «Z’nin her toplama altgrubu, tek bir eleman tarafından oluşturulur» teoremi gibi kuramsal sonuçların elde edilmesine imkân verir; özellikle leZ, k tarafından oluşturulur. Bu durumda, a ve b, iki tamsayı ise, aL n tiZ. = niL bağıntısı vardır: burada m, a ve b’nm ortak bölenlerinin en büyüğüdür (O-BEB). ax + by (x ve y, herhangi i-ki tamsayı olmak üzere) biçiminde yazılan tamsayılar kümesi göz önüne alınırsa, ÖL + b~L toplamı durumunda, bunun bir altgrup olduğu kanıtlanmıştır; bu durumda bu, dİ. biçimindedir. d, a ve b’nin ortak bölenlerinin en büyüğüdür (OBEB).
Çözüm çifti, (y ) = A1 ^ eşitlik bulunur:
©-G)
Hesaplama yöntemi, R gerçek sayılar cismi içinde, ax-b denkleminin çözümünde kullanılana özdeştir: a sıfırdan farklıysa ve tf’nın tersi a-■ biçiminde yazılıyorsa, x çözümü, a-‘-b biçiminde yazılır. A matrisinin evirtilir olmadığı durumda, daha titiz bir inceleme gereklidir.
İki denklemli bu sistem, n denklemli ve p bilinmeyenli sistemlere genelleştirilmiştir; bunların çözümünde, büyük ölçüde matris hesabı, özellikle de, Gauss-Jordan indirgeme yöntemi kullanılır; bu, programlanması kolay ve bilişimde çok kullanılan bir hesaplama algoritmasıdır.
Geometrik uygulamalar. Matrislerin yararı, hesaplamalara getirdiği kolaylıklarla sınırlı değildir: n satirli ve sütunlu matrisler kümesiyle n boyutlu bir vektör uzayından f> boyudu bir vektör uzayına doğru doğrusal uygulamalar kümesi arasındaki işlemleri muhafaza eden bir birebir örten uygulamanın (bijeksiyon) varlığı, ayrım gözetmeden, durumlara veya kullanılan yöntemlerin kolaylığına göre, kümelerden biri veya diğeri üzerinde çalışma ve özellikleri ve sonuçları herhangi bir güçlükle karşılaşmadan bir kümeden diğerine taşımaya imkân verir. Böylece, matrisler, geometrik dönüşümleri ve geometrik küme denklemlerim «cebir-leştirme»ye imkân verir.
-13>
6 ı
(<2!2
V/2/2
-V2/2N
V2/2/
(cos (ıt/4) ■
sin (rt/4n /
ile elde edilir, buradan da, şu
.sin (ji/4) cos (ıt/4).
Bu durumda, yeni koordinat sistemi, eski koordinat sistem den yola çıkılarak buna açı değeri jt/4 olan bir döndürme dönü; münün uygulanmasıyla elde edilir. Bu yeni koordinat sistemin: elips köşegen matrise eşlik eder ve denklemi, 2X2 + 4Y2 = 2 b_ mini alır. Yeni koordinat sisteminin eksenleri, elipsin simetri e şenleridir.
Köşegenleme, birçok matematiksel ve fiziksel alanda kulla: lir. Nitel istatistikte, bir istatistik tablosunun temel bileşenle’ belirlemek için (temel bileşenler halinde analiz ve eşlemeler faktöriyel analizi); mekanikte, eylemsizlik eksenlerini (ana d mentler olan öz değerlere eşlik eden) saptamak için; sürekli r tamlar mekaniğinde, bir cismin dönme hareketlerini ve biçim C: ğiştirmelerini gözlemlemek için kullanılır.
Bir küme üzerinde işlem yapan grup
Budapeşte’deki bir mimarlık okulunda profesör olan Ernö Rur_: dahiyane bir merkezî eklem düzeneğinin mürididir; bu, bir küp–, üç doğrultuda dilimler halinde dönme hareketleri gerçekleştirme imkân verir. Buluşunun ilk amacı, öğrencileri uzayın dönüşümler-” alıştırmaktı, yani uzay dönüşümlerini somut bir cisimle gösterme; çalışmaktı. Macar küpünün, yani Rubik Küpü’nün büyük ticari r:-şarısı, dekoratif bir eşya (renkli, dönüştürülebilir) olarak kullanılar-mesinin yanı sıra, çok yalın bir oyun olma özelliğine de bağlıdır: iz-.
-1 . ■ .::sk küplerin karıştırılması ve başlangıçtaki küpün, her yü-:’13Z renginde olacağı şekilde yeniden oluşturulması.
– i .erde, Rubik Küpü’nün ateşli savunucularının çoğu, grup-. sayesinde yapılandırılabilen ve düzenlenebilen çeşitli
– – . – cnuşümleri arkasında gizli cebirsel zenginliklerin farkm-
; i. Birkaç genç yetenek, küpü birkaç dakikada, hatta bir-. ede yeniden oluşturabiliyordu; ama bunlar, yöntemleri-;’emekten ve etkileri önceden sezmek ve küp dilimleri-;„3nan döndürme hareketlerinin sayısını azaltmak ama–_^akım kurallar ortaya koymaktan uzaktılar. Rubik Kü-. – ~odu, orta öğrenim veya yüksek öğrenim öğrencileri için var olmayan yanlarının seyrini soyutlaştırmak ve böy-alanlara aktarılabilecek değişmezleri ortaya koymak ; .-neyleri ve hünerleri aşmanın ne kadar zor olduğunu gös-
– :_r :şte bu noktada, cebire başvurulmuştur.
.dönmeleri incelenirse, 24 dönme için 13 dönme ekseni bu da, küpü genel olarak değişmez bırakır (ama, düşey ,~.bz yatay konuma gelebilir). Bu eksenlerin tümü, küpün : z-Tiden geçer. Dönmeler, çevrimsel altgrupları bulunan bir . – . oluşturur. Şunlar sıralanabilir:
– erkezden geçen ve karşılıklı iki kenarı birleştiren bir doğru -de, 180°’lik 6 dönme. Bunların her biri, özdeş uygula-
i 2’nci basamaktan çevrimsel bir C altgrubu oluşturur; dişilikli iki yüze dik doğrular çevresinde, 90°, 180° veya 9 dönme (3 eksen, 3 açı). Her doğru için, özdeş uygula-; -‘üncü basamaktan, çevrimsel bir P altgrubu elde edilir; _run köşegenleri çevresinde, 120° veya 240°’lik 8 dönme
1 ts. 2 açı). Her köşegen için, özdeş uygulamayla, 3’üncü ba-
– : ■ 3n, çevrimsel bir D altgrubu elde edilir.
. : r„ldüğü gibi, dönmelerin sayısı, 6 + 9 + 8 ve buna eklenen :: = uygulamayla birlikte 24’tür.
“i:, karşılıklı iki kenara dik üç doğrunun £ kümesini incele-
– C dönmeler grubu, bunların mümkün her şekilde yerleri-:: i_ştırir. Bu durumda G, bir işlemleyenler kümesi olarak dü-
. srniir; bir grup yapısına sahip olan bu küme, £’nin üç köşe-. .zerinde işlem yapar (G’nin yapısının iyi bilinmesinden, me-_r uzayın bir koordinat sistemi olarak görüldüğünde, meka-
– i veya belli bir çokyüzlüyü değişmez bırakan dönmeleri araş-
– e.< için, kristalografide çok yararlanılır).
– küme üzerinde işlem yapan bu grupların öneminin anlaşıl-?eiix Klein’ın çalışmalarına bağlıdır; bu matematikçi, «Erlan-
rrogramı»mn açılış dersinde, XIX. yy’ın başından itibaren ge–__miş çeşitli geometrileri (tasarı geometri ve Eukleidesçi olan geometri) birleştirmek için, bu yapıyı kullanmıştır. Klein
2 veya 3 boyutlu klasik Eukleides geometrisi, £’nin, R2 düz-. veya R3 uzayı olduğu ve G’nin, yer değiştirmeler (dönme, ırjrıe) grubu olduğu bir geometridir.
ılantık cebiri
learge Boole, «Mantığın Matematiksel Analizi» (Mathematical :_vsıs of Logic, 1847) ve «Düşünce Yasatan Üzerine Bir İnceleme» Ir.vestigation into the Laws of Thought, 1854) adlı eserleriy-
! 1
s s” ……
;
le, matematiksel mantığın kurucusu olarak görülebilir. Yöntem, sıradan (günlük) dilin bazı karakteristik işlevlerini (olumsuzluk, tümdengelim vb) saptamaya ve bunları simgesel olarak çevirmeye, sonra da bunların düşünmenin genel yasalarıyla bağlantılı olan bileşim kurallarım incelemeye dayanır.
Boole tarafından ortaya atılan ve geliştirilen yapı, yukarıda cebirsel yapılar çerçevesinde tanımlandığı gibi bir cebir söz konusu olmadığı halde, geleneksel olarak, Boole cebiri adını taşır. Gerçekte, Boole cebiri halka ve sıralama yapılarım bir araya getirir; sayıların «doğal sıralanma»sı genelleştirilerek, xvey gibi iki eleman arasında bir sıralama bağıntısı tanımlanır; bu sıralama bağıntısı, şu özelliklere sahiptir:
– yansımalılık: x<x;
– tersbakışımlılık: (x < y ve y < x) ise, bu durumda x = y olur;
ve
– geçişlilik: (x < y ve y < z) ise, bu durumda, x<z olur.
N içinde, «…nin böleni olma» bağıntısı, bir sıralama bağıntısıdır; bunun en küçük elemanı 1 ’dir; sıralama, ancak kısmî bir sıralamadır, çünkü mesela 14 ve 15 karşılaştırılamaz.
«Ve», «veya» ve «değil» olumsuzluk bağıntılarının mantıksal-matematiksel işlevi, kümeler kuramı çerçevesinde, sırasıyla kesişim, birleşim ve tümleme ile eşdeğer bir yorum kazanır; nitekim, bir £ kümesinin parçalarının kümesi bir Boole cebiridir. x’in E içindeki tümleyeni x biçiminde gösterilirse, halka işlemleri elde edilir:
x + y = (x fi y) U (x fi y);
xy = x D y.
Buradan şu sonuç çıkarılır:
x U y = x + y – xy.
0 ve £ kümeleri, toplama ve çarpmanın nötr elemanlarıdır; boş küme 0 ve dolu parça £, aynı zamanda, kümeler arasındaki kapsama sıralama bağıntısının en küçük ve en büyük elemanlarıdır. Matematiksel mantığın temel olgusu, doğru veya yanlış olabilen ve bir Boole cebirinde, 1 (doğru) veya 0 (yanlış) değerleriyle kendini gösteren önerme olgusudur; burada, söz konusu 1 ve 0 değerleri, elektronikte sinyal geçişine veya sinyal yokluğuna karşılık gelir.
Boole cebirleri, mantıksal-matematiksel yardımlara ihtiyaç duyulan birçok durumda yaygın olarak kullanılır: öncelikle bilişimde, bir-gisayarların mimarîsi, bunlann karar verme problemlerinde (mesela, karmaşık yapısı, sınaî, ticarî veya ekonomik örgütlerin başansın-da etkili olan koşulların analizine dayanan strateji incelemeleri) kullanımı için, bilişim sistemleri üzerindeki kuramsal araştırmalar ve yapay zekânın geliştirilmesinde belirleyici rol oynayan mantıksal programlama için; daha sonra dilbilimde, doğal dilin bir kod olduğu ölçüde, sözdizimsel yapıların oluşumunun analizi ve dilsel dönüşümlerin mantıksal-matematiksel bir biçimselleştirilmesinin araştırılması için: bu araştırma doğrultuları, yavaş yavaş, beşerî ve toplumsal bilimlerin araştırma doğrultularıyla birleşmektedir. □
Boole cebirinin gösterimi, (ta, b, cl’nin parçalan kümesi için), (a, b, ci ve lal’nın tümleyenleri, 0ve Ib, ct’dir.
Sıralama kısmîdir, (a) ve ibl karşılaştınlamaz. Tümüyle sıralı altkümeler vardır: 0 ela) ela, bl ela, b, cj.
Rubik Küpü’niin dönme eksenleri.
Bunun içinden, küpün merkezinde kesişen 13 dönme ekseni geçer ve bu da 24 dönme üzerinde «oynamaya» imkân verir; bunlara bir uygulama da eklenir. Bu çok yalın oyunun ilkesi, gruplar kuramının bir açıklamasını oluşturur.
CEBİR VE ANALİZ
Bolzano ve Cauchy’nin, analize kesinlik kazandırmaya yönelik çabaları, analize özgü kavramların (limitler ve fonksiyonlar) rolünün gözler önüne serilmesine ve sayılar ve fonksiyonlar kümelerini yapılandırmak için cebire başvurulmasına yol açtı. XIX. yy’da bu kesinlik kazandırma çabası, gerçek sayılar sisteminin açık ve belirgin olmadığını ortaya koydu; limit kavramından bağımsız olarak, irrasyonel sayıların tanımlanma gerekliliğini ortaya koyan ilk matematikçi, Weierst-rass oldu. R ve C, gerçek ve karmaşık sayılar kümelerine uzatılabilen Q rasyonel sayılar cisminin yapısı, mesela, bir fonksiyonun periyotlarının incelenmesi açısından çok yararlı olan toplama ve çarpma altgrupları üzerinde birtakım sonuçlar elde etmeye imkân verir.
Cebirin, analiz alanında oynadığı rol,
XX. yy’ın ikinci yarısında, düzgülü vektör uzaylarının (R içindeki mutlak değer, bir düzgüdür) gündeme gelmesiyle birlikte, önemli ölçüde gelişmiştir; düzgü, limit kavramını tanımlamaya ve önceden cebirsel olarak yapılandırılmış her tür kümeye, birtakım analitik yöntemler uygulamaya imkân verir. 1945’te, Laurent Schwartz tarafından geliştirilen dağılımlar kuramı, ilke olarak, düzgülü vektör uzaylarına dayanır ve Fourier ve Laplace dönüşümlerinin de kullanımıyla, kuramsal veya uygulamalı fizikte önemli uygulamalara konu olmaktadır.
AYRICA BAKINIZ
—► EâHSI algoritma —► [B.ANsu fonksiyonlar
—► ib.,anslJ geometri
—► IB.ANSLI hesap
—► IB.ANSU mantık
—► 1B.ANŞL1 matematik
—► IB.ANSL1 matematiksel yapılar
—► EM] sayılar
4>/
/ /
â2 /d*
CEBİR
dt a2 %
