MATEMATİK |
p(x) = a . xn 4- ajX0’1 4- 4- an x x 4- ap, biçimindeki bir ifadeye n’inci dereceden polinom denir. a0, alt , an-1 polinomun katsayıları an ise sabit terimlidir. Katsayılar ve sabit terim reel (gerçek) sayılardır. Polinomun dereceleri doğal sayılardır.
Bir p(x) polinomu, <¡)(x) = (x-a) (x-b).., polinomuna bölündüğünde bölüm s(x) ve kalan ise K(x) olsun,
p(x) = Q(x) . S(x) 4- K(x) veya p(x) = (x-a) (x-b) • S(x) 4- K(x) olur. Böleni sıfıra eşitlersek,
Q(x) = (x-a) (x-b) = 0 ^x ^a ve x = b olur. Bu değerleri p(x) de yerine yazarsak: p(a) = (a – a) (a – b). S(a) 4* K(a) ve p(a) = K(a) p(b) = (b – a) (b – b). S(b) 4- K(b) ve p(b) = K(b)
p(a) VC p(b) polinomunun x — a ve x — b’ye bölümünden elde edilen kalanlardır.
ÖRNEK: p(x) = x4 — 3x3 4- 4x2 – 5 polinomu x 4- 2’ye bölündüğünde kalan ne olur?
ÇÖZÜM: Böleni sıfıra eşitleyelim: x4-2=0^’x = -2 olur, x’in değerini bölünecek polinomda yerine koyalım:
p(—2) = (—2)4 — 3(—2)3 4- 4(—2)2 — 5 = 16 4-24 4-16 — 5 = 51 dir.
ÖRNEK 2: Bir p(x) polinomu için p(x 4-3) =x3 – 4x2 4- 5x – 7 olduğuna göre p(2)’nin değeri nedir?
ÇÖZÜM: p(2) yi bulmak için p(x 4-3) polinomunda x yerine ne koymalıyız diye düşüneceğiz?
p(2) = p(x 4- 3) olması için 2 = x 4-3=>x =—1 olur, x’in değerini p(x +3) te yerine koyalım:
p(—1 4- 3) = (—’I)3 — 4(—1)2 4- 5(—1)—7 (polinomda tam x yerlerine —1 konulduğuna dikkat ediniz