Sevgili öğrenciler
“Hedef Üniversite” adlı dergimiz yayın hayatına atılmç bulunuyor. Eserimiz, türünde ve konusunda lider olma amacını ve iddiasını taşımakta. Üniversite sınavlarına hazırlanmakta olan arkadaşlarımızın olduğu kadar, lise ara sınıflarındaki kardeşlerimizin de ilgisini çekecek türde düzenlediğimiz dergimiz, konu özetleri, çözümlü örnekler, test tekniğine uygun pratik öneriler ve çok sayıda çözümsüz, fakat cevaph soru ve problemler içermekte. Matematik, Fizik, Kimya, Biyoloji ve Türkçe bölümlerinden oluşan dergimizi kimsenin yardımı olmadan, severek ve öğrenerek izleyeceğinize inanıyoruz. ..HEDEF” imiz
* Üstün başan elde etmek
* Eserimizle gurur duymak ’HEDEF’iniz
* Severek ve öğrenerek çalışmak
* İstediğiniz fakülteyi kazanmak.
Başarılar dileğiyle
____________ J
YAZAR KADROSU MURAT DERSANESI ÖĞRETMENLERİ Matematik MEHMET AYDEMİR Fizik ZEKİ KIRAL MEHMET ÖZYAZGAN Kimya AGAH HARAÇCIOGLU Biyoloji SÜHEYLA KUMRAL Türkçe AYSEL ÖZCANLI
15 GÜNDE BİR ÇIKAR
Adres: MEHMET ÖZYAZGAN Oyak Sitesi 32 B/ll YENİLEVENT İSTANBUL
Uf: 520 13 28 Akşam: 164 24 23
ABONE ŞARTLARI: 1- 17 sayı 2500 TL.
2- Başvuru adresi: MEHMET ÖZYAZGAN POSTA KUTUSU 1407 SİRKECİ/İSTANBUL 3- Her türlü paralı müracaatlarınız için lütfen posta havalesi kullanınız.
Dizgi ve Baskı Günlük Ticaret Gazetesi Tesisleri Çemberlitaş Palas Da: 7 Tel: 527 33 12-527 36 50 İstanbul 1984
|
MATEMATİK |
p(x) = a . xn 4- ajX0’1 4- 4- an x x 4- ap, biçimindeki bir ifadeye n’inci dereceden polinom denir. a0, alt , an-1 polinomun katsayıları an ise sabit terimlidir. Katsayılar ve sabit terim reel (gerçek) sayılardır. Polinomun dereceleri doğal sayılardır.
Bir p(x) polinomu, <¡)(x) = (x-a) (x-b).., polinomuna bölündüğünde bölüm s(x) ve kalan ise K(x) olsun,
p(x) = Q(x) . S(x) 4- K(x) veya p(x) = (x-a) (x-b) • S(x) 4- K(x) olur. Böleni sıfıra eşitlersek,
Q(x) = (x-a) (x-b) = 0 ^x ^a ve x = b olur. Bu değerleri p(x) de yerine yazarsak: p(a) = (a – a) (a – b). S(a) 4* K(a) ve p(a) = K(a) p(b) = (b – a) (b – b). S(b) 4- K(b) ve p(b) = K(b)
p(a) VC p(b) polinomunun x — a ve x — b’ye bölümünden elde edilen kalanlardır.
ÖRNEK: p(x) = x4 — 3x3 4- 4x2 – 5 polinomu x 4- 2’ye bölündüğünde kalan ne olur?
ÇÖZÜM: Böleni sıfıra eşitleyelim: x4-2=0^’x = -2 olur, x’in değerini bölünecek polinomda yerine koyalım:
p(—2) = (—2)4 — 3(—2)3 4- 4(—2)2 — 5 = 16 4-24 4-16 — 5 = 51 dir.
ÖRNEK 2: Bir p(x) polinomu için p(x 4-3) =x3 – 4x2 4- 5x – 7 olduğuna göre p(2)’nin değeri nedir?
ÇÖZÜM: p(2) yi bulmak için p(x 4-3) polinomunda x yerine ne koymalıyız diye düşüneceğiz?
p(2) = p(x 4- 3) olması için 2 = x 4-3=>x =—1 olur, x’in değerini p(x +3) te yerine koyalım:
p(—1 4- 3) = (—’I)3 — 4(—1)2 4- 5(—1)—7 (polinomda tam x yerlerine —1 konulduğuna dikkat ediniz)
p(2) = -1 -4 -5 —7 = —17 olur.
ÖRNEK 3: Bir p(x) polinomu için p(x-1) = x3 – 4x2 + 3x – 7 olarak veriliyor. p(x+2) poVmomu x—3’e bölündüğünde kalan ne olur?
J
ÇÖZÜM: Bölünecek polinom p(x 4- 2) ve bölen x—3 tür. Bölen sıfıra eşitlenip bölendeki x*in değeri bölünecek polinomda yerine yazılırsa kalan bulunur.
x~3 = O =»x = 3 ve bu değer p(x + 2) de yerine yazılırsa p(3 4- 2) = p(5) olur. Problem p(5)*in değeri nedire dönüşmüştür.
p(x~1) —x3 – 4x2 4~3x – 7 polinomunda p(5) bulmak içi p(5) = p(x-1) 5 = x-1 =>x =6olnr –v ■
_ – FVj/ ouımak için,
. ^ = x—1 ==>x =6 olur. p(x—1) de x yerine 6 koyarsak,
p(5) = p(6 — 1) = 63 — 4(6)2 4*3.6-7=216-144 4-18-7=83 olur.
IEK 4: p(x) polinomunda p(x + 2) = x3 + 10x2 – 3x 4-15 olduğuna göre, p(x) po- lînomu X — 2 ile bölümündeki kalan nedir? (ÜYS-81)
A) 0 B) 2 C) 10 n)K
PHı *• *“/ ~-r
n/7\ î r0=*,?u=2değerİnİ bölünecek polinom olan p(x) de yerine koyarsak p(2) elde edilir. p(2) yı bulmak için p(x + 2) =x3 + 10x2 – x2 – 3x 4-1 s mim
“.»dari2)=p(x+2)de„2=x+2Pix=0lkonmJ1,
p(2)=p(0+2)=0+ 0-0+ 15 = 15 olur.
ÖRNEK 5: Bir p(x) polinomu x – 2’ye bölündüğünde. 4 kalanı, Q(x) polinomu ise x – l’e bölündüğünde 3 kalanı vermektedir.
S(x) = p(x – 2) Q(x – 3) 4- x2 – x 4-1 olduğuna göre, S(x 4-1) polinomu x – 3’e bölündüğünde kalan nedir?
ÇÖZÜM: S(x 4- 1) polinomu x — 3’e bölündüğünde kalanı bulmak için x — 3 = 0 dan bulduğumuz x = 3 değerini S(x 4-1) de yerine yazarız.
S(x 4-1) = S(3 4-1) = S(4) olur.
*S(x) = p(x – 2). Q(x – 3) 4~ x2 – x 4-1 de S(4) bulmak için x = 4 yazılır.
S(4) = p(4—2). 9(4 – 3) + 42 – 4 4-1 = p(2). Ş(1) +13 olur. p(x) polinomu x — 2’ye bölündüğünde kalan 4 olması p(2) = 4 ve Q(x) polinomu x—l’e bölündüğünde kalanın 3 olması S(1) =3 demektir. Bu değerleri yerine yazarsak,
S(4) =4. 3 4-13 =25 olur.
ÖRNEK 6: Bir p(x 4-2) polinomu x 4-3’e bölündüğünde 5 kalanı vermektedir.
— -— = x2 — 4x — 6 olduğuna göre Q(x) polinomu x 4- 3’e bölündüğünde ka-
p(x 4-1) lan ne olur?
ÇÖZÜM p(x 4- 2) polinomu x 4- 3*e bölündüğünde, x 4- 3 = 0 dan x = — 3 ve p(-3 4- 2) = p(-1) = 5 olur.
Q(x) polinomu x 4-3 bölündüğünde kalan Q(—3) olur.
~ = x2 – 4x – 6 eşitliğinde Q(-3)fün değerini bulmak için 0(x-l) de
P(x+1)
4 x yerine—2 yazmak gerekir.
2 . Ü– =(_ 2)2 — 4(—2) –6=> — – – =6=»Q(-3) =5 • 6 =30 olur. p(—2 +1) p(—1) V
ÖRNEK 7: p(x) polinomu için p(x + 1) =x3 —(a 4- 3) x2 +4x – 2 veriliyor. p(x-1) po- linomunun, x— 3* e tam olarak bölünebilmesi için a ne olmalıdır?
ÇÖZÜM: p(x—1) polinomunun, x—3’ye tam bölünebilmesi için kalanın sıfır olması gerekir.
x – 3 = O dan p(x — 1) = p(3—1) = p(2) = 0 olur. p(2)’yi bulmak için p(x +1) polinomunda x yerine 1 gelmelidir. p(1 +1) = (1)3 —(3 + 3) (1 )2 +4(1) — 2 = 0
1 —a — 3+4—2 =0 a =0 olur.
ÖRNEK 8: p(x) = ax4 + bx3 + 3x2 – 4x + 1 polinomu x2 – x – 2 ye tam bölündüğüne göre a nedir?
ÇÖZÜM: Böleni sıfıra eşitleyerek x’in değerlerini bulup polinomda yerine koyduğumuzda kalanlar sıfıra eşit olmalıdır.
x2-x-2=0=>(x-2)(x+1)=0 x =2, x =-1 olur. p(2) =0 ve p(—1) =0 olmalıdır. p(2) =16a+8b + 12—8 + 1 =0=M6a+8b +5 =0 p(—1) = a—b+3+4 + 1 =0^8 / a—b+8=0 ikinci denklemin her iki tarafını 8 ile çarpalım.
16a + 8 b + 5 = 0 8a-8b+64=0
ÖRNEK 10: p(x) = (x – 4)n‘1 4 (x – S)1‘01 – 1 polinomunun (x-4) (x-5)’e tam olarak bölünebilmesi için m ve n ne olmalıdır?
ÇÖZÜM: Böleni sıfıra eşitleyip polinomda yerine yazdığımızda polinom sıfıra eşit olmalıdır.
(x-4) (x-5) =0=*x =4vex =5olur.
p(4) = (4 — 4)n‘1 4(4-5)1‘m -1 =0^(-1)l‘m -1 — 0 bu eşitliğin sağlanması için m yerine -1, -3, -5,.. gibi negatif tek sayılar gelmelidir. Polinomun derecesi doğal sayılar olduğu için m yerine pozitif tam sayılar gelemez. (Pozitif tam sayılardan yalnız 1 ‘in sağladığını görünüz), m pozitif tam sayılar olduğunda derece negatif olur.
p(5) = (5—4)n‘1 +(5 -5)1*”1 -1 =0=»(1)n‘l -1 = 0olur.
Bu eşitlik n’in her pozitif tam sayı değeri için sağlandığını görünüz.
Cevap olarak m negatif tek sayı n ise pozitif tam sayıdır.
ÖRNEK 11: p(x) = (x — 4)2n 4- (x + 2)rTfl — 22n+2 polinomu x — 2’ye bölündüğünde 8 ~ kalanını vermesi için n ile m arasında nasıl bir bağıntı bulunmalıdır.
ÇÖZÜM: x-2 = 0=*x = 2 olur. Polinomda yerine yazarsak, p(2) = 8m‘1 olmalıdır
p(2) = (2 – 4)2n 4 (2 4 2)^1 – 22n+2 = 8m‘1
(_2)2n -f 4n-i‘1 _ 22n+2 = 8m l n _|_ 22 (0+1) _ 22n+2 — gm
22n =23(m‘1) tabanlar eşit ise üsler de eşit 2n = 3m – 3 olur.
NOT: Bölenin derecesi büyük ise, bölen sıfıra eşitlenerek en büyük dereceli terim bulunur. Polinom bölenin dereceleri cinsinden yazılır. Böleninin değeri yerine yazılarak kalan bulunur.
ÖRNEK 12: p(x) = x16 – x12 + 4x10 – x6 4 x4 – x3 4 x2 – 3x + 5 polinomu x4 4 2’ye bölündüğünde kalan ne olur?
ÇÖZÜM: x4 4 2 = 0 =>x4 = — 2 olur. Şimdi p(x) polinomunu bölenin dereceleri cinsinden yazalım. Başka bir deyişle p(x4)’ü bulalım.
p(x4) = (x4)4 – (x4)3 4 4(x4)[1] . x2 – x4 X* 4 x4 – x3 4 x2 – 3x 4 5 Yalnız x4 yerlerine -2 koyarsak, kalan bulunur.
p(_;>) = (—2)4 – (-2)3 4 4(—2)2 x2 – (-2) x2 4 (-2) -x3 4 x2 – 3x 4 5 = 16 4 8 416x2 4 2x2 -2-x3 4x2 -3×45 = – x3t 19x2 — 3x 427 olur.
ÖRNEK 13: p(x) = 3x36 — 5x18 — 4 polinomunun ( x9 4 >/$) e bölümündeki kalan nedir? (ÖYS – 82)
A) 4 B) 5 C) 6 D)1 E) 8
ÖRNEK 9: p(x) = ax3 + bx2 + 4x — 3 polinomu (x — 1) (x – 2) ye bölündüğünde 3x—5 kalanı vermesi için b ne olmalıdır?
ÇÖZÜM: Yine böleni 0 a eşitleyelim. (x — 1) (x — 2) = 0 dan, x = 1 ve x = 2 olur. Bölümü S(x) olarak alırsak:
p(x) = ax3 + bx2 + 4x – 3 = (x-1) (x-2) S(x) + 3x – 5 olur. p(1) ve p(2) yi bulalım.
p(1) =a + b + 4 — 3 = (1 —1) (1 -2)S(1)+3-5 p(2) =8a+4b +8-3 =(2-1) (2-2) S( 2) +6-5
Denkiemleri düzenleyelim ve birinin denkleminin her iki tarafını —8 ile çarpalım: —8/a + b +1 = —2 => –8a-8b -8 = 16 8a +4b +5=1 => 8a+4b+5=1
