GEOMETRİ

GEOMETRİ; Alm. Geometrie (f), Fr. Geomet-rie (f), İng. Geometry. Uzayı ve uzayda tasarla-nabilen şekilleri ve cisimleri inceleyen matematik dalı. Yunanca bir kelime olan geometri, kelime mânâsı olarak yerin ölçülmesi demektir. Geometri çok eski çağlardan beri vardı. Ancak geometri ismi, bu ilmin ilk sistematik hâle gelmeye başladığı eski Yunanlılarda verilmiş olup, aksiyomatik bir ilim hâline gelmesine rağmen, hâlen kullanılmaktadır.

Geometriyle sırasıyla, Tales, Pisagor, Eflâtun ilgilenmiştir. M.Ö. 3. yüzyılda Euclides’in yazdığı Elemanlar adlı kitap, geometrinin sistemli bir ilim hâline gelmesine öncülük etmiştir. M.Ö. 330 yıllarında kurulan İskenderiye, Akdeniz bölgesinin en etkili kültür merkezi olma özelliğini uzun yıllar muhâfaza etmiş ve burada geometri çok gelişmiştir.

Adları zamânımıza kadar uzanan matematikçilerin, fizikçilerin ve astronomicilerin bü kültür merkeziyle sıkı ilgileri olmuştur. İskenderiye ocağı sönünce, matematik ve geometri Akdeniz bölgesinde geriledi ve hattâ zamanla izleri silindi. Buna karşılık İslâm âleminde birçok matematikçiler yetişti. Müslümanlar, geometri üzerine mevcut olan çalışmalarına devâm etmişlerdir. Bu arada Abbâsîler zamânında klasik Yunan kaynaklarıyla temasa gelmişlerdir. Bu kaynaklarda yazılanlarla kendi bilgilerini karşılaştırmışlar, Yunan eserlerindeki yanlışlıklan düzeltmişler ve bu sahada yeni eserler vermişlerdir. İlk eserlerden birisi Benî Mûsâ’nın Kitâbu Mârifeti Mesâhat-il-Eş-kâl (Şekillerin Alan Bilgisi) adlı kitabıdır. Daha sonra bu kitaba Nâsıreddîn Tûsî açıklama yazmıştır. Bu ise daha sonraları Lâtinceye tercüme edilmiştir. Benî Mûsâ’nm konikler üzerine yazdığı kitap da meşhurdur. Sâbit ibni Kurre Parabolün Kuadraturu adlı eserinde parabol parçalarının alanlarını hesaplamıştır. Diğer bir geometrici Ebü’l-Vefâ el- Buzcânî’dir ki Fîmâ Yahtâcu İley-hi es-Sânî min A’mâl-il-Hendese (Sanatkârın İhtiyâcı Olan Geometrik İşlemler) eseridir. İbni el-Heysem’in ise izoperimetri problemleri üzerindeki çalışmaları kayda değerdir.

Bîrûnî ile mektuplaşan Ebü’l-Cûd, çemberi dokuz eşit parçaya ayıran bir metod geliştirmiştir.

Ömer Hayyan ve Tûsî’nin Euclid’in paralel
İbni el-Heyzem’in bir eserinde geometri ile ilgili çalışmaları.
doğru teorisi ile ilgili beşinci postulatın incelenmesi yeni bir devrin başladığına işâret eder. Ömer Hayyân’m Fî Şerhi mâ Eşkale min Müsâderât Kitâbı Euclid (Euclid Elemanlarının Zorluğu Üzerine) adlı eseri bir anlamda Euclid dışı geometrilere açılan ilk kapıdır. Bu Müslüman geometri âlimleri ve kitapları, Rönesanstan sonra Avrupa’da yetişenlere rehberlik ettiler.

Batıda geometrinin gelişmesi ve doğu ile aralarındaki bağın yeniden kurulması, ancak Röne-sansla mümkün oldu. Euclid’in paraleller postulatının ilk tenkidcileri, bu postulatın doğruluğundan değil, açık bir noktanın olmayışından şüphelendiler. Bu sebeple postulatı bir tarafa bırakarak, açıklığı olan başka bir postulat koymaya çalıştılar. Aynı problem 13. asırda İranlı Matematikçi Nâsireddîn Tûsî tarafından yeniden ele alındı.

On sekizinci asırda paraleller postulatı üstüne Avrupa’da Papaz Sacheri, Legender, Lambert gibi matematikçiler ve 19. asırda Alman Matematikçi Gauss tarafından çeşitli çalışmalar yapıldı. Bu araştırmalardaki başarısızlık, bu postulatın “kabul edilebilir” özellikteki açık önermelerden faydalanarak ispat edilemeyeceği düşüncesini ortaya koydu. Hakikaten çok geçmeden bu düşünce Bolyai (1832)de, Lobachevsky (1855)de “paraleller postulatı” yerine “Lobacevski postulatı”m (Bir doğruya bu doğru dışındaki her noktadan iki paralel çizilebileceğini kabul eden postulat) koyarak, yeni bir geometri kurulabileceğinin farkına vardılar. Böylece “Hiperbolik Geometri” denilen yeni bir geometrinin temelleri atılmış oldu. Daha sonra Riemann paralelliği kabul etmeyen “Eliptik Geo-metri”nin temellerini attı.

Geometride ele alınan bütün mevzular nokta, çizgi, yüzey ve hacimlerle ifâde edilir. Şekilleri bu yönlerden ele alıp, özelliklerini inceler. Geometrideki bu temel ifâdelerden nokta en ilginç olanıdır. Noktanın eni, boyu, yüksekliği, alanı ve hacmi mevcut değildir. Bu sebepten de noktanın müstakil bir târifî mevcut değildir. Ancak iki doğrunun kesişim kümesi olarak târif edilebilir. Buna mu-kâbil geometrinin diğer ifâde araçlarından çizgi, yüzey ve hacim en az bir boyuta sâhib olan ifâdelerdir. Çizgi, sâdece uzunluğu olan (bir boyutlu); yüzey, uzunluğu ve genişliği olan (iki boyutlu); hacim ise uzunluğu, genişliği ve yüksekliği olan (üç boyutlu) ifâdelerdir.

Her ilim dalında olduğu gibi geometrinin de üzerine kurulu bulunduğu bir temeli mevcuttur. Bu temel üzerinde kendi ifâde birimleri ile, meseleleri (problemleri) açıklığa kavuşturmaya çalışır. Bu temeller aksiyom, postulat, tanım (târif), teorem ve geometrik yer isimlerini alır. Bunlardan aksiyom, ispata ihtiyaç duyulmadan, kabul edilen önermelerdir. (Bkz. Aksiyom)

Aksiyomlardan (doğru veya yanlış) büyük ölçüde faydalanılır. Doğru aksiyomlar doğru, yanlış olanları ise yanlış neticeler meydana gelmesine sebebiyet verirler. Geometrik aksiyomlar ortaklık, sıra., denklik, paralellik ve süreklilik aksiyomları olmak üzere beş gruba ayrılır.

Postülatlar, mantıkî olarak doğruluğu kabul edilmesine rağmen, doğru voya yanlış olduğu ispat edilmeyen önermelerdir. Geometride postulatların kullanılması bâzı problemlerin çözümünde önem arz etmektedir.

Tanım (târif), bir kavramı, bir varlığı, özel ve temelli niteliklerini belirterek tanıtmak olup, bir geometri problemi üzerinde yürütülen fikirlerin doğruluğu, tanımların doğruluğu ile doğru orantılıdır.
düzlemler, Diferansiyel Geometride bir C eğrisinin herhangi bir P noktası üzerinde çalışması için en uygun koordinat sistemidir.
Projektif transformasyon: F’y P noktasına birleştiren doğru F şeklinde ikinci bir düzlem ile kesiliyor. Böylece elde edilen şekil P’ noktasının F” şeklindeki yeni düzleme projeksiyonudur.
Meselâ karşılıklı kenarlan paralel olan dörtgenlere paralelkenar denir. Dikdörtgen ise karşılıklı kenarlan paralel ve bir açısı dik olan dörtgenlerdir. Bu târiflerde karşılıklı kenarlann ve açıların eşit olması ile, açılann hepsinin dik olması, ayrı özelliklerdir. Geometri, problemleri ve bu problemler üzerindeki çalışmalarda bu târifler son derece ehemmiyet kazanır.

İspatlanabilen önermeler olan teoremler, iki kısımdan meydana gelir: Hipotezler, verilen bilgiler ve bu bilgilerden çıkanlan varsayımlardır.Hüküm ise teoremin ispat edilmesi istenen bölümüdür. Geometri problemlerinde, problemin ifâdesinden hipotez ve hüküm kısmını#ayırd etmek çok önemlidir. “Bir üçgende bir dış açı kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.” ifâdesi bir teoremdir. Bir ispatta, aksiyomlardan, postulatlardan, târiflerden ve istenen ispatı yapabilmek için daha önce ispatlanmış olan teoremler ile bâzı teoremler için ispatı yapmaya faydalı olacak “yardımcı teorem” adı verilen teoremlerden istifâde edilir. Bu kaynaklardan faydalanılmadan, geometri teoremlerinin ispatı yapılamaz, yapılsa da tutarlı ve geçerli yönü olmaz. Bir teoremin hükmü başa alınır, hipotez yapılır; hipotezi de hüküm yapılırsa, elde edilen yeni teoreme, evvelkinin “karşıt teoremi” adı verilir.

Geometride bütün problemlerin çözümüne uygulanacak bir tek metod göstermek imkânsızdır. Çünkü her problem, kendi niteliğine uygun bir yol ile çözülebilir. Bununla berâber, çözüm için yapılacak araştırma ve muhâkemeye bir yön vermek mümkündür. Kullanılan metodları, özel ve genel diye sınıflandırabiliriz. Özel metodlar, çözücünün bu husustaki görme ve sezme yeteneğine bağlıdır. Bir problemi çözerken görülen özel yol diğer birine uygulanmaz.

Geometrik görüş ve seziş melekelerinin ge- ■ liştirilmesi için çözücüye bol sayıda “çözülmüş

problem” incelenmesi tavsiye edilir. Genel me-todlar, analiz ve sentez olmak üzere ikidir.

Analiz: Bu metodla ispat yaparken, ispatı istenen hükmü hareket noktası alıp, geriye doğru zincirleme bir muhâkeme yapılır. Meselâ (D) önermesinin doğruluğunu göstermek için, buna göre daha basit olan (C)nin, doğruluğunu göstermeye bunun için de daha basit olan bir (B) önermesinin doğruluğunu göstermeye gayret edilir. Böylece, daha önceden bilinen bir önermeye varıncaya kadar devâm edilir.

Bu metodla problem çözülürken, problem çözülmüş olarak kabul edilip, şekil çizilir ve yukarıda anlattığımız seri muhâkeme yapılarak, sorulan problem, çözümü belli bir problem veya teoreme götürülmeye çalışılır. Çoğu zaman çizim problemlerinde izlenen yol budur.

Sentez: Analizin tersi olan bir metoddur. Bu metodla bir hükmü ispat etmek için, daha önceden bilinen bir önermeden hareket edilerek zincirleme bir muhakeme ile yeni bir önermeye geçilir. Bunun doğruluğu gösterildikten sonra, adım adım sorulan hükme doğru yaklaşılır. En sonunda sorulan hükmün de doğru olacağı sonucuna varılır.Meselâ, bir (D) önermesinin doğruluğunu göstermek için önceden bilinen (A) Önermesinden hareket edilerek, “(A) doğru olduğundan (B) de doğrudur. (B) doğru olunca (C) de doğru olur. Nihâyet (C) doğru olduğu için, (D)nin de doğru olması gerekir” diye sıralı bir muhakeme yapılır.

Bu metodu, probleçı çözmeye uygulamak güçtür. Çünkü bir problemi çözmek için, önceden belli olan hangi problem veya teoremden hareket edileceği bilinmez. Onun için bir problemin çözümünü ararken izlenen metod analizdir. Sentez ise, daha çok bir teoremden yeni bir teorem bulmakta veya belli çözümü anlatmakta kullanılır. Bilinen bir çözümü bu metodla anlatmak kısa olduğu için öğretimde tercih edilir.

Bir ispatın tam olabilmesi için, çabuk yapılan bir analizden sonra sağlam bir sentezi ihtivâ etmelidir.

Bir düzlem içerisinde ortak özelliğe sâhib olan noktaların meydana getirdiği geometrik şekle “geometrik yer” adı verilir. Meselâ, verilen bir noktaya, belirli bir uzaklıktaki noktaların geometrik yeri bir çemberdir.

Geometrik yer problemleri: Geometrik yer problemlerinin çözümünde, önce geometrik yerin cinsini anlamak için, geometrik yere âit olması gereken birkaç özel nokta gözönüne alınır ve bu noktalardan geçecek çizginin ne olabileceği aranır. (Şimdilik bu çizgi; doğru, çember, elips, hiperbol, parabol… olur.) Böylece geometrik yerin cinsi kestirildikten sonra düşünceler o yönde toplanır. Çözüme başlanırken:
1. Geometrik yere âit (yâni verilen şarta uyan) bir nokta M olsun denir. Sonra bu noktanın şekille ilgili hangi sâbit çizgi üzerinde bulunacağı aranır.

2. Karşıt olarak, bu çizgi üzerinde alınan herhangi bir M noktasının verilen şartı gerçekleyip, gerçeklemediği gösterilir. Eğer çizginin bir kısmındaki noktalar verilen şartı gerçeklemiyorsa, çizginin bu kısmı geometrik yere âit değildir, denir.

Geometrinin Bölümleri

1. Analitik geometri: Tasvirleri ve geometri uzayındaki çalışmaları rakam ve cebir denklemleri kullanarak ifâde eden matematik dalı. Analitik geometride noktalar, sıralanmış sayı kümelerinden meydana gelen koordinatlarla ifâde edilir. Analitik geometrideki çalışmalarda problemin husûsi-yetine göre kartezyen koordinat sistemi (dik veya eğik) veya polar koordinat sistemleri kullanılır. (Bkz. Analitik Geometri)

2. Diferansiyel geometri: Hesaplamanın ve özellikle diferansiyel hesâbın geometriye tatbik edildiği dal. On dokuzuncu yüzyıldaki en değerli matematik kitaplarında diferansiyel geometrinin temeli, düzlem ve uzaydaki eğrilerle uzaydaki yüzeyler olmuştur. Diferansiyel geometrinin temel kavramları eğrilerin teğetleri, teğetlerin değişmeleri ve eğrilikleridir. Kartografyadaki bir yüzeyin bir başka yüzey üzerine haritasının çıkarılması diferansiyel geometri kavramlarına dayanan bir çalışmadır. Bu sahada vektör ve tansör hesap, düzenli bir şekilde kullanılır. Geometrinin bu bahsinin anlaşılmasında, diferansiyel hesap esaslarının iyi bilinmesi gerekmektedir.

Bir yüzey uzaydaki dik kartezyen koordinatlarda f(x,y,z)=0 fonksiyonu ile, uzay eğrisi ise iki yüzeyin arakesitiyle gösterilir. Bir uzay eğrisinin bir diğer ifâdesi ise parametrik gösterilimle olur. x=f(t) y=g(t), z=h(t) ifâdesi gibi, indisli olarak x;=fi(t) (i=l,2,3) şeklinde de olabilir. Burada t parametredir. Yay uzunluğu olan s, eğri üzerinde sabit bir noktadan ölçülür. Yay uzunluğu:

ds = V dx2 + dy2 + dz2

formülüyle hesaplanır.

Eğrinin P(x;) noktasmın bulunduğu küçük parçasında dxj/dt teğet vektörünün, tj=dx;/ds ise, birim teğet vektörünü gösterir, p noktasında tj’ye dik olan düzleme “normal düzlem” denir, tj’nin değişim oranına (diferansiyeline) eğrilik vektörü denir. Ve bu t;’ye diktir. t; (teğet) n; (normal) birim vektörlerinin arasında kalan düzleme öskülatör düzlem denir. Bu düzleme (P) noktasında dik olan vektöre binormal vektör denir, b; ile gösterilir. Üç vektörün meydana getirdiği t,, nb ve bj formuna üçparmak kuralı denir. Çünkü eğri P, noktası etrâfında hareket eder. Bu hareket Frenet formülleri ile ifâde edilir.

Dualite prensibi, geometrinin daha kullanışlı olmasını sağlar. Şekilde görülen tamamlanmış dört köşeli ile tamamlanmış dört . kenarlının herbiri bir diğerinin dualidir.
üzerinde en az uy ayrık noktası vardır. Aksiyom 3: Bir doğru ile üzerinde olmayan bir nokta mevcuttur. Aksiyom 4: İki farlı doğrunun en az bir ortak noktası mevcuttur.

Dualite (ikilik) prensibi: Dikkat edilirse doğru ile nokta aksiyomlarda ve bundan çıkarılacak teoremlerde benzer durumlardadır.Meselâ aksiyom 3’te “doğru” ile “nokta” yerleri değiştirilirse, bir değişiklik olmaz. Diğer aksiyomlarda da yapılacak bir değişiklik daha sonra elde edilecek teoremleri verir. Bu tür bir özellik, geometrinin daha kullanışlı olmasını sağlar. Meselâ, doğru ve nokta için ispat edilecek bir teoremin hemen nokta ve doğru için de geçerli olduğu söylenebilir.

Temel teorem: Projektif geometride, bir doğru üzerindeki üç noktanın dönüşümlerinin de bir
Yaklaşık 1480 yılında çizilen bir kübün perspektif görünüşü.
P
doğru üzerinde olduğu ispatlanabilir. Bu sonuç, projektif geometrinin temel teoremi ile alâkalıdır. Temel teorem; “Bir projeksiyon, bir doğru üzerinde üç nokta ve onların dönüşümleri verildiğinde, tamâmen belirlidir.” şeklindedir.

Projeksiyon çeşitleri: Projektif geometride bâzı noktalar projeksiyon sırasında değişmezler, bunlara projeksiyonun değişmez noktaları denir. Projeksiyon böyle noktaların hiç, bir tâne veya iki tâne olmasına göre sıra ile eliptik, parabolik veya hiperbolik olarak isimlendirilir.

Tasarı geometri: Uzay veya düzlemdeki bir şekli izdüşüm vâsıtalarıyla gösterilme metodları-nı verir. Pekçok mümkün metoddan, 1) Merkezî izdüşüm, 2) Aksonometri ve paralel izdüşüm, 3) Ortografik izdüşüm başlıcalarıdır. Fotogrametri de alâkalı bir konudur.

Merkezî izdüşüm: Uzaydaki bir şekil, sâbit C noktasından bir düzlem üzerine izdüşürülür. İlk diyagramda, izdüşüftn düzlemi adı verilen P düzlemi, izdüşüm merkezi olarak adlandırılan sâbit bir nokta vardır. A noktasını izdüşümü alınacak uzaydaki bir görüntü noktası olarak kabul edersek bu nokta sâbit C noktasına bir doğru çizgi ile birleşir. Doğrunun izdüşüm düzlemini kestiği noktaya veya Afe A noktasının izdüşümü adı verilir.

Perspektif: Perspektifte P düzlemi dik olarak düşünülmüş ve resim (görüntü) düzlemi olarak adlandırılmıştır. Buna dik olan G yer düzlemidir ve yatay olarak düşünülür. Yer düzlemi resim düzlemini yer hattında keser. G üzerindeki ve P arkasındaki cisimlerin P üzerine izdüşümleri alınmış ve izdüşüm merkezi C (şimdi bir göz olarak kabul edilen) P’den biraz önde ve G’nin üstüne yerleştirilmiştir. G’ye paralel olan C’den geçen düzlem P’yi ufukta keser. Ufuk, G’ye paralel bütün doğruların kaybolan uçlarının birleştiği bir hattır. G düzlemi üzerindeki bir maddeyi gözle ir-tibatlayan ışınlar veya doğrular, resim düzlemini perspektif olarak keser. Böyle elde edilen şekiller, tabiatta belli bir mesâfeden görüldüklerine aynen benzetilebilir.

■Aksonometri: “Axonometry” terimi kartezyen koordinat eksenleri olan OX, OY ve OZ vâsıtasıyla olan bir izdüşüm sistemine isnat eder. O, eksenlerin kesiştiği başlangıç (orijin) noktasıdır. İzdüşüm, resim çizilen yüzeye diktir.

Koordinat sistemi pozitif bölgede, içinde temel Xl5 Y], 7.ı üçgeninin kesilerek şekillendiği bir düzlemle kesilir. Bu düzlem, uzay noktalarının izdüşümlerinin eğik olarak alındığı izdüşüm düzlemidir. Bu paralel belli bir istikâmettedir. O başlangıç noktasının, Xj, Y1; Zj içinde O] de izdüşümü alınmış olup, Oj Xj O] Y, ve OjZj koordinat eksenlerinin aksonometrik izdüşümleridir. Bu izdüşümde paralel eksenler paralel kalır.

Tasarı geometri, uzay veya düzlemdeki bir şekli, izdüşüm vâsıtalarıyla gösterilme metodlarım verir (üstte). Merkezî projeksiyona misâl: Uzaydaki bir şekil, sâbit C noktasından bir düzlem
Non-Euclide geometri: Bu tâbir bâzan Ök-lid’in kânunlarına ters düşen geometrik teoriler için kullanılır.

Daha teknik olarak paralel aksiyomlar ve onun neticeleri ile uyumluluğu korumak için gerekli olan diğer küçük değişiklikler hâriç tamâ-miyle Euclid’e uyan bir geometri dizayn eder.