DETERMİNANT

DETERMİNANT; Alm. Determinant, Fr. Determinant,
Ing. Determinant. Kare matrisler kümesinden
reel sayılara tanımlı bir fonksiyon. Bir
A kare matrisinin determinantı, detA veya IAI şeklinde
gösterilir. Yalnız kare matrislerin determinantı
alınır ve değeri bir reel sayıdır.
A = [a] IAI matrisinin determinantı, detA =
a’dır.Determinantın hesaplanması (açılımı): Bir
determinantın değeri, satırlara veya sütunlara göre
açılarak bulunur. Herhangi bir satıra (veya sütuna)
göre açılan determinantın değeri değişmez.
Birinci satıra göre açıldığında, birinci satırın elemanları
ile bu elemanların kofaktörleri (işâretli
minörleri) çarpılıp toplanır. Bir elemanın minörü
demek, o elemanın bulunduğu satır ve sütun kapatılınca
geriye kalan elemanların determinantıdır.
Bir elemanın bulunduğu satır ve sütun rakamları
toplamı çift ise kofaktörün işâreti (+), tek
ise (-)dir. Buna göre birinci satırda bulunan an ve
a13 elemanlarının kofaktörleri Kn ve K13 pozitiftir.
a12 elemanının kofaktörü olan K12 negatif olduğundan
ai2’nin işâreti (-) alınır. Buna göre 3×3 tipindeki
bir A=[aij] 3 3 matrisinin determinantı, birinci
satıra göre:Sarrus kuralı: Yukarıdaki satır veya sütuna
göre açılımın sonucu olarak bulunmuş pratik bir
kuraldır.
Birinci ve ikinci satır determinantın altına sıra
ile yazılır. Esas köşegen ve paralelindeki üçer eleman
çarpılıp toplanır. Diğer köşegen ve paralelindeki
üçer eleman çarpılıp bu toplamdan çıkarılır. Determinantın
sağma ilk iki sütun yazılarak da Sarrus
kuralı ile determinant açılımı yapılabilir.
Determinant Özellikleri
1. Bir determinantın bir satırı veya sütunundaki
bütün elemanlar sıfır ise determinantın değeri sıfırdır.2. Bir determinantın herhangi iki satın (veya sütunu)
yer değiştirirse determinantın işareti değişir.
3. Bir determinantın iki satırı (veya iki sütunu)
orantılı veya aynı ise determinantın değeri sıfırdır.
4. Bir determinantın bir satırı (veya sütunu) k
ile çarpılırsa determinant k ile çarpılmış olur.
5. Bir determinantın değeri, elemanter satır
işlemleri uygulandığında değişmez.