denklem

matematikte, en az bir değişken
içeren ve bu değişkenlerin ancak belirli
değerleri için gerçeklenen eşitlik. Değişkenlerine
yalnızca cebirsel işlemler uygulanan
denklemlere cebirsel denklem(*), cebirsel
işlemlerin yanı sıra değişkenlerinin logaritmik
ya da trigonometrik fonksiyonlarını da
içeren denklemlere aşkın (transandantal)
denklem adı verilir. Değişkenin, eşitliği
gerçekleyen değerleri, denklemin çözümleri
ya da kökleri; bu değerlerin kümesi de
çözüm kümesidir. Denklemlerin çözümlerinin
varlığının araştırılmasını ve varsa bulunmasını
sağlayacak tekniklerin geliştirilmesini
konu edinen matematik disiplini denklemler
kuramı olarak adlandırılır.
*+2=5 eşitliği bir denklemdir ve ancak x-3
için doğrudur. x2-y2=(x+y)(x-y) eşitliği ise bir
denklem değil, bir özdeşliktir ve x ile y’nin
her değeri için doğrudur. Kimi zaman,
denklemden ayırt edilebilmesi için özdeşliği
göstermekte,“ = ” yerine “ = ” işareti kullanılır.
Denklemler kuramının başlıca konusu,
cnxn + cn-ixn’2 + … +c0 =0, (cn =£0) biçiminde
yapılan bir değişkenli cebirsel denklemin
özelliklerinin araştırılmasıdır. Bu eşitlikte
cn sıfırdan farklıdır ve aynı zamanda denklemin
derecesini gösteren n bir doğal sayıdır.
Denklemin katsayıları olan cD,cı,…, cn
ya verilmiş belirli sayılardır ya da belirli
oldukları varsayılır. Problem, kabaca jc’in
söz konusu eşitliği gerçekleyen tüm değerlerininbulunmasıdır. x,y,z… gibi birden çok
değişken içeren denklem sistemlerinin çözümünde
de, sistemdeki denklemlerden bir
değişkenli denklemler elde edilmesini sağlayan
çeşitli eleme tekniklerinden yararlanılır.Denklemler konusunda ilk önemli adımların
Babilliler tarafından atıldığı bilinmektedir.
Bu konudaki en eski yazılı belge ise İÖ
1700’den önce yaşadığı sanılan Mısırlı Ahnes’in
çalışmalarını içeren Rhind Papirüsü’
dür. Rhind Papirüsü’nde çeşitli birinci derece
denklemlerin çözümü yer alır. Sonraki
yüzyıllarda^ önce Yunan ve Mısır, daha
sonra da İslam ve Hint matematikçileri
denklemlere ilgi duymuş ve kimi özel ikinci
derece denklemlerin çözümlerini bulmuşlarsa
da, soyut bir denklemler kuramı
anlayışını yakalamakta pek başarılı olamamışlardır.
Bu dönemlerin en ilgi çekici
yapıtları arasında İskenderiyeli Diophantos’un
Arithmetike’si (y. 200), Hintli Brahmagupta
(y. 630) ve Bhaskara’nm (y. 1150)
yapıtları ve Arap matematikçi Harizmi’nin
Hisabul-cebr vel-mukabele (y. 825) adlı
yapıtı sayılabilir. 13. ve 14. yüzyıllarda
İslam matematikçilerinin yapıtlarının çevirileriyle,
özellikle de İtalyan Leonardo Pisano’n
n Liber abaci (1202; Abaküs Kitabı)
adlı * itabıyla Hıristiyan Batı’da tanınmaya
başlayan denklemlerin genel bir kurama
dayandırılmasını sağlayacak ilk önemli
adımlar 15. ve 16. yüzyılda İtalyan matematikçiler
tarafından atıldı. x3+ax-b biçimindeki
üçüncü dereceden denklemlerin genel
çözümünü bulan Scipione dal Ferro, Niccolö
Tartaglia ve Lodovico Ferrari Ars magna
(1545; Büyük Sanat) adlı yapıtında Ferro’
nun üçüncü dereceden denklemlere ilişkin
buluşlarının yanı sıra Ferrari’nin dördüncü
dereceden denklemlerin çözümüne ilişkin
çalışmalarından da yararlanan Gerolamo
Cardano, sözü geçen dönemin en önemli
matematikçileri arasında yer alırlar.
Kimi denklemlerin çözümünde eksi sayılarınkareköklerinin yer alacağını da gösteren,
bir yandan da, sonraları Carl Frederick
Gaus tarafından kanıtlanacak olan “n’ninci
dereceden bir denklemin n tane kökü
vardır” biçimindeki cebrin temel teoreminin
varlığını da bilen Cardano’nun yapıtıyla
bütünlüğe kavuşan denklemlere ilişkin çalışmalar,
beşinci dereceden denklemlerin
genel çözümünde tam anlamıyla tıkandı.
17. ve 18. yüzyılda bu konuda yürütülen
çalışmaların tümü sonuçsuz kaldı. 19. yüzyılın
ilk yıllarında Paolo Ruffini, beşinci ve
daha yüksek dereceden denklemlerin radikal
çözümlerinin olanaksızlığını ortaya attı.
Daha sonra Niels Henrik Abel, bu teoremi
beşinci dereceden denklemler için kanıtlamayı
başardı. Aynı yıllarda benzeri bir
çalışmada çözümü olanaksız beşinci ve daha
yüksek dereceden denklemlerin varlığını
kanıtlayan Evariste Galois, kanıtını çağdaş
cebrin yanı sıra matematiğin pek çok dalını
da etkileyen ve başta fizik olmak üzere pek
çok bilim dalında uygulama alanı bulan
gruplar kuramına dayandırdı.
Beşinci ve daha yüksek dereceden denklemlerin
genel çözümünün bulunması alanında
sonuçsuz çabalara tanık olunan 17.
yüzyılda, yaklaştırma yöntemlerinde gelişmeler
yaşandı. Katsayıları verilen denklemlerin
çözümünde kullanılan yaklaştırma
yöntemlerinin geçmişi de oldukça eskidir.
13. yüzyılda Çin’de bu tür yöntemlerden
yararlanıldığı bilinmektedir. Isaac Newton,
1675’te, bugün de yaygın olarak kullanılan
ve kendi adıyla anılan yaklaştırma yöntemini
geliştirdi. Newton yaklaştırma yöntemi
cebirsel olmayan denklemlere de uygulanabilir.
Yaklaştırma yöntemlerinin uygulanmasının
ilk aşaması, denklemin artı gerçel
köklerinin sayısının belirlenmesi ve bu köklerintecrit edilmesidir. Başka bir deyişle
aralarında yalnızca bir gerçel kök bulunan
gerçel sayı İkililerinin saptanmasıdır. Bu tür
sayı İkilileri bulunduktan sonra, aralarında
yer alan köke istenilen duyarlılıkta yaklaşılmasıolanaklıdır. En yaygın kullanılan tecrit
yöntemi 1829’da Charles-François Sturm
tarafından geliştirilmiştir.
Abel ve Galois’nın çalışmalarının denklemler
kuramına son biçimini verdiği söylenebilir.
Sonraki yıllarda yaklaştırma yöntemleri
hemen hemen aynı kalmış, Galois’
nin gruplar kuramı da, büyük ölçüde sadeliğe
kavuşturulmakla birlikte, temelinde yatan
düşünceler açısından hemen hemen hiç
bir değişikliğe uğramamıştır.
1858’de Charles Hermite beşinci dereceden
denklemlere eliptik fonksiyonlar yardımıyla
genel bir çözüm bulmuş ve Henri
Poincare’nin 1880’lerdeki çalışmalarıyla
başlayan çağdaş araştırmalarda yüksek dereceden
denklemlerin Fuchs fonksiyonları
türünden genel çözümleri elde edilmişse de,
konu artık denklemler kuramının sınırlarını
aşmış ve gruplar, cebirsel sayılar ve karmaşık
değişkenli özel fonksiyonlar kuramlarının
ortak ilgi alanına dönüşmüştür.