hesap

Matematiğin dallarından biri. Hesap, uzunlukları, alan­ları ve hacimleri bulma, fonksiyon denilen değişken ni­celiklerin değişme oranını inceleme amacıyla kullanılır. İki alt dala ayrılır. Bunlardan intégral hesapta, uzunluk­ları, alanları ve hacimleri ölçmek için bir fonksiyonun intégral¡ kullanılırken, diferansiyel hesapta, değişme oranlarını incelemek için bir fonksiyonun türevinden yararlanılır. Bir uydunun zamanın bir fonksiyonu olan hızı ya da bir şirketin satışın bir fonksiyonu olan kârı gibi de­ğişken niceliklerle uğraşan bütün fiziksel ya da toplum­sal bilimlerde, gerek diferansiyel hesap, gerek intégral hesap temel önem taşır; bu tür niceliklerle ilgili sorun­lar, çoğunlukla, alanların ya da değişme oranlarının bu­lunması biçiminde gösterilebilir.

Günümüzden 4 000 yılı aşkın süre önce Babilliler alanları ve hacimleri araştırmışlar, 2 000 yılı aşkın süre _#önce de eski Yunanistan’da Arkhimedes ve Apollonios, birçok eğri şeklin alanını ve tanjantını (teğetliğini) bul­muşlardır. 1637’de Fransız matematikçisi René Des- cartes, Ortaçağ İslâm uygarlığından miras alınan cebir ile eski Yunanlıların geometrisini birleştirerek, cebir ve koordinat sistemleri yardımıyla geometri sorunlarını çözme yöntemi olan çözümleyici (analitik) geometriyi kurmuştur. Ingiliz bilim adamı Sir İsaac Newton, 1665- 66’da, henüz öğrenciyken, hesabın temel kuramını bu­larak (bu kuram, eğrilerin altındaki alanın bulunması ile eğrilerin tanjantlarının bulunması arasında yakın bağ­lantı olduğunu gösterir), alanlarla ve tanjantüar- la ilgili birçok sorunu çözmede bu kuramdan ve ge­ne kendisinin bulduğu ikiterimli kuramdan yararlanan genel bir yöntem geliştirmiş, bu buluşlarla, hesap doğ­muştur.

Alman matematikçisi Gottfried Leibniz’in, on yıl son­ra bağımsız olarak aynı buluşları yapmasını izleyen 125 yılda, matematikçiler, hesap kuramını, birçok değişke­ne bağlı nicelikleri ele alacak biçimde genişletmişlerdir. Atılan önemli adımlardan biri, İsviçreli matematikçi Le- onhard Euler’in, birkaç değişkene ait fonksiyonların kıs­mi türevlerini 1734’te kullanıma sokmasıdır. Euler ile İs­viçreli Jacques, Johann ve Daniel Bernoulli ile Fransız Pierre Laplace, vb. matematikçiler, hesabı mekanik alanındaki ve olasılık alanındaki problemlere uygula­mışlar ve XIX. yy’ın başında Fransız matematikçisi A.L.Cauchy’nin hesabı mantıksal olarak sağlam temel­lere oturtmasıyla, hesap, gerçek ve karmaşık değişken­lere ilişkin genel kuramın bir parçası haline gelmiştir.

Günümüzde çok hızlı bilgisayarların geliştirilmesi, bilim adamlarına karmaşık hesaplamalar yapma olana­ğı sağlamaktadır; bunun sonucu olarak, önceleri hesa­bın kuramsal yanına yöneltilmiş olan dikkatler, günü­müzde bir ölçüde de sayısal ve hesaplamayla ilgili yana yöneltilmeye başlanmıştır. Dolayısıyla hesap, bilim adamı, matematikçi ve mühendis olmak isteyenlerin ilk öğrenmeleri gereken ileri matematik kuramı olarak ye­rini koruyacaktır.

caklık gibi niceliklerin, eldeki miktarlara oranla fiyatla­rın, uzay araçlarının uçuş yollarının, vb. değişme oran­larını bulabilirler; belirli bir dönem içinde bu nicelikle­rin kazanacağı üst (maksimum) ve alt (minimum) değer­leri kestirebilirler.

Fonksiyon kavramı, ilk olarak XVIII. yy. ortaların­da Fransız matematikçisi Jean Le Rond d’Alembert tara­fından açık seçik biçimde tanımlanmıştır; bu tanıma gö­re fonksiyon, bağımsız bir değişkenin her değerine, ba­ğımlı bir değişkenin ilişkili bir değerini veren bir kural­dır. Sözgelimi, y = 3x² – 5x fonksiyonunda x bağımsız, /yse bağımlı değişkenlerdir; x² = 7’se, y = 3.1² – 5.1 =-2 olur, Bu ilişkide, /nin x’ebağımlı olduğunu vur­gulamak için, fonksiyon y — f(x) olarak yazılır ve “y, x’in fonksiyonuna eşittir” diye okunur; burada f, fonk­siyonu tanımlayan kuralı belirtir. Diferansiyel hesap, bu tür basit fonksiyonların yanı sıra, oranlı fonksiyonları (çokterimlilerin bölümleri), trigonometri fonksiyonları ve logaritma fonksiyonları (ya da üstlü fonksiyonlar) gibi başka fonksiyon tiplerini de inceler.

Diferansiyel hesabı, gene fonksiyonların incelenme­siyle uğraşan başka matematik dallarından ayıran şey, fonksiyonlarla ilgili sonuçlar çıkarmak için fonksiyonla­rın mutlak değişmesinden daha önemli olan değişme oranları üstünde yoğunlaşmasıdır. Sözgelimi, 1 yıllık dönemde 1 000 000 TL’lık gelir artışı, 5 yıllık bir dönem­deki 1 000 000 TL’lık gelir artışından elbette çok farklı-

Celişmesi. Değişim oranlarının incelenmesi, Eskiçağ’da başladı. Eskiçağ astronomları, bir gezegenin konumu­nun değişme oranıyla ilgilenmekle kalmayıp, o oranın değişme oranıyla da İlgilendiler. Yani, bir fonksiyonun yalnızca türevinin önemini değil, ikinci türevinin öne­mini de kavradılar. Ama diferansiyel hesap yöntemle­riyle uygulamada özdeş olan yöntemler, ancak XVII. yy’da, Avrupalı matematikçilerin İslâm dünyasında do­ğan cebiri öğrenmelerinden sonra bulundu. Önemli öncülerden biri olan Fransız matematikçisi Pierre de Fermat, uzunluğu a olan bir doğru parçasını, x.(a – x) çarpımı elden geldiğince büyük olacak biçimde x ve a – x olarak ikiye bölme problemini, yani f(x) = x.(a – x) fonksiyonunun üst değerini bulma problemini, anlatıl­dığı gibi çözdü.

Fermat, bir fonksiyonun maksimumu yakınında, fonksiyonun değerlerinin, bağımsız x değişkenindeki değişmeye göre çok az değiştiğini anlamıştı. Başka bir deyişle x istenilen uzunluksa ve e çok küçük bir sayıysa, (x + e).[a ~(x + e)]değer olarak x.(a- x/e çok yakındır; bu nedenle Fermat, yaklaşık eşitliği, (x + e).(a – [x + e]) = x.(a-x)olarak yazdı. Her iki yanı genişletip sadeleşti­rerek ea – 2xe – e = 0 yaklaşık eşitliğini elde etti; sonra da her iki yanı e’ye bölerek a -2x-e,^ 0yaklaşık sonu­cuna ulaştı. Elbette, buraya kadar olan her şey ancak yaklaşık olarak doğruydu; ama sonra Fermat, a- 2x = 0, yani x — a/2 eşitliğini elde etmek için e — 0 değerini koydu. Bunun ortaya koyduğuna göre, bir doğrunun parçalarının çarpımı, verilen doğrunun uzunluğu ikiye bölündüğü zaman en büyük olacaktır.

Ama birbirlerinden bağımsız olarak hesabı bulanlar. Isaac Newton ve Gottfried Leibniz’dir. Leibniz hesabı anlatan ilk kitabı yayınlamıştır (1684); bu matematik da­lına “hesap” adını veren ve simgelerinin çoğunu gelişti­ren de odur. Ama gerçekte, hesabı ilk önce Newton bulmuştur (1665).

Temel kavramlar. Diferansiyel hesabın temel düşünce­si, yere düşmekte olan bir nesnenin 5 saniyelik düşme sonundaki hızının bulunması gibi bir problemin çözü­münde ortaya çıkar. Galilei’nin XVII. yy. başında bul­duğuna göre, dünyaya düşmekte olan bir cisim (hava direnci sayılmazsa) ؛saniyenin sonunda s — 1/2gt² ka­dar bir mesafeyi düşmüş olacaktır; burada g, yerçeki­minden ileri gelen ivmedir (9,8 m/sn/sn). Dolayısıyla, s değeri fnin bir fonksiyonudur ve s(t) = U2gf olarak ifa­de edilir. Bu nedenle, s(1) = (9,8)(1²) = 4,9 m ve s(5) —122,5 m ‘dir.

Diferansiyel hesabın ele alacağı sorun, 5 saniye so­nunda cismin hangi hızla düşmekte olduğudur. Yani, t = 5 olduğunda s(t) mesafe fonksiyonunun anlık değiş­me oranı nedir? 5. saniyede başlayan ya da biten kısa zaman aralıklarında ortalama hızın, 5 saniye süredeki anlık hıza yakın olacağı düşünülmektedir. Zaman artış­ları denilen kısa zaman aralıkları, A t —t- 5 olarak sim­gelenir; burada t, 5 saniyeye yakın bir süredir. Böyle her süre,As= s(t) – 5(5) mesafe artışını belirler; bu, t 5’ten büyükse, 5’ten t ‘ye kadar olan sürede cismin düş­tüğü mesafedir; 5؛’ten küçükse, o zaman s(t), cismin fden 5’e kadar olan sürede düştüğü mesafenin eksisi­dir. Her iki durumda da Af aralığında ortalama hız şöy­le gösterilir:

aşılan mesafe _ As

geçen süre A t

Sözgelimi t= 4’se, o zaman A1- — 5 – 4 =؛ ve As= s(4)-s(5) = 78,4-122,5 = -44,1 olur. Dolayısıyla, 4’ten 5’e kadar olan zaman aralığında ortalama hız, As/At- -44,1/ (-1) = 44,1 m/sn’dir.

Şekil 1’de görüldüğü gibi, çok kısa -sözgelimi 5 – t arası- zaman aralıklarında ortalama hız 49 m/sn’ye, ya- ni 5^ye yakındır ve aralık kısaldıkça hız da bu değere daha çok yaklaşır. Aslında, böyle bir aralıkta ortalama hız ؛öyledir:

Süre (t) 5’e ne kadar yakınsa, sonuç da t/₂g-(5 ^ءر5^ع 5g ye o kadar yakın olur. A s/At bölümü, ‘^nin fark bölümü” diye adlandırılır ve diferansiyel hesapta büyük önem taşır. Verilen bir ٠؛ değerine fnin gitgide yaklaşan değerler alması işlemine,”٠؛,؛’ a giderken fark bölümü- nün limitinin alınması” denir; bu işlem şöyle yazılır:

lim s(t) — s{to)> t –

Bu, “s(%)fonksiyonunun fye göre türevi” diye adlan- dirilir ve diferansiyel hesapta en önemli düşüncedir. Çok çeşitli yorumları vardır; dolayısıyla, birçok alanda uygulanabilir.

Analitik geometrinin kullanılması. Türevin başka bir yo- rumunu anlamak için, XVII. yy’da geliştirilen başka bir matematik dalına daha değinmek gerekir; bu dal, anali- tik (çözümleyici) geometridir. Analitik geometrinin önemi, matematikçinin cebirsel bir denklemi geometri çısından yorumlamasına ve geometrik eğrileri cebir açısından irdelemesine olanak sağlamasıdır. Analitik geometrinin diferansiyel hesap için taşıdığı yarar, aşağı- daki örnekle ortaya konulabilir.

Şekil 2’de, “Sekseni” ve “Yeksen¡”denilen birbirine dik iki doğru, sayılarla bölümlenmiştir. Herhangi birsi- ralı sayı çitti (x,y), bu şekilde tanımlanan düzlemde bir tek noktaya denk düşer. Şekildeki fx,)^noktası,*ekse- nine X sayısından bir dikme çizilerek ve مر sayısı için ٧ ekseninde aynı işlem yapılarak, sonra sayıların kesiştiği yer işaretlenerek bulunur. Şekil 2’de koordinatları (2,3), (-١ ,2), (-3,-2) ve (2,-3) olan noktalar, sırasıyla p, Q, Rve

5 olarak işaretlenmiştir.

Şekil 2

O halde, f(x) = y herhangi bir fonksiyonsa, bu fonksi­yonun grafiği, (a,b) koordinatları f(a) — b denklemine uyan noktalardan oluşur. Birçok fonksiyonun grafiğini bulmanın kolay bir yolu, bir sütunda x’in bazı olası de­ğerlerini, öbür sütundaysa bunlara denk düşen ydeğer- lerini gösteren bir tablo yapmaktır. Nitekim, y = 3x² – 5x fonksiyonu

görülmektedir. (-1,8), (0,0), (1 ,-2) ve(2,2) noktaJarım birleştiren düzgün bir eğri, fonksiyonun grafiği konu- sunda iyi bir fikir verecektir (Bk. Şekil 4). Diferansiyel hesabın en önemli kullanım amaçlarından biri, daha hatasız grafik çizimi için bilgi sağlamaktır.

Şekil 4

Şimdi, f(x) = y, grafiği şekil 4’te gösterilen grafik gibi olan bir fonksiyonsa ve [a,f(a)J grafikteki herhangi bir noktaysa, [a,f(a)J noktasında grafiğe teğet olan T yi bul­ma problemini ele alalım. T yi bulmak için, a’ ya yakın bir değer ve x’in yukarısında bir nokta alınır. Bu nokta­nın koordinatları [x,f(x)j olacaktır ve bu noktayı [a,f(a)]’yla birleştiren doğru parçası Z/yse, ¿’nin eğimi,

i.’nin çıkışı _ f(x) – f(a)

L’ nin inişi x-a olur. Teğet, [a,f(a)lnoktasından ve ona sonsuz yakın bir noktadan geçen bir doğru olarak düşünülebilir. Bu ne- denle, X noktası a’ya çok yakın seçilirse, L doğrusu ٢ doğrusuna, /.^,nin eğimi de ^nin eğimine yakın olacak- tır. □olayısıyla, f(x) — 3x² -5vea = 4’se, fark bölümü

f(x) – f(4) (35 – مx) – (3.4²-5x) 3د4 – م)

x-4

ya da 3 (x+ 4) olur; X 4’e yakın olduğunda, bu da 24’e yaklaşır.

Dolasısıyla, X 4’e yaklaşırken limit değeri alınırsa, o zaman bu değer, yani

lim f(x)

X—>4

X— 4

teğet doğrusunun eğimi olacaktır, örnekte,

.24 = (4+م)3بمثإر

Bu, f(x) = 3x² – 5xeğrisinin teğetinin eğimi olacaktır. Bir ؛fonksiyonunun a noktasındaki türevinin, geometrik olarak, [a,f(a)J noktasında fnin grafiğine teğet olan doğ- runun eğimi biçiminde yorumlanabileceğini bu örnek <؛>rtaya koymaktadır.

öbür gelişmeler. Bütün fonksiyonların bütün noktalar- da türevi yoktur; ama.türevleri olan önemli fonksiyon- lar o kadar çoktur ki, türev kavramı bütün bilimlerde temeldir. □iferansiyel hesabın bulunmasıyla, birçok önemli fonksiyonun türevlerine ilişkin formüller geliştirilmiştir. Hem Newton, hem de Leibniz, yüksek türev1er¡ kullanmışlardır. Fransız matematikçisi A.L.Ca- uchy’yse, XIX. yy’da, türevin sağlam bir tanımınıyapmak için, fark bölümünün limiti düşüncesinden yararlanmıştır.ه zamana kadar, birkaç değişkenli fonksi- yonların kısmi türevleri de incelenmiş ve böylece, dife- ransiyel hesap yalnızca eğrilere değil, yüzeylere de uy- gulanmıştır. Bu düşüncelerin bir uygulaması, istatistikte en küçük kareler yöntemi denilen yöntemdir; bu yön- tem, bir düzlemdeki sınırlı sayıda noktanın oluşturduğu derlemeye en çok yaklaşan düz doğruyu bulmaya dayanır.