6. BENZETME YÖNTEMİ
iki veri arasındaki ilişkinin başka iki veri arasındaki ilişkiye eşitliğinden yararlanarak bilinmeyeni elde etmektir. Ya problem içindeki bir ilişkinin ya da başka bir problemdeki ilişkinin eşiti aranır.
İki büyüklük arasında ilişki kurmak birinden diğerini elde edecek (veya birinden diğerine geçmeyi sağlayacak) kural ya da kuralları bulmak demektir.
1. Bir yapı yerindeki borulardan ikisi eklenerek uzunluğu belli bir boru kadar yapılması isteniyorsa önce bir veriden diğerine geçmenin kuralı bulunmalıdır. Yani borulardan ikisi uç uca getirilmeli ya da synı yerde bulunmalıdırlar. Problemde iki içaçı ayrı yerlerde olduklarından boru benzetmesi kullanılarak denilebilir ki içaçı-lar aynı yerde Dulunacak biçimde bir araya getirilmelidirler: Bunun kuralı (B) açısını (C ) açısı üzerine ya da (C) açısını (B) üzerine taşımaktır.
2. Birleştirilen boruların, boyu belli boru kadar olup olmadığını görmek için ya iki boru toplamı diğer boru yanına ya da boyu belli boru ekli borular yanına getirilmelidir. Açılar, borular örneğine benzetilerek ya (B + C) içaçıları toplamı (A’) açısı üzerine taşınmalı ya da (A’) dış-açısı (B + C) üzerine getirilmelidir.
3. (A’) dışaçısının (B) içaçısı üzerine getirilmesi kararlaştırılmışsa bunun kuralı; (B) köşesinden AC kenarına paralel bir doğru çizmektir. Böylece (A’) açısı (B) açısı içinde oluşur ve (B) açısı altında kalan da (C) açısı olur. Buradan A’ = B + C sonucu elde edilir.
ilki geçen sayımızda yer alan iki bölümden oluşan bu yazı ile, matematik problemleri, bilmece ve hatta yaşam sorunlarının çözümleriyle ilgili akıl yürütmeleri, amaca yöneltmekte yardımcı olacak yöntemler sunmaya çalıştık.
7. KARŞITLIK YÖNTEMİ
1. “Bir üçgende iki içaçının toplamı bunlara komşu olmayan dışaçıya eşittir,” cümlesi bir önerme kabul edilip bunun karşıtı yazılır. Karşıt; “Bir üçgende iki içaçının- toplamı bunlara komşu olmayan dışaçıya eşit değildir,” yani A’ ^ B + C.
2. A’ 5* B + C ise ya (A’) açısı (B) ve (C) açıları toplamından büyük (A’ > B + C) veya küçüktür (A’ < B + C). Başka bir deyişle, A’ = B + C olsaydı (B + C) açısı (A’) açısı ile çakışırdı. Eğer A’ > B + C ise (B + C) açısı (A’) açısı içinde kalacak ve eğer A’ < B + C ise (B + C) açısı (A’) açısından dışarı taşacaktır.
3. (A’ = B + C) olduğunu göstermek için A’ > B + C ve A’ < B + C durumlarının problemin verilerine uymadığı ispatlanmaiıdır.
4. A’ > B + C ise, (B) ve (C) açıları, A köşesinden BC tabanına paralel çizilerek (A’) açısı üzerine taşındığında A’, = B ve A’2 = C olmalıdır.
Çünkü A’ > B + C kabul edilmiştir. Halbuki A’3 C’dir; çünkü çizilen doğru BC tabanına pa-rrIeI ve A’3 açısının diğer kolu da AC kenarıdır. O halde, C = A’2 değil C = A’3 olmalıdır. Diğer yenden, A’, = B’dir ve A’ = A’ı + A’3 olduğundan A’ = B + C sonucuna ulaşılır.
5. A’ < B + C ise, aynı düşüncelerle (B) ve (C) açıları (A’) dış-açısı üzerine taşındığında A’, = B olduğundan A3 = C bulunur; çünkü A’> B + C kabul edilmiştir.
Halbuki ,A’3 — C’dir; çünkü çizilen doğru BC tabanına paralel ve A’3 açısının diğer kolu AC kenarıdır. O halde, A’2 = C değil A’3 – C olmalıdır. Ayrıca, A’, = B ve A’ = A’, + A’2 gerçeği göz önünde bulundurularak A’ = B + C scnucu elde dilir.
BİLMECE. Şekil 3’deki soldaki toplardan yalnız üçünün yerleri değiştirilerek sağdaki şekil nasıl elde edilebilir?
1. TANIMSAL YÖNTEM
1. “Yalnız üç topun yeri değiştirilecek, “ne demektir? Soldaki şekilde on top bulunduğuna göre, bunlar yerlerinden alınıp başka yere konulacak ve üç topun dışında kalan yedi topa dokunulmayacak demektir.
2. Yedi topa dokunulmadan ve üç topun yerleri değiştirilerek sağdaki şeklin elde edilmesi ne demektir? Dokunulmayan yedi topun oluşturduğu biçimin, sağdaki şeklin içinde de bulunması demektir.
3. Soldaki şekildeki hangi sayılı yedi topun birbirlerine göre diziliş biçimi sağdaki şeklin İçinde de vardır? 2, 3, 5, S, 8, 9 ite 10 sayılı topların birbirlerine göre diziliş biçimi hem soldaki hem sağdaki şekilde vardır.
4. O halde, soldakinden sağdakine geçmek için hangi üç topun yeri değiştirilmelidir? Soldaki şekilden sağd&kini elde etmek için 1, 4 ve
7 sayılı topların yerleri değiştirilmelidir ki bilmece çözülmüş olsun.
2. ÇÖZÜMDEN GERİLEMEK YÖNTEMİ
1. Soldaki şekilden öyle üç top alınıp, öyle yeni üç yere konulacak ki, sağdaki şekil elde edilsin.
2. Bilmecenin öncülleri ve hükmü nedir? Öncül 1. Verilen on toptan oluşan şekil soldaki İse,
Öncül 2. soldaki şekilde yalnız üç topun yerleri değiştirilirse,
Hüküm. Sağdaki şekil elde edilir.
3. Hükmün doğru olması yani “soldaki şekilde üç topun yerleri değiştirilirse sağdaki şekil elde edilir,” sonuncunun doğru olması, NE veya NELERİN DOĞRU OLMASINI gerektirir? Soldaki şekilden, sağdaki şekil elde etmek için, sol-
daki şekildeki toplardan üçünün yerlerini değiştirmek gerekir.
4. Yalnız üç topun yerlerini değiştirmek NEYİN DOĞRU OLMASINI gerektirir? Yedi topa dokunmamayı gerektirir.
5. “Yedi topa dokunulmadan sağdaki şekil elde edildi,” hükmünün doğruluğu NE veya NELERİN DOĞRU OLMASINI gerektirir? Yedi tcpun soldaki ve sağdaki şeklin içindeki diziliş biçimlerinin aynı olmasını gerektirir.
6. Yedi topun soldaki ve sağdaki şekilde aynı dizilişte bulunması NEYİN DOĞRU OLMASINI gerektirir? Soldaki ve sağdaki şekillerin içinde aynı dizilişteki yedi topu bulunmasını gerektirir.
7. Soldaki şekildeki hangi yedi top, sağdaki şekilde vardır? Soldaki şekilde 2, 3, 5, 6, 8, 9 ve 10 sayılı topların diziliş biçimi, sağdaki şeklin içinde de vardır.
8. Soldaki şekilden, sağdaki şekle geçmek için soldaki şekildeki topların hangileri nereye konulmalıdır? Soldaki şekilde 1, 4 ve 7 topları sırayla sağdaki şekildeki A,B ve C işaretli yerlere konulmalıdır.
3. EŞİTİNİ BULMAK YÖNTEMİ
1. Eşitini bulmak, bir veriye eşit olan başka bir (bilinen veya bilinmeyen) problem parçasını bulmaktır. Bir verinin eşiti ya doğrudan doğruya ya da veri uygun bir yere aktarılarak bulunur.
2. Burada problemin tamamı ne yalnız soldaki ne de sağdaki şekildir. Her iki şekil birlikte problemi tanımlamaktadırlar.
3. Madem üç topun yerleri değiştirilerek şekillerden birinden diğeri elde edilecektir o halde, şekillerde eşit olan top dizilişleri vardır.
5. Özel haller olan beş ve dört topun değiştirilmesinde çözüm elde edildiğine göre bu çözümlerde değişmeyen neden yararlanılmıştır ki üç top durumuna da uygulanıp sonuç alınabilsin? Bunun için değiştirilmeyen topların soldaki ve sağdaki şekillerdeki ilişkileri aranmalıdır.
Her İki şekilde de değiştirilmeyen toplar tarandığında, oluşturdukları dizilişin, tamamen benzer oldukları görülmekedir.
6. Bu bulgu doğru ise özel hal olarak alınan 4 topun yerlerini değiştirme işleminde de aynı ilişki bulunmalıdır.
Böylece 1,4 ve 7 sayılı topların yerleri değiştirilerek, soldaki şekilden, sağdaki şekle ge-çllebilmekte ve bilmece de çözülmüş olmaktadır.
6. BENZETME YÖNTEMİ
1. Benzetmek ilişki eşitliğini bulmaktır, ilişki eşitliğini bulmak için çeşitli sayıdaki toplarla düzenlenen (birinci sırada bir, ikinci sırada iki, vb.,) şekillerden biri ile bunun tersi olan diğeri arasındaki ilişki üç top hali için de kullanılabilmelidir.
2. Bu dizilişlerden en sade olanı birinci sırada bir ve ikinci sırada iki top olanıdır.
Bu dizilişin tersi de diğer şekildir. Kolayca görüleceği gibi 2 sayılı top diğerlerinin alt ortasına konularak istenen ikinci şekil elde edilebilir, iki şekil arasındaki ilişki, şekillerde benzer olan yandaki dizilişteki topların yerlerinin değişmemesidir.
3. Top sayısı “birinci sıra bir, ikinci sıra iki top,” kuralına uyularak altı alındığında, yandaki dizi elde edilir ve bunun tersinin de, diğer dizi olduğu görülür. İlk incelemede olduğu gibi değişmeyen dörtlü toplar dizisi, yandaki gibidir. Geri kalan 3 ve
5 sayılı topların yerleri değiştirilerek istenen şekil elde edilebilir :
Gerçekten her iki şekilde de yerleri değiştirilmeyen topların diziliş biçimleri aynı kalmaktadır.
7. O halde, top sayıları değiştirildiği halde jjeğlşmeyen bu İlişki, üç top durumunda da uygulandığında çözüm elde edilebilmelidir.
Böyle bir çözüm için arama yapıldığında
2, 3, 5, 6, 7, 8, 9 ve 10 sayılı topların birbirlerine göre diziliş biçimlerinin soldaki ve sağdaki şekilde değişmediği görülmektedir.
4. Bu iki crneğe benzetme yapmak istenen şekil ile verilen şekil içinde birbirlerine göre dizilişleri değişmeyen yedi top bulmaktır. Şekillerin karşılaştırılmasından diziliş biçiminin
benzer olduğu görülür ve 1, 4 ve 7 sayılı topların yerleri değiştirilerek sağdaki şekil elde edilir :
