MATRİS

MATRİS; Aim. Matrize (f), Fr. Matrice (f), İng.
Matrix. Bir köşeli büyük parantez içinde satır ve
sütunlara yazılı terimlerden meydana gelen bir
tablo. Matrislerin sayısal bir değeri yoktur. Her satırı
ve sütunu birer vektör olarak düşünülür. Ayrıca
her matris de kendi vektör uzayında bir vektördür.
Satır ve sütundaki elemanlar reel veya
kompleks olabilir, m satirli, n sütunlu bir matriste
her elemanı iki indis ile gösterilir. Meselâ ay
elemanı, i inci satır, j inci sütunda bulunmaktadır.
Böyle bir matris kısaca;
[ a ij]mxn
şeklinde gösterilir. Daha açık olarak:
aıı
a 21
^tnl
a 12
a22
a m2
•••
•••
a ln
a 2n
amn
şeklinde yazılır.
Bir matrisin sol üst köşesinden geçen köşegenine
Asal Köşegen denir. Satır ve sütun sayıları
eşit olan matrislere Kare Matris adı verilir.
Bir kare matrisin köşegeninin alt veya üstündeki
elemanların hepsi sıfır ise bu matrise Üçgensel
matris denir.
Bir kare matrisin yalnız köşegen elemanları sıfırdan
farklıysa böyle matrise Diyagonal Matris;
köşegen elemanları birbirine eşitse Skaler
Matris; bu elemanların hepsi 1 ise Birim Matris
adı verilir. Bütün elemanları sıfır olan matrise de
Sıfır Matrisi denir.
Matrisler genellikle büyük harflerle gösterilirler.
İki matrisin eşitliği, karşılıklı aynı indisli elemanların
eşitliği ile mümkündür. Yâni her i,j %oN
için;
B [ a ij]mxn= [ty jlin x n <=>aij= bjj
olmalıdır.
Matrislerin toplamı:
A+B= [aM]mxn [fy jlm x n— [ a ij~ ^ ij]m x n
şeklinde yapılır. Skalerle çarpma ise;
kA— k[aij],nXn = [kaij],nXn
şeklindedir. Bunlarla ilgili özellikler aşağıdadır:
1. A+0= 0+A= A (0, sıfır matrisidir)
2. A+B= B=A (Değişme özelliği)
3. (A+B)+C= A+(B+C) (Birleşme özelliği)4. (k+s)A= kA+sA (k,seR)
5. k(sA)= (ks) A (k,seR)
6. A+(-l) A= 0
Bu özellikler sebebiyle mxn tipindeki matrisler
kümesi reel sayılar kümesi üzerinde bir Vektör
Uzayı teşkil ederler.
Matrislerin çarpımı:
Birinci matrisin sütun sayısı, ikinci matrisin satır
sayısına eşit olan matrisler çarpılabilir. Yâni;
[ a ijlmxn [b ij]n x p = t a il ^1 ^ııj]
dir. Sonuç olarak bütün kare matrisler kendi aralarında
değişmeli olarak çarpılabilir. Ancak:
AB * BA
dır. Birim matris I ile gösterilir.
Matris çarpımı ile ilgili özellikler şunlardır:
1. AB * BA
2. AI= IA= A
3. 0A= A0= 0
4. (AB) C= A(BC)
5. A(B+C)= AB+AC
6. k(AB)= (kA)B= A(kB)
Bir matrisin satırları sütun, sütunları satır yapılırsa
bu matrisin transpozesi (devriği) bulunur.
Bir A matrisinin transpozesi A1 dir. A= A1 ise A
matrisine Simetrik Matris denir.
Bir matrisin tersi (İnversi):
Bir kare matrisin determinantı sıfırdan farklı
olduğu zaman inversi vardır. Bir A matrisinin inversi
A 1 şeklinde gösterilir. A matrisinin elemanlarının
yerine bu elemanların kofaktörleri yazılıp
transpozesi alınarak bu matrisin determinantına
bölünürse A*1 invers matrisi bulunur. Yâni
ajj elemanının kofaktörü Ajj olmak üzere;
Â= [a^] ise A-!= [AjJ/detA dır. Ayrıca;
AA-ı= A-»A= I dır.
Matrislerin matematik, fizik, mühendislik, istatistik
ve ekonominin pekçok dalında önemli bir
yeri vardır.