POLİNOM (ÇOKTERİMLİ)

POLİNOM (ÇOKTERİMLİ); Aim. Polynom
(n), Fr. Polynom e, İng. (Polynomc). a<>, ah a2, …an reel
sayı, x değişken ve n de doğal sayı olmak üzere;
a0 xn +a|xn”l+a2 xn‘2+ …+aır_1x+ aI(.
şeklindeki ifâde. Polinomlar P (x), Q (x), ile gösterilir.
X’in azalan veya çoğalan kuvvetlerine göre
yazılabilen tek değişkenli, reel katsayılı polimonlar
aşağıdaki gibidir:
n
P (x)= a0 xn+a,xn*,+ …+ an= 2 aixn”‘
i=o
n
Q (x) = U() +aj + «2 x2 ……..+ an x2 = 2 aix1
i=o
Bir polinomun derecesi, x’in en biiyıik kuvvetidir.
Çok değişkenli polinomlar da vardır. Bu
polinomlarda bir terimin derecesi, değişkenlerinüstlerinin toplamıdır. Meselâ; P (x,y)= 2×3 y2-
4×2 y-x+3y+l iki değişkenli bir polinomdur. Bu
polinomun derecesi 5’tir.
Polinomların işlemleri:
Polinomların toplama ve çıkarması, x’in aynı
kuvvetten terimlerinin katsayıları toplanarak yapılır.
Bir polinomun bir sayı ile çarpımı, polinomun
her terimiyle verilen sayı çarpılarak yapılır. İki
polinomun çarpımı da, çarpmanın toplama üzerine
dağılma özelliğinden faydalanarak yapılır. Polinomların
çarpımının değişme ve birleşme özellikleri
vardır. Polinomlar kümesinin toplama işlemine
göre etkisiz elemanı sıfır polinomudur. Sıfır
polinomu:
P (x)= O xn+Oxn l+… +Ox + O’dır.
Polinomlar kümesinin çarpma işlemine göre
etkisiz (birim) elemanı 1 sabit polinomudur. 1 sâbit
polinomu:
P (x)= 0xM-t-0xn ,+ … +0x+ l’dir.
Polinomlar kümesi, çarpma işlemine göre ters
elemanı olmadığından matematik sistem olarak
bir halka teşkil eder. Reel katsayılı polinomlar
kümesi R|x] ile gösterilir. (Rjxj, + ,.) sistemi de reel
katsayılı polinomlar halkasıdır.
Polinomlarda bölme işlemi aritmetikteki bölme
işlemi gibi yapılır. Aşağıdaki şemayı inceleyiniz:
Bölünen……P (x)| (Qx)……Bölen
B (x) …. Bölüm
K (x) …. kalan
Polinomların bölme işlemi aşağıdaki “bölme
özdeşliği”ni sağlar:
P(x)= Q (x). B (x) + K (x)
K(x)= 0 ise P (x) polinomu Q (x) polinomuna
tam bölünüyor (bölünebiliyor) denir.
Bir P (x) polinomunun X-a ile bölümünde bir
özellik vardır. Bölme işlemi yapılmadan kalan sayı
kolayca bulunabilmektedir. Kalan sayı K ile
gösterilirse K= P (a) dır. Ayrıca bölümü ve kalanı
birlikte veren Horner Metodu da vardır.
Polinom denklem: P (x)= 0 şeklindeki cebirsel
denklemdir, n’inci dereceden tek değişkenli
bir polinom denklemin, reel veya kompleks n tane
kökü vardır. Bu kökler xr, x2, …, xn ile gösterilirse:
P (x)= (x-x,) (x-x2)… (x-xn)= O’dır. Bir cebirsel
denklemin kökleriyle katsayıları arasında aşağıdaki
bağıntılar vardır:
a(,xn + a,xn l + a2 xn *2 + …. + an= 0 denkleminde:X| + X2 + X3 + … + X„ —cl i
ao
X] + x2 + x3 + … + Xn-lXn = 52.
ao
X| + x2 + x3 + … + xn.2xn_1 = —
ao
X| + x? + X3 + … + xn (-1)11 — dir.