ARİTMETİK

R İT M E T İK ; Alm. Arithmetik (f), Fr.
Arithmétique (f), İng. Arithmetic. Matematik biliminin
sayıları, bunların arasındaki bağıntıları ve
işlemleri konu alan dalı. (Bkz. Matematik). Aritmetik
kelimesi sayı anlamına gelen Yunanca “arithmos”
tan gelmektedir. Sayı, özellikle hesap ve ölçü
işlemlerine uygulanır.
Günümüzde kullanılan sayı sistemi 10 tabanma
göre olup, Arap rakamlarına dayanmaktadır.Seyrek olarak kullanılırsa da dört işlemleri
mümkün olmadığı için terk edilmiştir. Bu sistemde
sıfır sayısı da bulunmaz.
Pozitif sayılar için temel prensipler: İki kümenin
elemanları eşleştirilerek bir eleman hâline
getirilirse esas sayılar elde edilir. Bu şekilde
elde edilen bir kümenin elemanları 1, 2, 3, 4,
…… n şeklinde ise o zaman kümenin “n” tâne
sayı ihtivâ ettiği söylenir. Böyle elde edilen sayılar
tabiî sayılar olarak bilinir, a elemanlarından
meydana gelen bir A kümesi ile b elemanlarından
meydana gelen bir B kümesi birleşerek a+b elemanlarından
bir küme meydana getirilirse; a ve
b ’ye toplanan ve bu şekilde yapılan işleme de
toplama işlemi adı verilir. + işâreti artı diye okunur.
Toplama işlemiyle ilgili kurallar:
Toplamanın:
1. Değişme özelliği : a+b=b+a
2. Birleşme özelliği : a+(b+c) = (a+b)+c
Eğer a=b+k eşitliğini sağlayan pozitif bir k sayısı
varsa; a, b ’den büyüktür denir. a>b şeklinde
gösterilir. Eğer a ve b herhangi iki pozitif sayı ise
a=b, a<b veya a>b olur.
Ardarda yapılan toplama işlemiyle bir ikinci
onluk sistem işlemi tarif edilebilir. 5+5+5 şeklindeki
bir işlem 3×5 şeklinde gösterilebilir. Böylece
yapılan işleme çarpma işlemi denir. 5 sayısı çarpılan,
3 sayısı çarpan, işlemin sonucu da çarpım
diye isimlendirilir. x sembolü çarpı diye okunur.
Genellikle a.b veya basitçe ab şeklinde de yazılabilir.
3. Çarpma işleminin değişme özelliği: ab=ba4. Çarpma işleminin birleşme özelliği:
a(bc)=(ab) c
5. Çarpmanın toplama üzerine dağılma özelliği:
(a+b)c=ac+bc
Ardarda toplanan k kadar a’nın ka yazıldığı gibi,
ardarda çarpılan k kadar a da ak şeklinde yazılır.
Burada a taban, k de üs diye adlandırılır.
Aşağıdaki formüller çarpma tanımından çıkarılabilir:
6. am.an=am+n
7. (am)n= amn
8. am.bm=(ab)m
9. am/an=am’n (m>n)
Bölme işlemi: Eğer üç pozitif a, b ve c sayıları
arasında ab=c eşitliği sağlanıyorsa a ve b ’ye,
c ’nin bölenleri ve a ife b, c ’yi böler denir. b=a/c
şeklinde yazılır.
Bölmede bir sayısı etkisiz elemandır ve bütün
pozitif sayıların bölenidir. Eğer c sayısı, her biri
birden büyük pozitif bir sayı olan a, b sayılarının
bir çarpımı şeklinde ab ile gösterilirse c ’ye asal olmayan
sayı denir. Kendinden ve birden başka sayıya
bölünmeyen sayılar asal sayılardır. 2, 3, 5,
7,9 , 11, 13, 17, 19, 23,29…
Pozitif sayılardan meydana gelen bir kümede
bütün sayıları bölen en büyük sayıya ortak bölenlerin
en büyüğü (o.b.e.b.) denir. Pozitif bir m sayısı
diğer bir çok sayıların bir katı ise bu sayıya en
küçük ortak katsayı adı verilir.
Bayağı kesirler: Bâzı problemlerde bütün ölçüler
her zaman tam sayılarla ifâde edilemezler.
Genel olarak d.(l/d)=l özelliğinden faydalanarak
kesir birimi l/d şeklinde gösterilir, a/d kesrinde
d ’ye payda, a ’ya da pay denir, a/d pozitif kesri
eğer a<d ise basit; a>d ise bileşik kesir ismi verilir.
Pozitif sayılar ve kesirler bâzan pozitif rasyonel
sayılar diye de isimlendirilir.
Genelde bütün pozitif rasyonel sayılar için
geçerli olan yukarıda gösterdiğimiz ilk beş kural,
bayağı kesirler için de geçerlidir. Kesir tanımından
kolayca görüleceği gibi paydaları aynı olan iki
kesir, toplamı verilen kesirlerin paylarının toplamı
ile aynı paydadan meydana gelen bir kesirdir.
Farklı paydalara sahip kesirleri toplamak için meselâ
a/d ve b/c kesirinde d ve c sayılarının en küçük
ortak katları bulunur. m=k.d=f.c eşitliğini sağlayan
k ve f sayıları bulunduktan sonra işlem şöyle
olur:
a/d=ka/kd=ka/m; b/c=fb/fc=fb/m
böylece a/d+b/c=ka/m+fb/m=(ka+fb)/m
İki kesirin çarpımı ve bölümü aşağıdaki gibi târiflidir.
(a/d).(b/c)=(ab)/(dc), (a/b):(c/d)= (a/b).(d/c)=
(ad/bc)İrrasyonel sayılar: a/b şeklinde ifade edilemeyen
sayılardır. 3 5, 2 gibi sayılar ve p (pi)
bunlardandır.
İrrasyonel sayılarla ilgili formüller:
(T .f-T t “VT-.Vi’
Onluk sistem: Bütün sayılar on’un kuvvetleri
şeklinde ifâde edilebilir. Meselâ 32158=
3.104+2.103+1.102+5.101+8.10° taban olarak
10’luk sistemin kullanılması ellerde 10 parmağın
olmasından ileri gelmektedir.