ölçü

ölçü, matematikte, uzunluk ve alan kavramlarının,
aralıklardan ya da dikdörtgenlerden
oluşmayan keyfi nokta kümelerine
uygulanacak biçimde genelleştirilmesi. Soyut
olarak ölçü, bir kümeye, negatif olmayan
ve toplamsallık özelliği gösteren bir
sayıyı karşılık getiren bir kuraldır (toplamsallık
özelliği, “ayrık iki kümenin birleşiminin
ölçüsü kümelerin ayrı ayrı ölçülerinin
toplamına eşittir” biçiminde ifade edilebilir).
Sonlu sayıda dikdörtgenden oluşan
yalın bir kümenin ölçüsü, dikdörtgen alanlannın
alışılmış biçimde toplanmasıyla
bulunur.
Başka küme türleri, örneğin eğrisel bölgeler
ya da kimi noktalan eksik bölgeler için,
ilkin dış ölçü ve iç ölçü kavramlarının
tanımlanması gerekir. Bir kümenin dış ölçüsü,
verilen kümeyi içeren bütün yalın
dikdörtgenel kümelerin alanının alt sının
olan sayı olarak tanımlanır; kümenin iç
ölçüsü ise, verilen bölgenin içinde kalan
bütün yalın dikdörtgenel kümelerin alanlannın
üst sınırı olan sayıdır. Bir kümenin iç ve
dış ölçüleri birbirine eşitse, bu sayı kümenin ölçüsü olarak adlandırılır ve söz konusu
küme ölçülebilir olarak nitelendirilir.
Bir çizgi üzerindeki noktalardan oluşan
kümeler için ölçü kavramı benzer biçimde
tanımlanır, ama bu tanımda dikdörtgenlerin
yerini aralıklar alır. Örneğin 0 ile 1 arasındaki
rasyonel sayılar kümesi sonlu sayıda
aralıktan oluşmuş değildir, bu nedenle bu
küme için bir uzunluk tanımlanamaz; ama
bu kümenin ölçüsü vardır. Bu ölçü şöyle
bulunabilir. Rasyonel sayılar sayılabilir bir
küme oluştururlar. Bunların art arda gelen
her biri 1/8, 1/16, 1/32,… vb uzunluklu
aralıklar içine alınabilir; bu aralıkların toplamı
sonsuz bir eşçarpanlı (geometrik) dizi
toplamı olarak hesaplandığında 1/4’e eşittir.
Rasyonel sayılar 1/16, 1/32, 1/64,… vb
uzunluğundaki aralıklar içine de yerleştirilebilir;
bu dizinin toplamı da 1/8’e eşittir.
Gittikçe daha küçük aralıklardan başlayarak
rasyonel sayıları içine alan aralıkların
toplam uzunluğu gittikçe daha küçük ve alt
sınırı sıfıra yaklaşan bir değer olarak bulunur;
buradan dış ölçünün sıfıra eşit olduğu
ortaya çıkar; iç ölçü her durumda dış
ölçüden küçük ya da ona eşit olacağından,
iç ölçünün de sıfır olduğu anlaşılır. Böylece,
rasyonel sayılar kümesinin ölçülebilir olduğu
ve ölçüsünün sıfır olduğu sonucuna
varılır.