cisim

cisim, bir küme ile o kümede tanımlı iki
tane ikili işlemden oluşan ve belirli pps’tülaların
geçerli olduğu cebirsel sistem. Sistemdeki
ikili işlemler olarak, örneğin, “toplama”
(+) ve “çarpma” (.) alındığında bu
postülalar şöyle sıralanabilir: 1) Toplama ve’
çarpma işlemleri değişmelidir: Kümedeki
her a, b öğeleri için a+b=b+a ve ab-ba\ 2)
toplama ve çarpma işlemleri birleşmelidir.
Her a, b, c için a+(b+c) = (a+b)+c ve a(bc)
= (ab)c; 3) her a için a+0=0+a=ö ve
a\=\a=a olacak biçimde 0 (toplamın birim
öğesi) ve 1 (çarpımın birim öğesi) öğeleri
vardır; 4) her a öğesi için, a+(-a)=0 olacak
biçimde bir -a öğesi (a öğesinin toplamaya
göre tersi) vardır ve sıfırdan farklı her a
öğesi için, aa ‘=1 olacak biçimde bir aA öğesi
(a öğesinin çarpmaya göre tersi) vardır;
5) çarpma, toplama üzerine dağılmalıdır:
Her a, b, c için, a(b+c) = ab+ac ve
(a+b)c =ac+bc.
Alışılagelmiş toplama ve çarpma işlemleri
altında, rasyonel sayılar kümesinin, gerçek
sayılar kümesinin ve karmaşık sayılar kümesinin
yukardaki postülaları sağladıkları, bu
nedenle bu kümelerin birer cisim oluşturdukları
gösterilebilir. 4. postüla, toplama ve
(sıfırdan farklı bir sayıyla) çarpma işlemlerinin
terslerinin (çıkarma ve bölme) tanımlanmasına
olanak verir. Cisim, en geniş
anlamıyla, üzerinde (sıfıra bölme dışında)
alışılmış dört işlemin tanımlanmış olduğu
sayılar kümesi olarak anlaşılabilir; gerçekten
de bu kavram, yukardaki aksiyomatik
tanımıyla, bu tür sistemlerin özelliklerinin
incelenmesi amacıyla ortaya konmuş ve
önem kazanmıştır. Üzerinde alışılmış toplama
ve çarpma işlemleri tanımlanmış tamsayılar
kümesi (pozitif ve negatif doğal sayılar)
ise bir cisim oluşturmaz, çünkü bu
sistemde, ( l ’den farklı) hiçbir sayının çarpmaya
göre tersi yoktur. Benzer biçimde,
kare matrislerden(*) oluşan küme de, matris
toplamı ve çarpımı altında bir cisim
oluşturmaz, çünkü öteki postülalar geçerli
olduğu halde, bu sistemde matris çarpımı
değişmeli değildir. Cisim yapısının öteki
postülalarına uyduğu halde çarpm’a işlemi
değişmeli olmayan bir başka sistem de
19 Ciskei
İrlandalI matematikçi W. R. Hamilton’un
dördeyler(*) sistemidir. Sonlu sayıda öğe
içeren cisimlere örnek olarak, p bir asal sayı
olmak üzere, {0, 1, 2,…, R’} kümesi ile bu
küme üzerinde tanımlanmış modülo p toplama
ve çarpma işlemlerinin oluşturduğu
sistem gösterilebilir. Örneğin {0, 1, 2, 3, 4}
kümesi modülo 5 toplama ve çarpma işlemlerine
göre bir cisim oluşturur. Bu cisimde;
0, 1, 2, 3, 4 sayılarının toplamaya göre
tersleri sırasıyla 0, 4, 3, 2, 1 ve 1, 2, 3, 4
sayılarının çarpmaya göre tersleri de sırasıyla
1, 3, 2, 4 sayılarıdır. Bu tür cisimler ilk
kez 1801’de C. F. Gauss tarafından incelenmiştir.
Cisim, aksiyomatik yapı olarak grup(*) ve
halka(*) yapılanyla ilişkilidir. Bir cisim,
1) kümedeki öğeleri toplama işlemine göre
bir Abel grubu(*) oluşturan, 2) kümedeki
sıfırdan farklı öğeleri çarpma işlemine göre
bir Abel grubu oluşturan ve 3) çarpmanın
toplama üzerine dağılmalı olduğu bir sistem
olarak tanımlanabileceği gibi; çarpmaya
göre birim öğesi ve sıfırdan farklı .her
öğenin çarpmaya göre tersi bulunan değişmeli
halka olarak da tanımlanabilir.
Cisimler kuramı modern cebrin dallarından
birini oluşturur. Çok terimli denklemlerin
çözülebilirlik koşullarının belirlenmesi,
yalnızca cetvel ve pergel kullanılarak bir
açının üç eşit parçaya bölünmesinin ve alanı
bir dairenin alanına eşit karenin çizilmesinin
olanaksızlığının gösterilmesi gibi önemli
sonuçlara varılmasını sağlayan ve adını
Fransız matematikçi E. Galois’dan alan
Galois kuramı, gruplar kuramına ve bir
cismin normal genişlemelerinin kuramına
dayanmaktadır