değişimler hesabı

değişimler hesabı, bir fonksiyonun, verilen bir integralin değerini en büyük ya da en
küçük yapacak biçimde belirlenmesini konu
alan matematik dalı. Değişimler hesabına
giren problemlerin çoğu, yalın bir biçimde
ve kolayca ortaya konulabilmelerine karşın,
çözümleri için diferansiyel hesaba ve diferansiyel denklemlere ilişkin karmaşık yöntemler gerektiren problemlerdir.
Değişimler hesabının en yalın problemi
olan eşçevre problemi(*), bir düzlemde
bulunan ve uzunluğu belli bir değerde olan
kapalı eğrilerden enjbüyük alanı çevreleyen
eğrinin bulunması problemidir. Bu problemin çözümünün çember olduğu, Eski Yunan matematikçileri tarafından biliniyordu
(İÖ 2. yy). Eşçevre problemi terimi, daha
sonraları, belirli bir koşul altında bir fonksiyonun maksimum ya da minimum olmasını
sağlamaya yönelik yöntemleri de içerecek
biçimde kullanılmaya başlandı. Problemde
sağlanması gereken koşula, bu koşulun
çevre uzunluğuyla bir ilişkisi olmasa bile,
“eşçevre koşulu” adı verilir. Hacmi verilen
bir değerde ve yüzey alanı en küçük olan
katı cismin bulunması, bu tür problemlere
bir örnek oluşturur. Bu problemde, verili
hacim değeri, sağlanması gereken koşulu,
bir başka deyişle eşçevre koşulunu oluşturur. Hacmi belirli olan bir katı cismin hava
içinde sabit bir hızla hareket etmesi durumunda karşılaşacağı hava direncinin en
küçük olmasını sağlayan biçimin belirlenmesi, aerodinamiği ilgilendiren bir başka eş­
çevre problemidir. Herhangi bir biçimde
eğilip bükülmüş çembersel bir tel halka,
sabunlu suya daldırılıp çıkarıldığında oluşacak ince sabun zarı, tel halkayla sınırlanmış
yüzeylerden alanı en küçük olanının biçimini alır. Tel halkanın biçimi verilmişken bu
yüzeyin belirlenmesi de tipik bir değişimler
hesabı problemdir.
Değişimler hesabı 1697’de İsviçreli matematikçi Jakob Bernoulli’nin ortaya attığı
brakistokron(*) problemiyle birlikte çağdaş
matematiğin ilgi alanına girdi. Bu problem
şöyle ifade edilebilir: Yükseklikleri farklı
iki nokta ince bir telle birbirine bağlanmış
olsun. Tele geçirilmiş bir boncuğun yüksekteki noktadan ilk hızı olmaksızın bırakıldığı­
nı ve yerçekimi etkisiyle tel üzerinde aşağı
doğru kaydığını ve bu kaymanın sürtünmesiz olduğunu varsayalım. Boncuğun alçaktaki noktaya en kısa sürede varması için tele
verilmesi gereken eğrisel biçim ne olmalı­
dır? Bu problemi, başka matematikçilerin
yanı sıra, Johann ve Jakob Bernoulli ile
Isaac Newton birbirlerinden bağımsız olarak çözdüler. Problemin çözümünde tutulan
yol, boncuğun düşüş süresini telin biçimlendirdiği (ve aranmakta olan) eğriye bağımlı
olarak ifade eden integralin oluşturulması
ve eğri değişken olarak alınıp bu integralin
değerini minimum yapan eğrinin belirlenmesidir. Değişimler hesabının tipik bir yöntemi olan bu yolla, ilkin bir diferansiyel
denklem elde edilir, ardından bu denklemin
çözümüyle de aranan eğrinin sikloit(*) olduğu bulunur.
Diferansiyel ve integral hesabın bulunup
geliştirilmesi değişimler hesabının gelişmesine büyük katkı sağladı. Bernoulliler çeşitli
minimum ve maksimum koşullarını sağlayan birçok eğri buldular ve bunları sınıflandırdılar. Bir başka İsviçreli matematikçi,
Leonhard Euler, belirli bir minimum koşulunu sağlayan eğrinin belirlenmesine ilişkin
(sonradan Euler diferansiyel denklemi olarak adlandırılacak olan) kuralı bularak de­
ğişimler hesabı yöntemlerinin genelleştirilmesi yolunda önemli bir adım attı. Bu
alandaki terminolojinin büyük bölümü ise
konunun gelişmesinde önemli katkısı bulunan İtalyan asıllı Fransız matematikçi Joseph-Louis Lagrange tarafından ortaya
kondu.
Çeşitli bilimsel yasaların değişimler hesabı­
na dayanan genel ilkeler biçiminde ifade
edilmesi olanaklıdır. Bu ilkeler değişimsel
ilkeler olarak adlandırılır ve verilen bir
integralin maksimum ya da minimum olması biçiminde ifade edilirler. Mekanikte çok
önemli yeri olan Hamilton en küçük eylem
ilkesi, bu alanda bir örnektir. Adını İrlandalI matematikçi William Rowan Hamilton’
darı alan bu ilke, eylem integrali olarak
adlandırılan bir integralin değerinin en kü­
çük olmasına dayanır. En küçük eylem
ilkesi, Newton’in hareket yasalarını bir özel
durum olarak içerir, ayrıca kuvantum mekaniğinin de temelini oluşturur. Genel görelilik kuramı da değişimler hesabından bü­
yük ölçüde yararlanır. Değişimsel ilkelerin,
esneklik kuramı, elektromagnetizma, aerodinamik, titreşim kuramı ve başka birçok
bilim ve mühendislik dalında uygulamaları
vardır.