(sonradan Euler diferansiyel denklemi olarak adlandırılacak olan) kuralı bularak değişimler hesabı yöntemlerinin genelleştirilmesi yolunda önemli bir adım attı. Bu alandaki terminolojinin büyük bölümü ise konunun gelişmesinde önemli katkısı bulunan İtalyan asıllı Fransız matematikçi Joseph- Louis Lagrange tarafından ortaya kondu. Çeşitli bilimsel yasaların değişimler hesabına dayanan genel ilkeler biçiminde ifade edilmesi olanaklıdır. Bu ilkeler değişimsel ilkeler olarak adlandırılır ve verilen bir integralin maksimum ya da minimum olması biçiminde ifade edilirler. Mekanikte çok önemli yeri olan Hamilton en küçük eylem ilkesi, bu alanda bir örnektir. Adını İrlandalI matematikçi William Rowan Hamilton’ darı alan bu ilke, eylem integrali olarak adlandırılan bir integralin değerinin en küçük olmasına dayanır. En küçük eylem ilkesi, Newton’in hareket yasalarını bir özel durum olarak içerir, ayrıca kuvantum mekaniğinin de temelini oluşturur. Genel görelilik kuramı da değişimler hesabından büyük ölçüde yararlanır. Değişimsel ilkelerin, esneklik kuramı, elektromagnetizma, aerodinamik, titreşim kuramı ve başka birçok bilim ve mühendislik dalında uygulamaları vardır. değişinim bak. değşinim değişken akım bak. alternatif akım

kimi
kısrni diferansiyel denklem türlerinin çözümünde
yararlanılan, en eski ve en yaygın
tekniklerden biri. Bilinmeyen fonksiyonun
ve türevlerinin, en büyük üssü birden büyük
olmayan ve fonksiyonun değişik basamaktan
türevlerinin birlikte yer aldığı ( //y a d a /’
/”gibi) terimler içermeyen kısmi diferansiyel
denklemler doğrusal olarak adlandırılır.
Eğer denklemdeki her terim, fonksiyonu ya
da türevlerinden birini içeriyorsa, denklem
homojendir./’ + / 2 =0 örneğinde,denklem
homojendir, ama doğrusal değildir;
f’+ x 2 = 0 örneğinde doğrusaldır, ama homojen
değildir; f xx+fyv=0 örneğinde, homojen
olduğu gibi aynı zamanda doğrusaldır.
İki değişkenli bir doğrusal homojen denklemin
g(x) ve h(y) gibi, her biri bir değişkeni
iki çarpandan oluşan f(x,y) gibi bir
çözümü varsa, kimi zaman bu bilinmeyen
çarpanların çarpımını, bilinmeyen bileşke
fonksiyonun yerine koyarak her değişken
için bir adi diferansiyel denklem elde edilebilir.
f xx + f v y = 0 örneğinde f(x, y) denklemi
sağlıyorsa, f(x, y) yerine g(x)h(y) koyarak,
denklem, gxxh + ghyy= 0 ya da ~gxx/g =
hyY/h şekline dönüştürülür. Son denklemin
sol yanı, yalnız x değişkenine, sağ yanı
ise y değişkenine bağlı olduğundan, ancak
ve ancak her iki taraf sabit bir sayı olursa,
denklemin iki tarafı eşit olabilir. Böylece,
-gxx/g=c olandenklem, çözümleri,g=a sin
(xchl) ya da g = a cos (xc1/2) olan, tek
değişkenli,gxx + cg=0 adi diferansiyel denklemine
dönüşür. Benzer biçimde, hyy/h =denkleminden, h = exp( ±ycm) sonucu çıkar.
Böylece, ilk denklem/^+^=0’ın çözümleri
de, f=gh=a exp( ±ycm) sın (xc1/2) ya da a
exp(±ycm) cos (xc1/2) olur, a ve c, denklemin
çözümlerinin sağlaması gereken fiziksel durumun
sınır değerleri ve ilk değerleri gibi
öteki yardımcı koşullara bağlı olarak seçilen
sabitlerdir, a v e c gibi değişik sabitler içeren
a exp( ycm) sin (xcm) gibi terimlerin toplamı
da verilen diferansiyel denklemi sağlar.
Fourier serileri olarak adlandırılan sonsuz
sayıda terimlerin toplamı yöntemi kullanılarak
daha geniş ve çeşitli yardımcı koşulları   sağlayacak çözümler bulunabilir.