değişimler hesabı

bir fonksiyonun, verilen
bir integralin değerini en büyük ya da en
küçük yapacak biçimde belirlenmesini konu
alan matematik dalı. Değişimler hesabına
giren problemlerin çoğu, yalın bir biçimde
ve kolayca ortaya konulabilmelerine karşın,
çözümleri için diferansiyel hesaba ve diferansiyel
denklemlere ilişkin karmaşık yöntemler
gerektiren problemlerdir.
Değişimler hesabının en yalın problemi
olan eşçevre problemi(*), bir düzlemde
bulunan ve uzunluğu belli bir değerde olan
kapalı eğrilerden enjbüyük alanı çevreleyen
eğrinin bulunması problemidir. Bu problemin
çözümünün çember olduğu, Eski Yunan
matematikçileri tarafından biliniyordu
(İÖ 2. yy). Eşçevre problemi terimi, daha
sonraları, belirli bir koşul altında bir fonksiyonun
maksimum ya da minimum olmasını
sağlamaya yönelik yöntemleri de içerecek
biçimde kullanılmaya başlandı. Problemde
sağlanması gereken koşula, bu koşulun
çevre uzunluğuyla bir ilişkisi olmasa bile,
“eşçevre koşulu” adı verilir. Hacmi verilen
bir değerde ve yüzey alanı en küçük olan
katı cismin bulunması, bu tür problemlere
bir örnek oluşturur. Bu problemde, verili
hacim değeri, sağlanması gereken koşulu,
bir başka deyişle eşçevre koşulunu oluşturur.
Hacmi belirli olan bir katı cismin hava
içinde sabit bir hızla hareket etmesi durumunda
karşılaşacağı hava direncinin en
küçük olmasını sağlayan biçimin belirlenmesi,
aerodinamiği ilgilendiren bir başka eşçevre
problemidir. Herhangi bir biçimde
eğilip bükülmüş çembersel bir tel halka,
sabunlu suya daldırılıp çıkarıldığında oluşacak
ince sabun zarı, tel halkayla sınırlanmış
yüzeylerden alanı en küçük olanının biçimini
alır. Tel halkanın biçimi verilmişken buyüzeyin belirlenmesi de tipik bir değişimler
hesabı problemdir.
Değişimler hesabı 1697’de İsviçreli matematikçi
Jakob Bernoulli’nin ortaya attığı
brakistokron(*) problemiyle birlikte çağdaş
matematiğin ilgi alanına girdi. Bu problem
şöyle ifade edilebilir: Yükseklikleri farklı
iki nokta ince bir telle birbirine bağlanmış
olsun. Tele geçirilmiş bir boncuğun yüksekteki
noktadan ilk hızı olmaksızın bırakıldığını
ve yerçekimi etkisiyle tel üzerinde aşağı
doğru kaydığını ve bu kaymanın sürtünmesiz
olduğunu varsayalım. Boncuğun alçaktaki
noktaya en kısa sürede varması için tele
verilmesi gereken eğrisel biçim ne olmalıdır?
Bu problemi, başka matematikçilerin
yanı sıra, Johann ve Jakob Bernoulli ile
Isaac Newton birbirlerinden bağımsız olarak
çözdüler. Problemin çözümünde tutulan
yol, boncuğun düşüş süresini telin biçimlendirdiği
(ve aranmakta olan) eğriye bağımlı
olarak ifade eden integralin oluşturulması
ve eğri değişken olarak alınıp bu integralin
değerini minimum yapan eğrinin belirlenmesidir.
Değişimler hesabının tipik bir yöntemi
olan bu yolla, ilkin bir diferansiyel
denklem elde edilir, ardından bu denklemin
çözümüyle de aranan eğrinin sikloit(*) olduğu
bulunur.
Diferansiyel ve integral hesabın bulunup
geliştirilmesi değişimler hesabının gelişmesine
büyük katkı sağladı. Bernoulliler çeşitli
minimum ve maksimum koşullarını sağlayan
birçok eğri buldular ve bunları sınıflandırdılar.
Bir başka İsviçreli matematikçi,
Leonhard Euler, belirli bir minimum koşulunu
sağlayan eğrinin belirlenmesine ilişkin(sonradan Euler diferansiyel denklemi olarak
adlandırılacak olan) kuralı bularak değişimler
hesabı yöntemlerinin genelleştirilmesi
yolunda önemli bir adım attı. Bu
alandaki terminolojinin büyük bölümü ise
konunun gelişmesinde önemli katkısı bulunan
İtalyan asıllı Fransız matematikçi Joseph-
Louis Lagrange tarafından ortaya
kondu.
Çeşitli bilimsel yasaların değişimler hesabına
dayanan genel ilkeler biçiminde ifade
edilmesi olanaklıdır. Bu ilkeler değişimsel
ilkeler olarak adlandırılır ve verilen bir
integralin maksimum ya da minimum olması
biçiminde ifade edilirler. Mekanikte çok
önemli yeri olan Hamilton en küçük eylem
ilkesi, bu alanda bir örnektir. Adını İrlandalI
matematikçi William Rowan Hamilton’
darı alan bu ilke, eylem integrali olarak
adlandırılan bir integralin değerinin en küçük
olmasına dayanır. En küçük eylem
ilkesi, Newton’in hareket yasalarını bir özel
durum olarak içerir, ayrıca kuvantum mekaniğinin
de temelini oluşturur. Genel görelilik
kuramı da değişimler hesabından büyük
ölçüde yararlanır. Değişimsel ilkelerin,
esneklik kuramı, elektromagnetizma, aerodinamik,
titreşim kuramı ve başka birçok
bilim ve mühendislik dalında uygulamaları
vardır.
değişinim bak. değşinim
değişken akım bak. alternatif akım