denetim kuramı

k o n t r o l k u r a m i olarak
da bilinir, belirli fiziksel süreçlerin ve sistemlerin
denetimine ilişkin, uygulamalı matematik
dalı. Denetim kuramı, değişimler
hesabı ve diferansiyel denklemler kuramıyla
yakından bağıntılı olmakla birlikte,
ancak 1950’lerin sonlarında ve 1960’ların
başlarında ayrı bir dal durumuna geldi. II.
Dünya Savaşı’ndan sonra mühendislik ve
ekonomi alanlarındaki bazı problemlerin
var olan kuramlarla tanımlanamamakla birlikte,
diferansiyel denklemlerdeki ve değişim
hesaplarındaki problemlerin değişik
biçimleri olduğu anlaşıldı. Önceleri, tekil
problemlerin çözümü için, klasik tekniklerde
ve kuramlarda bazı değişiklikler yapıldı.
Sonraları, görünürde birbirinde farklı olan
bu problemlerin hepsinin aynı matematiksel
yapıda olduğu gözlendi ve denetim kuramı
önem kazandı.
Denetim kuramının uygulandığı sistemler
ya da süreçler aşağıdaki yapıya sihiptir.
Sistemin herhangi bir t zamanındaki durumu
x\ (t), X2 (t), …, xn (t) biçiminde
gösterilen n tane nicelikle tanımlanabilir.
Örneğin sistem, n tane kimyasal maddenin
tepkimeye girmesiyle oluşan bir karışım
olabilir. Bu durumda x\ (t)ı, …, xn (t)
değerleri n tane maddenin t anında, karışım
içindeki yoğunluğunu gösterir. Bilinen bir
kanuna göre herhangi bir t anında, x\ (t),
…, xn (t) değerlerindeki değişim hızlan, x\
(t),…, xn (t) değerlerinin kendisine ve
denetim değişkeni olarak adlandırılan k
tane u\ (t), …, uk (t) değişkeninin değerlerine
bağlıdır. Denetim değişkenlerinin değerleri,
belli bir amaca ulaşılabilecek biçimde
seçilir. Çoğunlukla, fiziksel sistemin
niteliği, denetim değişkenlerinin değerlerine
kısıtlamalar getirir. Kimyasal tepkimeörneğinde, kinetik denklemler, yoğunlukların
değişme hızlarını denetleyen kuralları
belirlerken, denetim değişkenleri herhangibir t anında sabit en yüksek ve en düşük
değerler arasında değişmesi gereken basınç
ve sıcaklık değerleri olabilir.
Yukardaki biçimde tanımlanan bu çeşit
sistemlere denetim sistemleri denir. Denetim
sistemlerine ilişkin temel problemler
denetlenebilirlik, gözlemlenebilirlik, kararlılık
ve optimum denetimidir.
Denetlenebilirlik şöyle açıklanabilir. Başlangıçta
a\, a2,…,an durumundaki bir sistemin
belirli bir süre içinde, istenilen b \,…ybn
durumuna ulaşmasını sağlayacak, u\ (t), …,
Uk (t) denetim değişkenleri belirlenebilir
mi? Gözlemlenebilirlik problemi ise, durumun
kendisinin ölçülebilmesinin olanaklı
olmadığı ama yalnızca fonksiyonlarının ölçülebildiği
hallerde, herhangi bir t anında
sistemin durumuna ilişkin bilgi edinmektir.
Dengelenebilirlik problemi, işlem zamanı
uzadıkça, sistemin durumunu gösteren
x\(t),…,xn (t) değerlerinin, istenilen duruma
daha yakınlaşmasını sağlayacak, herhangi
bir t anındaki w ı ( f ) , . . . ,w k ( 0 denetim
değişkenlerinin seçilmesidir.
Denetim kuramının en önemli problemi,
optimum denetimidir. Burada problem,
sistemin istenilen duruma, aşağıda açıklanan
optimum anlayışı içinde ulaşmasını
sağlayacak denetim değişkenlerinin seçilmesidir.
Başarıyı gösteren sayısal bir ölçüt,
sistemin işlem değeri olarak alınır, uı^t),
. . . , « k ( 0 denetim değişkenleri istenilen duruma
ulaşılabilecek biçimde seçilir ve başarı ölçütü
değeri olabildiğince küçük tutulur. Bunu
açıklamak için, yukardaki kimyasal tepkime
örneğini, ilk iki maddesi c\ ve cı yoğunluklarında
elde edilmek istenen bir sanayi
işlemi olarak ele alalım. Bu durumun T
zamanda ortaya çıktığını ve bu anda tepkimenin
durdurulduğunu varsayalım. T anında
tepkimenin yan ürünleri olan ötekimaddelerin yoğunlukları, *3(T), X4(T),…,xn
(T) olur. Bu ürünlerin bazıları gelir getirecek
biçimde satılırken, ötekiler belli bir
harcama yapılarak atılmalıdır. Böylece kalan
maddelerin XT,(T),…jcn (T) yoğunlukları,
sisteme maliyet olarak katılır ve bu
maliyet geliri düşürür. Bu maliyet başarının
bir ölçütü olarak alınabilir. Bu özel örnekteki
denetim problemi, herhangi bir t anındaki
ısı ve basınç değerlerinin, ilk iki
maddenin sonuçtaki c\ ve cı yoğunluk
değerlerini en düşük maliyetle elde edebilecek
biçimde belirlenmesidir. Burada tartışılan
denetim problemi çoğunlukla belirlenimci
özelliktedir; bunun karşıtı olan rasgele
denetim problemlerinde sistemin durumu
rasgele tedirginliklerden etkilenir. Ama sistem,
belirlenimci sistemlerdeki benzer
amaçlar doğrultusunda denetlenmelidir.