HESAP

HESAP 
Hesap, insanoğlunun dünyayla ilişkisinin temel öğelerinden biridir: nitel görüşten nicel yaklaşıma geçiş, ancak ölçme, sonra da hesap yoluyla yapılabilir. Bu nedenle hesap, yüzyıllar boyunca metamatiğin uygulandığı alanların incelenmesinde temel bir etkinlik haline gelmiştir. Hesaplamak, yani sayısal, yazısal veya işlemsel simgelerden oluşmuş birtakım kümeleri yorumlanabilir bir sonuç elde edebilmek amacıyla dönüştürmek için birtakım kurallar geliştirmek ve kullanmak, bilimsel ve teknik dünyanın en güçlü araçlarından birini kullanmak demektir.
Hesabın, hesap araçlarının, konularının, aletlerinin, yöntemlerinin ve düzeneklerinin tarihi, matematiğinkiyle iç içedir. Cebirin ortaya çıkışına kadar, yalnız sayısal hesap, yani sayılara ilişkin olan ve sayılarla yapılan hesap söz konusu olmuştur. Matematiğin modern tarihi XVI. yy’da başlamıştır. Söz konusu tarih, büyük ölçüde, en önemlileri cebirsel hesap, analitik geometri, diferansiyel ve integral hesap olan birçok hesabın gelişme tarihiyle bağlantılıdır. Modem dönemde, hesap konuları ve teknikleri, özellikle hesap için tasarlanmış alet olan bilgisayarın kullanımıyla, yeniden köklü bir değişime uğradı.

HESAP VE HESAP BİÇİMLERİ

Hesap, matematiksel etkinliğin kuşkusuz en eski ve en evrensel biçimidir. Gerçekten de, matematikte her şey sayıyla başlar. Hesabı oluşturan, sayıyı gerek sözlü gerek yazılı olarak belirtme şekilleri ve ayrıca, yeni sonuçlar elde etmek için birçok sayıyı bazı kurallara göre bileştirme yollarıdır. Her hesaba, değiştirme, tahmin etme, açıklama, kanıtlama amacıyla kullanılacak olan bir sonuç tekabül eder. Çok sayıda uygarlıkta uygulanan bu işlevler, hesabın kullanımının temelini oluşturmuştur. Bu nedenle hesap, satıcılar, astronomlar, din adamları, mimarlar ve kuşkusuz bilim adamları tarafından çok erken bir dönemde kullanılmaya başlamıştır. Sonuç olarak, hesap olmadan, matematik ve dolayısıyla da bilimsel etkinlik söz konusu olamazdı.

Hesap nedir?

Bir nesneler (mesela, bilinen nicelikleri belirten sayılar veya ge-
rek bilinmeyen nicelikleri, gerekse bir kuramın ve; nesnelerini simgeleyen harfler) kümesi üzerinde, l ya harflerin bütününün, aranan bir sonucu algılan ni bütünler oluşturmak için belirli kurallara göre gerçekleştirildiğinde, hesap yapılıyor demektir. E mesi, bunların doğruladıkları özellikler, üzerlerine nelerle birlikte matematiksel bir yapı oluşturur. XIJ da tanımlanan yapı kavramı, bazı nesneler üzerir mak için, neyin mümkün olduğunu ve neyin olma çimine indirger. Nitekim, alışılagelmiş toplama işli mış doğal tamsayılar, belirli bir hesap biçimini, yar tik hesabı olanaklı kılar. Bununla birlikte, bunlar) yapısı vardır. Gerçekten de, toplamlar hesaplanab her zaman hesaplanamaz, çünkü bir sayının ters saplamak mümkün değildir. Bu, n s İN olmak ü: denkleminin, N içinde çözümü olmadığı anlamın; konusu denklemin, N’yi içeren bir küme, yani dah pıya sahip olan bağıl tamsayılar kümesi 2 içinde t dır. Bununla birlikte, bu Z kümesi içinde, (m, n) e re, tnx + 11 — 0 denkleminin ise çözümü yoktur. Sö lemin ancak (D rasyonel sayılar kümesi içinde bir Diğer yandan, günümüzde temel problemler olar birçok problem, bir veya birçok denklemle ke İşte bunun için, bunlar bazı çağlarda, maten sinde büyük bir rol oynamıştır. Modem he yani referans görevi yapan hesap, cebirse! yapan hesap, cebirsel hesaptır. Burada, har! ayrıca toplama, çarpma, üssünü alma gib: te kullanılır. Mesela, basit bir cebirsel ! özelliği kanıtlamaya imkân verir: «ardışı toplamı, üçün belirli bir katıdır». Bu f edilme ve işlenme alanı, tamsayıların v liklerinin incelendiği, alışılagelmiş ar Metinde özel bir değer bildirilmediğ bir tamsayı n ile belirtilir. Bu durun ren ardışık üç sayı da, n, n + 1, ti Bunların S toplamı, n + (n + 1) + v gösterilir; bunun yazımı, tamsav ların simgeleri üzerine yazılı hesa; re yeniden düzenlenebilir:

– toplamanın değişme ve birleşti S = m + (m + 1) + (m + 2) = k + m + 1 = /z + « + «+1+2 = 3k + 3;

– çarpmanın toplamaya göre dağılırı;

S = 3n + 3 = 3 (n + 1).

Bu aşamada hesaplama sona erer ve yerini \ rakır. Bu, işlemler sonunda elde edilen yazıma v dığına dayanır. Mevcut durumda, aritmetiksel bir 3’ün bir diğer sayıyla çarpımı biçimine getirilebil; nebildiğini veya 3’ün bir katı olduğunu belirtir, özelliktir ve bunun hesaplanması bir kanıdama o.

Hesabın gelişimi

Uzun süre egemen olan ve hemen hemen tek: rak kalan teknik, sayısal hesaptı. Bununla birlik: ve mühendisler, mesela birtakım bilinmeyen say geler üzerinde işlem yapmak ve sayılar üzerir.d: leri işlemleri (toplama, çarpma) ifade etmek gere ze geldiler; tt’nin bir sayının yerini aldığı önceki z nusu olan budur. işte bu anlamda, cebirin temel; hesaplama, genelleştirilmiş bir aritmetik olarai (gerçekte, kullanılagelen aritmetik, bir sonuç eldi sayılar veya ondalık sayılar üzerindeki toplama, bölme dizilerini düzenlemeye dayanır). Cebir. 5 sı’nda kesin biçimini kazanmadan önce Çinli, r matikçilerin sürekli çalışmalarıyla geliştirildi. U\ olma ve evrensel özelliği, hızla benimsenmesi: kolaylaştırdı. Öte yandan, yaygın olarak kullanı tiksel kesimler için yeni yaklaşımların ve dolayıs uygulanabileceği yeni alanların geliştirilmesine :

Cebirin bulunmasından sonra, klasik Eukle;; analitik geometri’ye dönüşmesi, cebirsel hesabın z tık simgeler olmayan bir alana ilk müdahale; oluşturur: geometrik nesneler ve bunların ilişkıle zılı hesabın ilkelerinin ve yöntemlerinin uygulan la temsil edilecektir. XVII. ve XVIII. yy’lann te bu son derece verimli küçük alan üzerinde ; rumda, cebirsel biçimciliğin sunduğu tartışılır:! yanan matematikçiler, eğrilerin ve buradan hare.
Geçmişi XII. yy’a dayanan boncuklu Çin abaküsü, her sütun üzerinde, alt bölümde 1 değerinde beş boncuktan ve üst bölümde beş değerinde iki boncuktan oluşur. Her biri 1 değerinde on boncuk taşıyan Avrupa abaküsü bazı azgelişmiş ülkelerde hâlâ kullanılmaktadır.
İÇİNDEKİLER

HESAP VE HESAP BİÇİMLERİ SAYILARLA HESAP: SAYISAL HESAP FONKSİYONLARLA HESAPLAMAK: DİFERANSİYEL VE INTEGRAL HESAP HER ZAMAN DAHA FAZLA HESAP MAKİNELER VE HESAPLANABİLİR FONKSİYONLAR ELEKTRONİK HESAP SAYFASI

görüntülerin

HESAPLANMASI

. -jr.2saıe yönelik bir aracın araştırılması ve geliştirilmesi-îz Baylece diferansiyel ve integral hesap ortaya çıktı.

-_r müdahale biçimi, cebirsel hesabın kullanımını, mate-. ulanmasıyla eşleştirir; bu, daha önceleri matematiğin

* = sımeyen alanlara uygulanabilir: olasılık hesabı veya -_t. -çm bu durum söz konusudur. Matematikleştirmede,
SAYI BONCUĞUYLA HESAP

r- • her biri on boncuk taşıyan üç çubuktan oluşur. Bunlar sı-r_:.=r. onlar ve yüzler basamağına tekabül eder. Toplama sıra-

* *: r.:_klar, ilgili sayıyı göstermek için sağdan sola doğru hareket ,::r. elde edilen yerleşim düzenine bakılarak okunur.

‘ :r ir. hareket ettirilecek boncuk sayısı), on boncuğu aştığında bir _< : nîva çıkar. Eldeli bir toplama yapılacağında bu durum söz ko-ür_r Mesela şu toplamayı ele alalım 64 + 83. Burada, 64, aşağıda-arsteriir: ama ikinci çubuktan sekiz boncuğun sola doğru hare–r=r_rr.e5i söz konusu olduğunda, bunun imkânsız olduğu görülür, te* ırzjc bu çubukta sadece dört boncuk kalmıştır. 8 tane on ekle-t runlardan 2 tanesini geri çekmek gerekir. Bu manevra, yüz-ür-ndan bir boncuğun sola doğru çekilmesine ve onlar sıra-roncuğun sağa doğru itilmesiyle gerçekleştirilir:
64

+

83
147
bir hesabı kurmaya imkân veren nesneler ve işlemler, matematiğin kendi içinden de çıkarılabilir: doğrusal hesapta bu durum söz konusudur.

Sayısal ve simgesel boyutiarıyla fonksiyonlar, sayılar, olasılıklar, matrisler vb ile hesap, matematikçi olsunlar veya olmasınlar, uygulamacılar, yani hesabı yönlendiren, kullanan kişiler olmadan tasarla-namaz. Neptün gezegeninin varlığının ve yörüngesinin Fransız matematikçi ve astronom Urbain Le Verrier tarafından (hem gökcisimlerinin hareket yasalarına ve Satürn’ün yörüngesindeki tedirginliklerle ilgili verilere, hem de, cebirsel hesap kurallanna ve diferansiyel hesap kurallarına dayalı olarak belirlenmesi, XIX. yy için büyük bir klasik hesabın özellikle eksiksiz bir örneğini oluşturmaktadır.

XX. yy’m sonunda hesap kavramı, sadece geliştirilmiş olan yeni biçimleri ve uygulamaları bakımından değil, ama aynı zamanda, o döneme kadar bilinmeyen yeni bir boyutu da beraberinde getiren yeni araçların ve yardımcı öğelerin ortaya çıkması bakımından da köklü bir evrim geçirdi: bu yenilik, çok geniş kapsamlı hesaplamaların kısa sürede gerçekleştirilebilme imkânıydı. Bilgisayarlar ve bunların cebe giren versiyonları olan elektronik hesap makineleri, yalnız sayısal hesap için kullanılmaktadır. Matematikçiler ve bilişimciler, bu makinelerin yardımıyla, giderek daha uzun ve karmaşık simgesel hesapları yürütmeye yönelik araçları da geliştirmişlerdir. Diller ve programlar aracılığıyla, hesap konuları ve kuralları, makinelerin içine yazılmaya başlamıştır.

Bu hesap biçimlerinin işgal ettiği «yer»i ve gerektirdikleri verileri değerlendirmek için, belleklerin boyunun, yani bunların kodlanmış bilgiyi depolamaya yönelik statik kapasitelerinin, kilome-ga – hatta gigabayt (KB, MB veya GB) cinsinden ölçülmesi yaygın hale gelmiştir; burada bayt, ikili sayılamada, sekiz birimden (veya bit) oluşan bir gruptur. Saniyede milyon bilgi (Mips) olarak da sayılır: 1990’ların başındaki mikrobilgisayarlarda kullanılan sıradan bir mikroişlemci, çoğu zaman 5 Mips’lik bir güce sahiptir.

Artık yalnız sayılar veya simgeler üzerinde değil, ama aynı zamanda savlar üzerinde de gerçekleştirilen en yeni hesap biçimleri için, saniyede milyonlarca çıkarsamalık bir güç düzeyi söz konusudur. Bu durumda, yeni bir alana, yani milyarlarca işlemi kapsayan ve saatler veya günlerle ölçülen işlem süreleri gerektiren yoğun hesap alanına girilmiştir. Bu hesaplar, astronomi, meteoroloji, uzay havacılığı (füzelerin güdümlenmesi), otomobil veya uçak sanayii (yeni modellerin tasarlanması) konularında gerçek-leştirilmektedir.
Jetonlarla hesaplama.

Köbel’in «Rechenbienchlirı» adlı yapıtının kapak süsü (Augsburg, 1514; Buluşlar Müzesi, Paris).

MISIR USULÜ TAMSAYI ÇARPIMI

Gelişmiş bir sayı sistemine sahip olmayan eski Mısır katipleri, iki sayıdan birini (genellikle büyük olanını), ardışık olarak 2, 4 vb ile çarpmaya dayalı bir yöntem bulmak zorunda kaldılar. Çarpan, diğer sayıdan küçük veya buna eşit oluncaya kadar, bir ikikatlar dizisi gerçekleştiriyorlardı.

7 ile 15 çarpılacak olsun; 15’in, 1, 2,4 vb ile çarpımlarının tablosu oluşturulur:

1 x 15 = 15 2×15 = 30 4×15 = 60.

Bir kez daha iki katını almak gereksizdir, çünkü sol sütunda 8 sayısı olacaktır ve bu da, 7’den büyüktür. Buna karşılık, 7 = 4 + 2 +1 oluduğun-dan, aranan çarpım, 60 + 30 + 15 = 105’tir.

Aynı şey başka sayı çiftleriyle de yapılabilir. Mesela 13 x 45 için, aşağıdaki tablo oluşturulur:

1 45

2 90 4 180 8 360

İki katım alma süreci burada durur, çünkü, 13 = 8 + 4 + l’dir. Bu durumda, yalnız şu sayıların toplamı alınır: 360 + 180 + 45 = 585.

Bu hesaplama tipinde, 2’nin kuvvetleri dizisinin (1, 2, 4, 8, 16, 32…) oynadığı temel rol görülmektedir. Bununla birlikte, Mısırlı katiplerin, şu özellikle ilgili olarak ne tür bir bilgiye sahip oldukları bilinmemektedir: «Her pozitif tamsayı, tek bir şekilde, ikinin kuvvetleri dizisinin terimlerinin toplamı olarak yazılabilir.»
SAYILARLA HESAP: SAYISAL HESAP

Gerçek verilere dayalı ve üzerinde bir hesap yapılmasını gerektiren özel bir olgu, bir veya birçok sayı dizisiyle kendini belli eder; bunlar hesabın konusunu oluşturur ve sonuç, bunlar aracılığıyla ifade edilir. Sayısal bir hesapta üç öğe söz konusudur: kullanılan sayılar, yararlanılan yöntemler, hesabı gerçekleştiren düzenek.

Sayılar, sayıların yazımı ve belirlenmesi

Sayılar temel işlemler (toplama, çıkarma, çarpma, bölme) için ancak iyi seçilmiş bir gösterim sistemi, yani rakamlar sayesinde kullanılabilir. Roma rakamları gibi yan yana sıralamaya dayalı son derece zor bir sistemle, basit bir çarpma işlemini bile gerçekleştirmenin ne kadar zor olduğu bilinir. Bu nedenle, sıfırın kullanımıyla konumlamaya dayalı rakam sisteminin bulunması gerçek bir ilerleme oluşturmuştur. Bunun ardından, tam olmayan sayıların kodlanması için ondalık yazımın benimsenmesi, Arap matematikçiler tarafından ele alınmış ve XVI. yy’da mühendis ve matematikçi Simon Stevin tarafından tamamlanmıştır. Bu, modern sayısal hesabın gelişmesine imkân vermiştir.

Bu kodlama ancak çok geç bir dönemde yaygın olarak kullanılmaya başladı, çünkü, her şeyden önce ondalık bir sistem olan metre sistemi Fransa’da ancak XIX. yy’ın başında benimsendi. Öte yandan, herkesin kolayca kullanabileceği bir sayı sistemi geliştirme çabası içinde olan matematikçiler de, tamsayılardan gerçek sayılara kadar uzanan bir «yapı» oluşturan ondalık sayıları işte bu dönemden itibaren kullanmaya başladılar.

Hesaplamada, değişik sayı biçimlerinden yararlanılır: elbette tamsayılar, ama bunun yanı sıra, hem pratik hem de soyut bir işlem olan ölçme’nin sonucu olduklarından, matematikçilerin gerçek sayılar adım verdiği sayılar. Hesap sırasında yararlanılan sayılar belirli bir hata payı taşıyabilirler. Bir tür belirsizliğe tekabül eden bu hata payı iki türlüdür.

Birincisi, sayılar yaklaşık olarak yapılan ölçümlerin hata oranını temsil eder. Daha açıkçası, bir ölçüm sırasında, bir birimin alt-bölünümleri belirli bir düzeyde tıkanır ve ölçümün sonucunu tayin etmek için bir seçim yapmak gerekir. Bu durumda, ulaşılan sayının kesin değeri temsil etmediğini bilmek ve yapılan hatayı göz önüne hesaba katmak gerekir.

Öte yandan, bir değeri sayıyla belirtmek ve sayılarla hesap yapmak için, ancak sonlu sayıda işaretten, yani rakamlardan yararlanılabilir. Mesela, p sayısının çok sayıda ondalığı biliniyorsa, bunların hepsinin bütün hesaplamalarda, hatta önemli bir hesaplamada kullanılması düşünülmez. Bu sayının sadece virgülden sonraki belirli sayıda ondalığını göz önünde almak (başka bir deyişle, bunu kısaltmak veya yuvarlamak) ve bunun belirli bir hata içerdiğini bilmek gerekir.

Kısaltmak, ilk işlemi yapmak, yani değiştirmeden, yalnız belirli sayıda ondalığı ele almak demektir. Burada yalnız dört ondalığı ele alıyoruz; bu durumda, kesin değer (daha iyisi olmadı-
ğından, bunu n ile belirteceğiz) ile ele alınan değer, yani I rumda 3,141 5 arasındaki farka tekabül eden bir hata yapı; Bu durumda şu eşitsizliği yazabiliriz: 0 < n – 3,141 5 < 0,( Hata her zaman aynı yönde yapılır. Tersi yönde, 3,141 5 mayla elde edilmiş bir değerse ve söz konusu ondalıklar belirsizlik taşımıyorsa, sayının kesin değeri, uçları iki far zımla belirtilebilecek bir aralık içinde yer alır: bir yandar yen ondalıkların 0’dan oluşacağı 3,141 50, diğeryandan, dalıkların 9’dan oluşacağı (bu, 9 rakamının üzerine kon; işaretiyle belirtilir [9]) 3,141 59. Bu iki sayı, uzunluğu 0,0C

0,000 09, aynı sayının iki farklı yazımından başka bir şey dir. Bu son değer, yapılan hatanın (bu değerden büyük o! nu bildiğimiz), ele alınan değerinkiyle aynı ondalık sayısı; zılan üst sınırım temsil eder.

Yuvarlamak, ikinci işlemi yapmaya dayanır: bu durumda değere «olabildiğince yakın» olan dört ondalıklı bir sayı Yuvarlama yöntemlerinden biri şudur: dört ondalık üze yuvarlama yapmak için, beşinciye bakalım:

– 5,6,7, 8 ve 9 söz konusuysa, dördüncüyü bir birim ar ve üst basamaktan olanı göz ardı edelim. Bu durumda, 3, T

3.141 6 olur;

– 0, 1, 2, 3 veya 4 söz konusuysa, dördüncüyü değiştir lim, ama diğer ondalıkları silelim. Bu durumda, 3,141 54. 5 halini alır.

Bir yuvarlamanın uygulanmış olması durumunda, yalı nuç okunduğunda ve ek bilgi bulunmadığında, hatanın yönde yapıldığını bilemeyiz. Nitekim, 3,141 6, şu değeı birine tekabül edebilir: 3,141 55; 3,141 56; 3,141 57; 3,1 veya 3,141 59. Diğer yandan, şu değerlerden biri de o

3.141 60; 3,141 61; 3,141 62; 3,141 63 veya 3,141 64. Ke ger her zaman genliği 0,000 1 olan bir aralık üzerinde yer a nunla birlikte, yapılan e hatası her zaman aynı işarette dı Ancak bunun mutlak değerini üstten sınırlayabiliriz:

İn-3,141 601 <0,000 05

Bir hesaplamada çoğu zaman bu tip birçok işlem gerçel mek durumunda kalınır ve bu durumda, üst üste eklenme lış sonuçlara yol açabilen sistematik bir hata yapılmış olur, saltmada ele alınan değer sayıdan küçük olmak üzere, her aynı yönde olan hata, hesaplama boyunca üst üste ekleneb yuvarlamada ise, hata her zaman aynı yönde değildir; ele değer, kesin sayıdan küçük veya büyük olabilir. Bir hesap y ce uzun olduğunda, bir denkleştirme etkisi ortaya çıkabili:

Yöntemler

Hesap yöntemleriyle, bir başka problemler kategorisine Aslında matematikçilerin bir görevi de, birçok durumda 1 şılan anlamlı problemleri ayırarak yeniden kullanılabilir araçları geliştirmektir.

Denklem çözümü, yüzyıllar boyunca matematikçileri uj mış sorunlardan biridir. Bu sorunun iki yanı vardır: birinci
Örneksel (analog) hesap makinesi.

1950’lere kadar, ayrıcalıklı bir bilimsel hesap aracı olan bu makine, özellikle J. von Neumann ve ekibine ilk bllgisayarlan tasarlamalannda çok yardımcı oldu.

– r ieiîkiemin çözümünün var otup> olmaması; İkincisi ise, —katsayılarının belli bir sayısal değere sahip olması du-soz konusu çözümlerin az veya çok kesin bir şekilde “ _ ax + b = 0 denkleminin sonunda bir bölme işle-: î^iyor ve söz konusu denklem temel bir hesaplamayı ; ;.ysr olsa da, bir dizi yöntemin (sekant yöntemi, ikileme r —N’evvton yöntemi vb) kullanımım gerektirecek olan x2 > j denklemi için aynı şey söz konusu değildir. Bunla-•.îr^maışlarından biri, Heron yöntemidir; bu, çözümün ükü), aşağıdaki diziyle, birbiri ardı sıra verilen xt yak-îisrlermi hesaplamaya dayanır
1
12 »herhangi bir fonksiyon olmak üzere, bir f{x) = 0 denk-

– akünün belirlenmesi için, daha genel bir yöntem olan

– yanteminin ayrıntılanması söz konusudur. ıu:rjmunda, denklem, x2-2 = 0 veyax2=2 biçimindeya-

. ianklemin bir çözümü, V2üe belirtilen gerçek sayıdır. Bu -= \2 ‘ninyaklaşık bir değerini belirlemek için, (A) for–Zandacaktır. Bu, çözümün bir yaklaşık değerler dizisini maya dayanır. Bir başlangıç değeri, mesela x = 1 alınır, son-mmülüyle tanımlanan yöntem uygulanarak diğerleri he-r Böylece, dizinin ilk dört değeri olarak şunlar bulunur: değer: x0 = 1, yani Xg = 1;

“d değer:
1 , 2 n 1 „ 2, 3

T h*“r,”(uT) “7
Jty = 2,25;

-;ur»cü değer:

1 , 2 , 1 ,1C 2 *: = – ^ı+-) = 7(1’5+7T)

2 x 2 1,5
r_ x:- = 2,006 92;
– dördüncü değer:

1 , 2 , 1 . 17 „ 12, 577

*3 = — (x2 +-) = _ ( -+ 2-) = – :

2 X2 2 12 17 408
yani x23 = 2,000 004.

Oysa, V27sekiz kesin ondalıkla, 1,414 213 56 biçiminde yazılır. Bu durumda, Heron yönteminin üç kez uygulanmasıyla elde edilen sonuç dikkat çekicidir: iki yazımın ilk beş ondalığı özdeştir; bu durumda, iki değerin farkının mutlak değeri, 10~5 ile üstten sınırlanabilir ve bu da şu şekilde yazılır: U3 – V2 I < 10″5. Yöntemin hızla yakınsadığından söz edilir ve bu, özelliklerinden biridir. Bu örnek temel alındığında, iyi bir yöntemden bir dizi önemli özellik beklenir:

– bir sonuç vermesi;

– bunu, az sayıda aşamada sağlaması, yani hızla yakınsaması;

– tedirginliklere karşı fazla duyarlı olmaması, yani kararlı olması: kullanılan veriler biraz değiştirilse bile, elde edilen sonuç birinci hesaplamada elde edilenle hemen hemen aynı olmalıdır.

Yöntemler, matematikçi için temel yararı olan bir konudur. Bir yandan bunların belirlenmesi, diğer yandan özelliklerinin incelenmesi söz konusudur. Bu, matematiğin, sayısal analiz denen dalının konusudur.

Hesap araçları

Sayıların ve yöntemlerin yanı sıra, hesabın gerçekleştirilmesinde yararlanılan araçları da göz önünde bulundurmak gerekir. Her aracın temel öğelerinden biri, insandır. İnsan, hesabı tablolar ve makineler gibi çeşitli araçlarla gerçekleştirebileceği gibi, bunu «elle» yapmasını gerektirecek bir durumda da olabilir.

Bilinen en eski araçlar, Çin, Japon veya Rus sayı boncuklan gibi abaküslerdir. Rusya, Çin veya Japonya’da, gündelik yaşamda yapılan hesaplamalar için, özellikle satıcılar hâlâ yaygın olarak sayı boncuğundan yararlanırlar.

Yazarkasalarm ortaya çıkmasından önce, bazı satıcılar hesap tabloları hazırlayarak, bazı hesap uzmanları da gerçekleştirilecek işlemlere uyarlanmış birtakım teknikler geliştirerek, iş yüklerini azaltmaya çalıştılar. Zaman ve hata riskleri bakımından en pahalı iki temel işlem, çarpma ve bölmedir. Bu nedenle İlkçağ’dan itibaren, hesap uzmanının başvurabileceği sonuç tabloları oluşturulmaya çalışıldı; nitekim, Babilli matematikçiler, MÖ 2000’lerde çarpma ve tersler tabloları hazırlamışlardı. İlk trigonometri tabloları, Arap matematikçiler tarafından ve de daha sonra XVI. yy’da Almanya’da geliştirildi.

XVI. yy’ın sonunda İngiliz John Napier tarafından logaritmanın ortaya konması, hesaplama sanatı için ileriye doğru kesin bir adım oluşturdu. Logaritma, bir çarpımı toplama dönüştürmeye imkân veren fonksiyondur. Bir logaritma tablosu yardımıyla, fl’nın b ile çarpımının değerini hesaplamak için, tablodan log a ve log b değerleri aranır sonra bunlar toplanır. Bu durumda, aynı zamanda log (a x b) olan bir (log a + log b) sayısı elde edilir; a x b çarpımının sonucunu bulmak için, tabloyu ters yönde kullanmak yeterlidir. Gerçekleştirilecek işlem sayısı bir veya iki olduğunda, logaritma kullanımı pek bir kolaylık sağlamaz, ama hesap hacmi veya hassasiyet derecesi artığında, bu teknik çok ekonomik bir
Programlanabilir hesap makinesi,

dizileri hesaplamaya ve fonksiyonların incelenmesini gerçekleştirmeye imkân verir. Giderek yaygınlaşan kullanımı, makineye özgü programlama diline hâkim olunmasını gerektirir.
UNUTULMUŞ BİR HESAPLAMA: MISIR KESİRLERİ

«Mısır kesirleri», tamsayıların çarpmaya göre tersleridir. Bu adlandırma, Mısırlı hesap uzmanlarının sadece payı l’e eşit kesirleri (dikkate değer bir şekilde 2/3 kesri dışında) bilmelerinden kaynaklanır. 3/4 kesri, 1/2 + 1/4 biçiminde yazılır; 4/5 kesri, 1/2 + 1/5 + 1/10 biçiminde yazılır. Payı paydasından küçük olan her kesrin Mısır kesirlerinin toplamı halinde ayrıştınlabilir olduğu gösterilebilir. Bu arada, bu ayrıştırmanın pratik olarak hesaplanması her zaman mümkün olmuyordu ve birtakım sonuç tablolarının kullanımı yararlı oluyordu.

Katipler, kesirli operatör kullanımı gerektiren problemleri ifade edebilmek ve çözebilmek amacıyla, bu nesneler üzerine bir hesaplama geliştirmek zorunda kaldılar. Söz konusu kesirli operatörler, tamsayılar üzerinde olduğu kadar bunların çarpmaya göre tersleri olan, alışılagelmiş kesirli sayılar üzerinde de işlem yapabiliyordu. En sık kullanımlara ilişkin birtakım tablolar hazırlanmıştı. Mesela, 1/2’nin 2/3?ü, 1/4 + 1/12, yani 1/3 yazılır; 1/3’ün 2/3’ü, 1/6 + 1/18 yazılır; bu son sonuç, tek bir Mısır kesri biçiminde ifade edilemez.
Pascai’in hesap makinesi.

İdare memuru olan babasının muhasebe işlerini hafifletmek için 1645’te tasarladığı bu makinenin basit bir çalışma tarzı vardır: toplama işlemi sırasında, eldeyl otomatik olarak ilgili haneye ekler ve çıkarma işlemini, eldenin yönünü tersine çevirmeden gerçekleştirir.

Su üzerimle yayılan dalga modeline tekabül eden iki değişkenli fonksiyon,

Ox, Oy ve Oz gibi üç eksene göre, bir kartezyen koordinat sisteminde çizilmiş bir yüzeyden oluşan, alışılagelmiş bir grafik gösterime sahiptir. Yüzeyin düzlemlerle kesişimi, kısmi fonksiyonlan verir; bunlann kesişme noktalannda ise, teğet düzlem kısmî fonksiyonlan sınırlar.
hale gelir. Bu nedenle, yaklaşık üç yüzyıl boyunca, özellikle mühendisler tarafından çok yoğun bir şekilde kullanılmıştır.

Hesap cetveli, logaritma ilkesine dayandırılmış bir alettir. 1960’Iarda hesap uzmanları tarafından ve hatta 1970’lerde orta ve yüksek öğrenim öğrencileri tarafından çok kullanıldı; 1970’lerde ise elektronik hesap makinelerinin ortaya çıkması, sayısal hesabı kökünden sarstı. Artık, bir zamanlar düşünülemez olan hesaplamalara girişmek mümkündü.

Günümüzde eğer bazı hesap araçları geliştirilmemiş olsaydı, bazı bilim dallan veya teknikler bugünkü düzeyine erişmemiş olacaktı. Bunun en iyi örneklerden biri, kısa vadeli (birkaç günlük) hava tahminidir; bilgisayarlardan oluşan büyük hesap araçlan olmasaydı, bu alanda güvenilir bir sistem oluşturmak mümkün olmayacaktı.

FONKSİYONLARLA HESAPLAMAK: DİFERANSİYEL VE İNTEGRAL HESAP

Hesap, sadece sayısal hesaba ya da sadece cebirsel bir yapının kurallarına indirgenmez. Sayılar üreten veya birtakım kümeleri ilişkilendiren nesnelerle de hesap yapılır: bunlar, üzerlerinde birçok hesap yönteminin uygulanabildiği fonksiyonlar’dır. Temel fonksiyon olarak adlandırılan bazı fonksiyonlar, bazı boşa fonksiyonları bir araya getirerek yeni fonksiyonların oluşmasını sağlar. Biraz daha bir karakter taşıyan bir başka fonksiyon tipi de, tümüyle işlevsel bir çerçevede olduğu kadar, geometrik bir çerçevede de, çembersel denen fonksiyonları (sinüs, kosinüs, tanjant vb) konu alır: bu, trigonometrik hesap’tır.

Birçok bilimsel ve teknik etkinlik alanında büyük pratik önemi taşıyan bu hesaplar, yine de iki temel işlem olan türevleme ve itt-tegralleme’nin tanımından yola çıkılarak geliştirilen hesap kadar önemli ve genel değildir. Klasik diferansiyel ve integral hesap iki doğrultuda gelişecektir. Bu gelişimin bir yönü uygulamayla ilgilidir: bu, uzun süre, fizikçinin ve mühendisin temel aracı olarak kalacaktır; türevlerin hesaplanması, maksimumların ve minimumların belirlenmesi, integrallerin hesaplanması, bunların alışılagelmiş tekniklerinin bir parçasıdır ve her tür yüksek bilimsel ve teknik eğitimin temel öğeleridir. Öte yandan bu hesabın ikinci gelişme yönü derilemesine olacaktır: tümüyle matematiksel kesinlik ve tutarlılık gereklilikleri, nesneleri ve yöntemleri kesinleşmeye yöneltecektir; özellikle gerçek sayılarda bu durum söz konusudur; diğer yandan, integral kavramı için de aynı şey söz konusudur; bunun, XX. yy başlarında genelleşmesi, modern matematiğin gelişimi için kesin araçlar sağlayacaktır.

Tek değişkenli fonksiyonların türevleri

Burada, x değişkeninin (x e İR), sayısal fonksiyonlar adı verilen gerçek fonksiyonları göz önüne alınmaktadır. x1 ve x2 gibi iki sa-
yı verildiğinde, f (*j) – f (x2) bölümü fonksiyona ilişkin b

bilgiler sağlar. Böylece, bunun değişim yönünü belirlems kân verir, bu da, şu soruların yanıtlanmasını sağlar: fonksi tan mıdır, azalan mıdır, yoksa sabit midir? Maksimumla minimumlara ulaşmakta mıdır?

Diferansiyel hesabın dikkat çekici ve temel nitelikteki şudur: bazı fonksiyonlar için, xv x1’e doğru yaklaştığında f (*ı) – f(x2)

x -x bölümünün bir limiti vardır. Elde edilen bilgil

iki xt ve x2 sayısına değil, yalnız xl’e bağlıdır. Bu limit, v; ğunda, noktasının türevidir ve f{x1) biçiminde gösterili siyonun, }a, b[ aralığının her noktasında (a < x < b eşit: sağlayan tüm x sayıları) bir türevi varsa, bu durumda, j b[ aralığı üzerinde türevlenebilir olduğundan söz edilir. B siyon olan türev, f’ biçiminde gösterilir. Bunun için, belli «temel» fonksiyonun türevlerini bilmek, sonra da bunlara ralları uygulamak yeterlidir:

– bir fonksiyonlar toplamının türevi, türevlerin toplan

– bir fg fonksiyonlar çarpımının türevi, f’g + fg’dür.

tikelden integrale

mxm i {m e İN), xm’nin türeviyse, bu durumda

m+1

—-, xm ’yi

m+l

türev olarak kabul eden fonksiyondur. Burada, x’in bir i, söz konusu olduğundan söz edilir. Bu ilkel sadece bir tan dir; gerçekte, C gerçek bir sayı olmak üzere,
m+1
bir başka ilkeldir.

Bir ilkeli olan fonksiyonlar doğrudan belirlenemediğinde lan, hangi ölçüde bir fonksiyonun türevi olabileceklerini ye çalışarak, duruma göre belirlemek gerekir. Bu, integra mına başvurulmasını gerektirir.

Sayısal bir fonksiyonun, bir aralık üzerinde basit integra mı, özellikle, f [a, b] üzerinde tanımlı bir fonksiyon olma. y = f[x) eğrisi, x ekseni ve iki düşey doğru x = a ve x = b f tarafından sınırlanan yüzeyin A alanını hesaplamaya irr rir. Bu sayıyı belirlemek için, klasik olarak, Darboux yöntı larnlır (burada, integralin bir tanımlanma biçimi söz korn [a, b] aralığı, uçları x = a ve x = b olan n aralık düzenli bir b meye göre kesilir. Her aralığın uzunluğu, (b – a)/n’dir. Hı üzerinde, fonksiyonun minimumu ve maksimumu, ml ve önüne alınır ve her iki toplam hesaplanır:

S = Afj(Xj – a) + M2(x2 – *j) + … + Mn (xa -xn_,),

s = mx(Xj- a) + m2(x2 – xt) + … + m jxn – xn _t).

Her [x, jtj + 1) aralığı üzerinde Mi maksimumun mi minir dan büyük veya buna eşit olduğu (Mt > m) göz. önüne alın S > s olduğu sonucu ortaya çıkar. Bazı fonksiyonlar için ğında, aralık sayısı artar ve iki toplam, S ve s birbirine ’ Bunların limiti aynıysa, fonksiyonun [a, b] üzerinde Riem nünde integrallenebilir olduğundan söz edilir ve bunun i limitin değeridir. Bu, I = J * f (x) • dx biçiminde gösterilir.

S ve s’nin her terimi, bir kenarı aralığın uzunluğu ve di; ruma göre Mt veya ml olan bir dikdörtgenin alanını tem Her tür bölmeleme için, S > I > s olduğu kolayca fark e> Kullanılagelen tüm fonksiyonlar, Riemann yönünde intej bilir: polinomlar, trigonometrik fonksiyonlar vb. Aynı şek rekli fonksiyonlar da integrallenebilirdir.

Diferansiyel ve integral hesabın temel teoremi, ilkellerle ilgili olarak sorulan soruyu basit bir şekilde çözn kân verir. f[x), ]a, b[ üzerinde sürekli ve a ve b noktalarınd lıysa, şu eşidik ortaya çıkar: r

xeR b[ için, F (x) = )a f[t) • d(.

Temel sonuç F’(x) = f[x) biçiminde yazılır ve şu şekil edilir: F(x), f{x)’in bir ilkelidir. Bu teorem, bir fonksiyon! kelinin olup olmadığının (bunun bilinmesi, bir integrali ’ mak için temel araçtır) belirlenmesi için, adım adım harel gerekliliğini ortadan kaldırır. Gerçekte, F(x), f(x)’in bir ilke durumda aşağıdaki eşitlik söz konusu olur:

Ja f (x). dx = F(b) – F{a).

Açıklanan özellik, tüm bir fonksiyonlar ailesi, yani fonksiyonlar için geçerlidir.

İNTEGRAL VE CÜZDAN

Bir cüzdanın içindekiler bir masanın üzerine boşaltığında masaya, farklı değerlerde belirli sayıda bozuk para düşer: 5 000 TL, 2 500 U, 1 000 TL, 500 TL. Mevcut paranın toplam miktarını hesaplamak için iki yöntem kullanılabilir:

– her bozuk para, kümülatif bir sürece göre, önceden hesaplanmış toplama eklenerek birbiri ardına alınır. Bu sistemin yetkinleştirilmiş bir biçiminde, hepsi aynı sayıda bozuk para içeren paketler oluşturulabilir, bunların herbirinin değeri tahmin edilebilir, sonra bunlar birbirine eklenebilir. Bu yöntem, bir fonksiyona uygulandığında, Rieman tipi integrali hesaplamaya imkân verir;

– her paket içindeki, aynı değere sahip tüm bozuk paralar gruplandırılır, buradan ilgili toplam elde edilir ve bu, diğer paketlerin toplamına eklenir. Bu yöntem, fonksiyonlara uygulandığında, Lebesgue tipi integrali hesaplamaya imkân verir.
ya parametreler) biri düşük bir değer almak üzere, kendi başına, tanımın gövdesi içinde yer alır. Bu giriş değerinin her evrede azaldığı işlemler dizisi sonlu sayıdadır. Bir sonucun saptanmasına imkân sağlayan bir argüman değeriyle karşılaşıldığında sona erer.

İki tamsayının toplanması, hesaplanabilir bir fonksiyondur: bunun belirli iki argüman için değeri, bir makine üzerinde bir program yardımıyla sonlu bir zaman içinde hesaplanabilir. (II) önermesi, bu tip bir programa iyi bir örnektir. Bu, şu işlem öğelerini içeren basit bir dilde ifade edilir: herhangi bir sayısa 1 eklenmesi, atama (YAP komutu), iki sayının karşılaştırılması («küçük veya eşit» testi), tanımlı yineleme (İSE çevrimi). Bu dil, programları yorumlayan ve yürüten bir makineye uygulanır. Hesaplama biçimleri (II) ve (III), aynı fonksiyonun hesaplanmasını, yani iki tamsayının toplamını gerçekleştirmeleri bakımından eşdeğerdir. Bununla birlikte, (II) yinelemeli biçimde hesaplarken, (III) gerileme-

li biçimde hesaplar. Buradan, (II) ve (Ill)’ün farklı özelliklerdeki makinelerle kullanılacağı sonucu çıkar.

Hesaplanabilir fonksiyonlar, her zaman tamsayı fonksiyonlarıdır. Aslında sadece tamsayılar bir makinede sonlu sayıda işaretle kesin olarak temsil edilebilir, dolayısıyla sonlu bir hesaplamaya imkân verebilir. Bu arada, negatif tamsayılar (bağıl sayılar) ve plcf (p e Z, q s IN+) biçiminde gösterilen rasyonel sayılar da, tamsayılar gibi ele alınabilir.

Hesaplanabilirlik kavramıyla, analizin incelediği klasik fonksiyonlar alanından çıkılır. Gerçekte, diferansiyel ve integral hesabın temel kavramları süreklilik, türevlenebilirlik ve integrallenebilir-liktir. Hesaplanabilirlik kavramı, bir başka fonksiyonlar hiyerarşisi oluşturmaya imkân verir; hesaplanabilir temel fonksiyonlar veya gerilemeli fonksiyonlar, bunun «yapıtaşları»m oluşturur. + fonksiyonu bunlardan biridir. Kullanılagelen fonksiyonlar, özellikle tamsayı değişkenli polinom fonksiyonları, gerilemeli, dolayısıyla hesaplanabilir fonksiyonlardır.

ELEKTRONİK HESAP SAYFASI

Her hesaplamada, aynı anda iki öge kullanılır: üzerinde hesap yapılan nesnelerin temsil edilmesine yönelik bir öğe ve söz konusu nesnelerin, gösterimleri aracılığıyla ve belirli kurallara göre işlenmesine yönelik bir öğe. Elektronik hesap sayfaları, görece yeni bir gösterim ve işleme aracıdır: bunların ilk örnekleri (bu yazılımlara tablolama yazılımı denir), 1970’ler sırasında ortaya çıktı. Yönetim veya muhasebe hesaplarından doğan problemlerden hareketle, bir ekran üzerinde satır ve sütunlardan oluşan bir sayfa yapısı elde edilmeye çalışılır.

Alışılagelmiş bilgi ortamlan, kullanışlılık ölçüderinin gerekli kıldığı boyuda sınırlı olsa da, elektronik bilgi ortamında aynı zorlamalarla karşılaşılmaz. Gerçekten de, ekran üzerindeki bir görüntüyle oynamak teknik olarak mümkündür: söz konusu görüntü büyütülmüş veya küçültülmüş olabilir, yatay veya düşey akıtma yoluyla diğer öğeleri elde edilmek istenen daha büyük bir görüntünün yalnız bir bölümü temsil edebilir. Bu durumda, belli sayıda satır ve sütundan (mesela 4 000 satır ve 70 sütun) oluşan bir sayfa görüntüsü elde edilebilir. Kuşkusuz bunların tümü aynı anda ekranda görünmez, ama gerektiğinde bunlara erişilebilir; bunların her biri, satırlar için l’den
4 000’e kadar ve sütunlar için, l’den 70’e kadar numaralanır

Bu durumda, elektronik hesap sayfasının kullanıcısı, satıı sütunların kesişme noktalarında yer alan öğelerden (hücre şan, dikdörtgen biçiminde bir ızgara yapısı üzerinde çalış: mektir. Hücrelerin içinde, sayı, değişken, formül veya birta limeler yer alabilir. Izgara üzerindeki konumunu gösteren dişini belirtmek, yani içeriğine erişmek için kullanılacak ola: rese sahiptir. Mutlak veya göreli olmak üzere, iki tür adresli konusudur. Mudak adreslemede, hücre, satır ve sütun nur la tanımlanır; göreli adreslemede, iki hücre, yani içinde bu hücre ile hedef alınan hücre arasında ilişki kurulur. Argüm dan biri hedef alman hücrenin içeriği olması gereken bir yazmak için, birinci hücre içinde bulunulduğu kabul edilir, hedef alman hücre, bunu içinde bulunulan hücreden ayırar sütun sayısıyla tanımlanacaktır. Mesela, L25 C30 hücresin 25 ile sütun 30’un kesişme noktasında yer alan) bulunulm; içinde 15 satır daha yukarıda ve 6 sütun daha sağda yer a renin (hedef alman hücre) sayısal içeriğinin kullanılmasını tiği bir formül yazmak gerekiyorsa, bunun içeriği L(- 15 kodu yardımıyla, göreli adreslemeyle belirtilecektir. Hes iki boyudu olarak gerçekleşir: formülün yürütülmesi sıra: koda rastlandığında, elektronik hesap sayfası, içinde bı hücrenin 15 satır daha yukarısında ve 6 sütun daha sağ alan hücrenin içeriğini kullanacaktır. İki boyut üzerinde gı tirilen hesaplama, büyük bir kullanım esnekliğine imkân’

Aslında değerler, kelimeler, formüller yazmak, sayfanı rumunu betimlemek demektir; burada söz konusu duruı den betimlenen biçime göre, birçok hanenin içerikleri birtakım ilişkilerin kurulduğu andan itibaren değişikliğe bilir. Bazı verilerin değiştirilmesi, sayfanın yeni bir dur hesaplanmasını gerektirecektir. Bu durumda, bu genel ilk rek, daha karmaşık hesaplamalar düzenlenebilir. Böylec leri aranılan nitelikte formüllerle donatılmış olduğunda, fa birçok kez hesaplanabilir ve yeniden hesaplanabilir. D dan bazı hücrelere, sonraki hesaplamaları yönlendirecek şullu önermeler atamak da mümkündür. Gerçekte, bir el hesap sayfasına eşlik ettirilen sözdizim öğeleri, gerçek ramlama dili oluşturur.

Demek ki bu sayfalar hesap-makine birlikteliğinin, hesaplanabilirlik konusunda rastlanandan oldukça farklı bir versiyonunu temsil eder. Aslında bu, kuramda yer ala ramın, belirli bir hesaplama uygulamaları kümesine uy sidir. Bu uyarlama, makine konusunda, özel bir progra mıyla gerçekleştirilir. Kullanıcı için, birtakım sonuçlar el amacıyla, yürütme amaçlı bir veri ve işlem kodlama dil ma sunulur. Bu durumda, kullanıcının etkin makines: makine-dil İkilisinden oluşur; bu birliktelik, belirli hesaj uyarlanmış bir tür zahiri makine demektir.

Bu tür hesap sayfaları, temel matematik uygulamaları verdiği gibi, özellikle malî alandaki bazı problem türl uygundur. Hesaplama aracı olarak bunlar henüz geçeı yitirmemiştir ve hâlâ önemli gelişme fırsatları sunmakt
Uçuş simülatörii. Pilot, sentez görüntülerden oluşan bir manzara önünde çalışır ve çeşitli uçuş koşuliannda reflekslerini test eder.

ÖRÜNTÜLERİN HESAPLANMASI

ı:_r_ bakış açısından (böyle bir bakış açısının olduğu ■:: her şey hesaplamadır, ama bu hesaplar bir kullanıcı-

– =îglamayı arzu etmediği düzeylerde gerçekleştirilir. : – • r_gısayarın yararı, erişilebilir kılınmış nesnelerde ve …. eden müdahale kurallarında yatar. Yeni gösterim ve : çalışmaya, yani yeni hesaplamalar tasarlama –

;’ erecek olan, bilgisayarlardır. Dolayısıyla bir bilgi, he-; ■ * r_.a:na alanının öğeleri temsil edilebilir nitelikteyse, ; gösterimler değiştirilebiliyor, birbirine eklenebili-; ; hesaplanabiliyorsa, uygun makine-dil birlikteliği ku–.—3 bu birlikteliğin gerçekleştirilmesinde belli bir kar-_,3rş^aşılır. Bu durumda üç doğrultuda ilerlemek gere-

– :. .-..îsac donanımı (devreler ve bellekler), bunların prog-. kullanımı (diller), bunlara erişim (çevre birimleri).

: önemsiz bir nesne gibi görünür; ama yine de, bu-

■ :; üzerinde gerçekleştirilmesi gerektiğinde, çok farklı

■ ,._k düzeyleriyle karşılaşılır. Ekranda metinden çok daha

: mesela bir geometrik görüntü, bir oyunun hareket-

■ – r. =5.var destekli tasarımda üçboyutlu bir uçak gösterimi vb -. —.3 a -çm, söz konusu ekranı yönetmek gerekir. Bütün bun-

_. ; i-.den hareketle hazırlanmış görüntüler söz konusudur: : z-.zs ince ayrıntılar üretmeye imkân veren ekranlar, bu

– hazırlayabilmek ve ekran üzerinde görüntüleyebilmek -j’ve programlar halindeki araçlar.

: – cr.etimi, birimi piksel (resim öğesi) olan bir hesaplama-. -. ___dur. Piksel, tüm görüntünün bileşimi için gerekli bir ışık ; _=rurmak amacıyla az veya çok uyarılabilen en küçük : ; : Vakandaki etkileri üretmek için doğrulara, alfabenin . ■ -£ eğrilere, yüzey öğelerine vb sahip olmak ve böylece

– program ve hesap aracılığıyla temel şekilleri ve bunla-ifirrderini ekranda gerçekleştirmenin yolunu bulmak gere-

. urumda, bir metnin görüntülenmesinin, görüntü işleme–b:r biçimi olduğu düşünülür. Bilgisayar, donanımı ve

– • “anım araçlarım (yazılımlar) bir araya getirerek, kullanı–; _ri bir hesaptan sonra metni ekranda görüntüleyebilme-

– Inaıı sunmalıdır. Bu hesap, harflerin ve kelimelerin belir-ıs karakterden oluşan satırlar üzerinde düzenli olarak da-

;. -re belli sayıda satır içeren bir ekran söz konusu olduğun-: zzsl bir hesaplama olarak görülebilir. Ama yine de, bir me-ı j rjntülenmesi, programlama dili içinde yer alan belli sayı-: :s:yonun kullanımından geçer. İki hesaplama katmanı gö-

::hmtüleme için, temel nesneleri gerçekleştiren bir iç kat-

2 operatörün az veya çok erişebileceği bir düzeyde olabi–. =cla bazı yazılımlar, yeni karakter biçimlerinin (fontlar) dü-;-nesine imkân verir;

-.nüyle erişilebilir olan bir dış katman. Burada operatör, söz . = – bu dış katmanın sunduğu temel komutlardan (burada, bir
fonksiyonun yürütülmesine imkân veren mekanizma anlamında, ilkel komutlar) yola çıkarak, görüntüleme işlemini, bunun gerçekleştirilmesine imkân veren hesabı programlayarak, işlediği probleme uyarlayabilir.

Daha klasik bir görüntü durumunda, mesela, geometride, bu iki katmana rastlanır: piksellerden hareketle temel grafik öğeleri hesaplayan ve gerçekleştiren katman ve görüntüleri oluşturmak amacıyla, bu öğeleri birleştirmeye imkân veren katman. Bu ikinci katman, grafik dil; bu dilin nesneleri ve işlemleri tarafından gerçekleştirilir. Bu, olanaklı gösterimler ve işlemler alanını açar. Kullanılan dil, geometrinin sunduğu gösterim biçimlerine dayanabilir; özellikle üçboyutlu nesneler için bu söz konusudur. Görüntüleme için hesaplanan çizim, onu üçboyudu bir nesnenin gösterimi olarak üretmeye imkân veren bir dizi geometrik kuralın uygulanmasıyla elde edilir. Aynı basamaktan olmayan, çünkü aynı nesnelere ilişkin olmayan iki tür hesapla karşılaşılır: bunlardan biri için, bir ekran üzerindeki izler söz konusudur; diğeri için, geometrik yapıdaki öğeler söz konusudur. Sürecin sonunda, bir program veya bir programlar bütünü tarafından bir görüntü üretilecektir. Böylece, bir prototipin hazırlanmasından önceki incelemelerde, bu nesnenin, bazıları gerektiğinde bir başlangıç projesine göre birtakım değişiklikler taşıyan bir görünümler bütünü hesaplanacaktır.

Ek katmanlar eklemek veya başka grafik katmanlar tasarlamak da mümkündür. Bunlar, daha karmaşık nesne gramerlerine tekabül edecektir; bu gramerlerde, başlangıçtaki en «derin» hesaplama, programlama dilinin öğeleriyle bütünleşmiş haldedir. Bu durumda, kullanıcı için hemen hemen görünmez hale gelir. Böylece, animasyonlar gerçekleştirebilecek bir makinenin tasarımında ilk evre, uygun ilkel komutlar seçmeye ve hazırlamaya dayanır; bunların, en dış katmanı oluşturanları, kullanıcıya en yakın olanlarıdır. Bu amaçla, iki tip problemi çözmek gerekir: bir yandan, bu ilkel komudar, aranan etkilerin çoğunu elde etmeye imkân veren bir temel olaylar grameri oluşturmalıdır; diğer yandan bunlar, kendisi için gerekli projeleri programlayabilmesi için, kullanıcı tarafından yorumlanabilir olmalıdır. Bu son koşul, hareket deneyimimize yakın bir karaktere sahip olduklarında gerçekleşir, ama bu her zaman mümkün değildir; bu durumda, istenen görüntülerin oluşturulmasına imkân veren daha saydam yeni komutların programlanmasını düşünmek gerekir.

İster sabit, ister hareketli olsunlar, görüntüler bir hesabın sonucudur; elbette bu görüntü eski köklerinden (küçük Kaide çakılları) uzaklaşmıştır, ama aynı zamanda onun oluşturulmasına yönelik projenin ve bu projenin gerçekleştiren düzeneğinin uygulanma karmaşıklığının bir ölçüsüdür. Kuramsal hesaplanabilirliğin ötesinde, burada, hesaplanabilirliğin daha pratik veya deneysel bir başka biçimi söz konusu olur. Makine artık, evrensel olmak için yeterince ilkel, aritmetiksel bir araç değildir. Tersine, çok gelişmiştir ve belirli bir etkinlik alanını hesaplanabilir kılmak için yapılmıştır. □
Uzaydan bakıldığında New York.

Brooklyn’in (görüntünün sağ bölümü) yukansında, Oueens, sonra Manhattan adasının ucu, (yukanda) Jersey City (yukanda solda) ve Staten Island (aşağıda solda) net bir şekilde ayırt edilmektedir. SPOT uydusundan alınmış ve sonradan renklendirilmiş bu görüntü, mükemmel bir aynntı vermektedir: çözünürlük mertebesi

10 m dolayındadır
AYRICA BAKINIZ

– 1B.ANSU algoritma

– (H.AHSIİ bilgisayar

– uaa fonksiyonlar

– lamı görüntü (sentez)

– İB.ANSLI istatistik

– İB-AN5U matematik

– Ib.anslI matematiksel yapılar

– 1&.ANSIİ olasılık hesabı

– İB.ANSLI sayılar

– İB.ANSU takvim

► Ib-ansli trigonometri

– IgBg yazılım