Matematik Dünyası
Bir Dahinin Ardından
Pali Basci,Paul Erdös: namı diğer Asrımızın matematiğine 83 yıl süren uzun ve verimli ömrüyle damgasını vuran Paul Erdös, 20 eylül 1996 Cuma günü, bir matematik semineri için gittiği Varşova ‘da hayata gözlerini yumdu. Bütün dünya bu olayı büyük bir üzüntüyle karşılarken, Türkiye’de birkaç kişinin dışında, yine kimsenin haberi bile olmadı. Bunu bilimsel meraksızlığımıza mı bağlamalı bilinmez, ama biraz da geç olarak yayımlanan bu yazı umarız Erdös’ü hayattayken tanıyamayan birçok kişiyi onunla tanıştırır.
Macaristan’da
Yahudiler
Habsburg İmparatorlu-ğu’nun 1867’de ikili Avusturya-Macaristan yönetimine dönüşmesi ve bundan çeyrek yüzyıl sonra bölgede Macar ağırlıklı bir hükümetin kurulmasıyla birlikte, özellikle Budapeşte civarında hızla yeşermeye başlayan entelektüel yaşam ve uygulanan kapitalist yönetim biçimi sonucunda Macaristan, çevre bölgelerde yaşayan Yahudiler için bir çekim merkezi olmaya başlamıştı. Kara tahta bilimi diye de anılan matematiğe özel bir ilgi göstermiş olan bu ulus için, uygulanan politikalar sayesinde Macaristan ideal bir vatan oluşturuyordu. Öyle ki Macaristan’a gelen Yahudiler, Macarlar’dan daha Macar oluyordu. Öteden beri kullandıkları isimlerini atıyorlar, Macar isimlerini alıyorlardı. Bilimde, özellikle matematikte bu ülkenin bilimsel tabanını oluşturuyorlardı. Paul Erdös de Macar Yahudileri’nin yaşadığı bu Altın Çağın son demlerinde, 26 Mart 1913’te bir Yahudi ailesinin çocuğu olarak Budapeşte’de doğdu.
Bir Matematikçi Büyüyor
Doğduktan birkaç gün sonra kızıl hastalığına yakalanan iki kız kardeşinin ölmesi üzerine Anyuka’sı (annesi), onu olağanüstü koruma altına alır. Sırf bu yüzden Paul, kızıl hastalığına ilk kez 23 yaşında yakalanır. İlk öksürüğü de 30 yaşında tadar. İki yaşındayken iki dilde sayı saymasını öğrenir. Dört yaşındayken negatif sayıları keşfeder ama aynı zamanda herkesin bir sun öleceğini de keşfeder. Bu
yıllar, Macaristan’ın karışmaya başladığı yıllardır. Apuka’sı (babası) Ruslara esir düşer ve ancak altı yıl sonra geri döner. Salgın hastalıklardan ve artan Yahudi karşıtı eylemlerden korkan An-yuka, küçük Paul’u okula göndermez. Evde Apuka ve Anyuka ona matematik ve İngilizce öğretirler.
Yaşıtlarının kolejlerde okuduğu yıllarda, Paul ev ve okul destekli bir eğitim programı içerisindedir. Bu sıralarda, 1900’lü yılların başından beri yayımlanan Közepiskolai Matematikai
Lapok (KöMaL) dergisi, Macaristan’da lise öğrencilerinin en çok ilgisini çeken dergilerden biridir. Bu derginin her yıl düzenlediği problem çözme yarışmaları adeta geleceğin Macar matematikçilerini belirlemektedir. Bu yarışmalar sonucu ilk üçe giren öğrencilerin fotoğrafları dergide basılmaktadır ve genç Paul’un fotoğrafları da üç sene art arda, çağdaşları Paul Turan, George Szekeres, Tibor Gallai ile birlikte basılır. Erdös ve Turan’ın yıllar sürecek dostluklarının temeli de burada atılır.
Üniversiteye giriş ve…
Paul 17 yaşında Peter Paz-many Üniversitesi’ne girer ve o yıl içinde, ilk kez Chebyschev tarafından kanıtlanan ve Bert-rand’ın Postulatı diye de bilinen şu önemli teoremin gelişmiş yöntemlere dayanmayan yeni bir kanıtını verir: Birden büyük her n doğal sayısı için, n ile Zn arasında en az bir asal sayı vardır.
İki yıl sonra Açta Scientarum Mathcmaticarum dergisinde bu kanıt yayımlanır ve bu Erdös’iin ilerde sayısı 1500’ü bulacak bilimsel yayınlarının ilkidir. 18 yaşındayken, yani henüz üniversitesinin ikinci sınıfındayken Leopold Fejer’in gözetimi altında doktora tezini tamamlar. Tez konusu, bir yıl önce yaptığı kanıtın bir genellemesidir ve bu tez üç yıl sonra Mathematische Ze-itsehrift’te yayımlanır. Bundan sonra kahramanımız için kendi deyimiyle Kitap’m sırlarla dolu enginliklerini araştırma serüveni başlar (Erdös, içinde matematiğin en güzel teoremlerinin ve kanıtlarının yer aldığını ve hiçbir insanın okuma fırsatı bulamadığını söylediği bir kitabın varlığına inanıyordu).
Matematik dünyasında devrimci olarak bilinen tek insan Euler’dir. Özel problemler üzerinde çalışan Euler’in çalışmaları; Analitik ve Cebirsel Sayılar Kuramı’nm, Topoloji, Kombinatorik, Fonksiyon Uzayları gibi konuların doğmasını sağladı. Öyle görünüyor ki, tıpkı Euler gibi özel problemler üzerinde çalışan ve 1500’ün üzerinde makale yayımlayan Erdös de bundan sonra devrimci olarak anılacak. O da Kombinatorik ve Probabilistik Sayılar Kuramı, Kombinatorik Geometri, Probabilistik ve Transfinite Kombinatorik konularını matematik dünyasına kazandırdı.
Hacı Matematikçi
Erdös, 450 nin üzerinde matematikçiyle ortak makale yayımladı. Buradan da ünlü Erdös sayısı çıktı. Erdös sayısının ne olduğunu merak edenler için kısa bir tanım verelim: Erdös’ün Erdös sayısı sıfırdır. Erdös’le ortak bir yayın yapan bir kişinin Erdös sayısıysa birdir. Erdös’le yayın yapmayan ama Erdösle yayın yapan bir kişiyle yayın yapan birisinin Erdös sayısı da ikidir. n>2 için, Erdös sayısı n den küçük ya da eşit olmayan ve Er
sn birisiyle ortak
– _r kişinin Erdös sa-
• ^öre. Einstein’ın . – ikidir. Dünyada,
– mr ya da iki olan \ :.-i insan vardır. Er-.:_iar çok kişiyle ça–_I%avan en önemli et-r:rc de hiç kuşkusuz .. ?■.>; gezilerdir. Dünya-•: ilkesine yaptığı ma-
• .”“jıçlı geziler, ona ‘Ha-. ırzkçi’ denmesine ne-1^79 yılında kendisiy-bir söyleşide birkaç ~ \ le özetliyor: “Cu-__:nü \Vinnipeg’de bir
• *; .ramı seminerine ve o Macar lokantasında „nen yemeğe katıldım. -_bah Toronto’ya uçtum.
. _r_:ndan W7aterloo’ya pik-. :iik. Akşam Toronto’ya ve o akşam, ertesi gün i’.ıl Kolej’de sabah saat _ .lers vermek üzere Lond-. Herhalde bu alın-
‘¿vs’ün ne kadar dolu bir
– yaşadığını anlatmaya ye-
“czmece
‘ icsl gerçel sayıları için
– -‘ -\b-1 +Vc- 1 >^c(ab +1)
;. v’- gösteriniz.
I “epe açısı A olan AABC ikizke-
/■v
^-geninde, B açısının açıortayı, -T ■ ^ de kesiyor ve \BC\=\BD\+AD\
– – A ■=?
3eçen Ayın Çözümleri D.
terli. Böyle bir yaşam biçimi de matematikçiler arasında şu espriyi üretmişti: “Paul Erdös’ü görmek istiyorsan sadece otur, bekle yerinde, o gelip seni bulacaktır”.
Yüzlerce profesyonel matematikçiyle ortak çalışmalar yapmak Erdös’e yetmemiş, yetenekli lise öğrencileriyle de çalışmalar yapmıştır. Çalıştığı gençler tıpkı onun gibi küçük denebilecek yaşlarda bilimsel makaleler yayımlamışlardır. Laszlo Lovasz, Attila Mate, Imre Ruzsa gibi günümüzün önde gelen Macar matematikçileri Erdös’ün elinden geçmiştir.
Erdös, yaşamı boyunca sürekli bir geliri olmamasına rağmen, giderlerinin, gelirleri yanında çok küçük kalmasından dolayı, birkaç ödülden kazandığı parayı yetenekli matematikçilere burs olarak verecek kadar cömertti. Budapeşte’de ortaklı aldığı apartmanı bile matematikçilerin hizmetine ücretsiz sunmuştu. Kazandığı paraların bir kısmını kendisinin ortaya attığı
eşitliğini elde ederiz. Bu da bize sorudaki 7r değerini verir,
2. Diyelim ki elimizde n adet düzgün doğru çizilmiş bir daire olsun. Yaratılan bölge sayısının maksimum olması için, her doğrunun diğer tüm doğruları kesmesi gerekir ki, bu da bize n-1 adet kesişim noktası verir. Şimdi ortaya çıkan bölge sayısını P(n) ile temsil edelim. Bu durumda bir doğru daha çizersek, n+1 tane doğrumuz ve n kesişim noktamız olur. Yeni doğrumuzun geçtiği her bölge, bu doğru tarafından ikiye bölünecektir. Doğrumuz n+1 bölgeden geçeceğinden, n+1 tane yem bölge elde ederiz. Böylelikle p(n+1)=p(n)+n+1 olur ki, bu da bize P(n)=P(n-1)+n-P(n-2)+(n+1)+n =…=P(0)+1+2+…+n^ eşitliğini verir. Şimdi de P(0)=1 olduğundan
P(n)=1+(1/2)n(n+1)=(1/2)(n2+n+2) elde edilebilecek maksimum bölge sayısıdır
sorulan çözecek kişilere ödül olarak verilmek üzere sakladı. Yine de Erdös’ün vaat ettiği ödüllerin toplamının, hayatı boyunca kazandığı paradan daha fazla olduğu söylenir.
Yaşamı boyunca, Erdös’ün en çok şikayet ettiği nokta, dünyada sabit bir politikanın bulunmayışıydı. İki dünya savaşı, artan Yahudi karşıtı eylemler, dünyanın iki kutba ayrılması gibi önemli ve onu üzen olaylara tanık oldu. Bir dönem, İsrail vatandaşı olduğu için her ülkenin vize istemesinden dolayı, çok sevdiği gezilerinden vazgeçecek olmuştur. Hatta 50’li yıllarda, Amerika’da komünistlere duyulan düşmanlığın ve antipatinin arttığı bir dönemde, Ruslar hakkında sorulan bir soruya tatminkâr (?!) yanıt veremediğinden, o yılları daha çok İsrail’de geçirdi.
İnsanların bir konu üzerinde başarılı olmaları, her şeyden önce o konuyu sevmelerine bağlıdır. Paul Erdös bunun tipik bir örneği: Asalların dağılıma ilk kez 10 yaşındayken ilgi duyan Erdös, 17 yaşında Bertrand Postulatının elemanter bir kanıtını veriyor ve 36 yaşında, matematiğin en güzel ve ilginç teoremlerinden biri olan Asal Sayı Teore-mi’nin dc elemanter bir kanıtını veriyordu. Aynı yıl içinde yine bu teoremin elemanter bir kanıtı Selberg tarafından verilmişti ve ertesi sene Erdös, Wolf Ödü-lü’nü, Selberg de Fields Madal-yası’nı alıyordu. Field Madalya-
Birkaç Erdös Sorusu
Bu sorular, Erdös’ün 81. doğum yıldönümünde, Erdös tarafından önerilmiş ve KöMaL’de yayımlanmış sorular arasından seçilmiştir:
1. Düzlemde, herhangi üçü bir doğru üzerinde olmayacak biçimde n nokta verilsin. Birbirinden uzaklıkları birim olan en çok kaç tane çift vardır?
2. Uzayda verilen yedi noktadan, birbirlerine uzaklıkları farklı olan üç tanesinin seçilebileceğini kanıtlayınız.
sı, Wolf Ödülü’ne kıyasla çok daha fazla tanınan madalyaydı ve matematiğin Nobel’i olarak anılıyordu, ama bu madalyayı alamamak Erdös’ü üzmedi, çünkü o hiçbir zaman kendisini başkalarına ispatlamak gereğini hissetmedi. Sadece yaptığı işi olabildiğine benimsedi, yaşamı matematikle anlamaya çalıştı ve matematikle anlamlandırdı. Bu noktada Stan Wagon’un bir anısını aktaralım:
“Paul, matematikçilerle uzun gezintiler yapmayı çok severdi. Bir keresinde, yine konuşmaların matematik etrafında döndüğü bir gezinti yapıyorduk. Bir an durdu ve küçük bir çocuğu göstererek ‘Bak Stan, ne hoş bir epsilon’ dedi. Bunun üzerine ben de çocuğun yanında duran ve büyük olasılıkla çocuğun annesi olan güzel bayanı göstererek ‘Sen asıl büyük epsilona bak’ diye yanıtladım.”
Yaptığı bu kadar çok şeye karşın, Erdös’ün isteyip de yapamadığı çok şey var. Örneğin, Afrika’ya ve Japonya’ya hiç gidememiş. Japonya’ya gideme-mesinin nedenini yalnız kısa bir yanıtla açıklıyor: “Onlar cebirsel geometri ve topolojiyle çok ilgileniyorlar!” Yapmayı çok isteyip de yapamadığı daha ilginç bir şey var: Kürtçe makale yazmak. Kürtçe yayımlanan matematik dergisi bulunmadığından bu isteği de gerçekleşememiş. İsteyip de yapamadığı en önemli şeyse Kitap’ı görmek. Ne diyelim, inşallah şu an o güzel teorem ve ispatlarını Kitap’ta yazılı olduğu halde görüyordur.
Burhan Biner
Bilkent Matematik
Kasnaklar
B b L / n i Otı ‘H ^ ‘ r-: – v ”
T n e B \ V ‘ ___
Turan. P.4 7nr„.
.\iexjnders:n.O ^ – –
l s
S”* e’::kie n —> için
İL».