lenze | Lenze | LENZE
Mühendis Arnold derin düşüncelere dalmış ADI LENZE OLSUN DEMİŞ . Büyük tekerleğin yarıçapı küçük tekerleğin yarıçapının 8 katı. Küçük tekerleğin merkezi A, büyük tekerleğin merkezi B nin etrafında saniyede 16 kere saatin tersi yönde dönüyor. Küçük tekerlek kendi ekseni etrafında dönerken, büyük tekerleğin çevresini dolanıyor. Büyük tekerlek de kendi merkezi B nin etrafında saatin tersi yönde saniyede N kere dönüyor. Arnold’un istediği şudur: küçük tekerlek büyük tekerleğin etrafında dolanırken kendi ekseni etrafında dönmesin (A merkezindeki yatay çizgi hep yatay kalsın). Arnold N için hangi değeri seçmelidir?
Bir Ağıl Problemi
lenze | Lenze | LENZE
Çiftçi Hüsmen Dayı’nın üç koyunu ve üç koçu vardı. Oğluna eşit uzunlukta 12 çit verdi ve onlardan her hayvana bir tane olmak üzere 6 kare biçimi ağıl yapmasını istedi. Koçlar daha iri olduğundan koçların ağıllarının alanı iki katı olmalıydı. Oğlu bu ağılları yaptı. Biraz sonra Hüsmen Dayı yeni bir planla geldi:. Koç ağıllarının alanları koyun ağıllarının alanlarının üç katı olmalıydı; oğlu buna peki dedi ve çitleri biraz oynatarak isteneni yaptı. Ne var ki Hüsmen Ağa kararsızlığı huy edinmişti. Bir daha geldi ve koç ağıllarının dikdörtgen biçimi olmasını istedi. Bu isteği de yerine getirildi. Bu 12 eşit uzunluktaki çit nasıl konulmuştu ki bütün bu istekler kolayca yerine getirilmişti?
Çokgen biçiminde yassı bir yıldız bulunuyor. Bu yıldızın içinde bir O noktası var. O noktasından geçen herhangi bir güneş ışını bu çokgeni iki eşit yarıma bölüyor. Yıldızdaki İnsan Aklını İnceleme Komitesi’nm başkanı Bukalemunos, Dünyalı kılığını almış Cin Ruhi’yle konuşuyordu: “O noktasından geçen bir ışın yollarız; /Eşit iki yarıma bölünür yıldız;/Işın çokgenin iki kenarını A ve B’de keser; /OA nin OB’ye oranı nedir?/ Çabuk cevap ver;/ Biz burada akılsız Dünyalıların/ Kafasını ikiye bölmek için varız” diyerek Ruhi’nin kafasını sol ve sağ yarımlara ayırır gibi bir işaret yaptı. Cin Ruhi bir yanlışlığa kurban gitmemek için hemen kafasının
bölünmez ir.
lenze | Lenze | LENZE
Ayakkabılın .¡.-..r r-: dönmüştü. Önce soruy„ .r.-tjJ sonra ayakkabısının içindem Bukalemunos’un kocaman içine boşalttı. Evet, bu kü;_ ._’i^ OA/OB oranı nedir? Tabii, sovl;; r-nizi kanıtlamanız gerekiyor.
Daire İçinde Eşek
Bilindiği gibi diküçgenlerle ..tz-b2+c!=a2 şeklindeki Pisagor tecrer.-ne, eşek kulaklarına benzetildıfc “eşek teoremi” de denilmektedir, Bz şimdi onun çok değişik bir şeklin; ruyoruz: Uzayda diküçgen biçimi ABC hapisanesine kapatıldınız. Tek bildiğiniz bu diküçgenin kenarlanır ve hipotenus’una dıştan kareler biçiminde avlular eklendiği ve bu üç karenin dış köşelerinden daire biçimi bir duvar geçtiği. Bir diğer deyişle Pisagor şeklini (“eşeği”), bir daire içine almışlar. Siz C noktasında hapissiniz.
Mühendisin İkilemi
Çokgen Yıldız
Zekâ Oyunları
Selçuk Msau
Eşkenar Üçgenler
ABC üçgeninin her kenan 2n parçaya bölünmüş olsun. ABC üçgeninin AB ve AC ke-narlannı 1 birim uzatarak AB’C üçgenini elde edelim. AB’C’ üçgeninin kenarları 2n+1 parçaya bölünmüştür. Şimdi kendi kendimize soraiım: ABC üçgenini AB’C’ haline getirerek büyütmekle ABC üçgeninde varolan üçgen sayısına kaç yeni üçgen eklemiş olduk? A tepesinden işe başlayalım. B’C’ eklenmesiyle tepesi A’da olan tek bir yeni üçgen oluşmuştur: AB’C’ üçgeni. Şimdi A tepesinin hemen altındaki yatay çizgiye [ ».-(Cm-d doğrusu] gelelim. Tepesi bu doğru üzerinde oto 2 yeni üçgen vardır: Biri kenarı B’bı olan büyük üçgen (mavi), diğeri kenarı aı-(Carf) olan büyük üçgen (kahverengi), bi Czn-t doğru parçası üzerinde 2 nokta bulunduğundan (bi ve Can noktalan) ancak 2 yeni üçgen tepesi oluşmuştur, Şimdi de bir alttaki te-Ca-î doğru parçasına bakalım; bunun üzerinde 3 nokta var; bu 3 noktanın her biri yeni bir üçgenin tepesidir (yeşil, pembe, mor). ba-Cavs doğru parçası üzerinde 4 nokta vardır; bu 4 nokta 4 yeni üçgenin tepesidir. Bu usa vurmayı BC’ye kadar devam ettirelim. Şekil 2’de büyük üçgenin sol kenarına kırmızı olarak yazılan sayılar, her yatay çizginin kaç yeni üçgen tepesi içerdiğini göstermektedir: tepe 1 üçgen, 1, yatay çizgi 2, 2. yatay
Şekil 2
çzg;3,3. yaîayçzg.4.4 yaîayçızjS.. ;n. yaîayçsz-g. p+ı yer.: uçger tepesi taşmaktadır. BüyııK ûçge-rT sc.1 kenarr.dakj s.ya.h saylar .se kmm saydam bJT<rreş Mmûıatf: toplanm; vermektedir 3= 1+2, 6= ‘+2+3, 40 *+2+3+4, 15= 1+2+3+4+5 vb. Bu sayılar aze bir şey hatırlatıyor mu? Eveî, bunlar üçgen sayılandır (Bilmeyenler için üçgen sayılan açıklayalım. İki madeni parayı yan yana teğet koyun; sonra bunların üstüne 1 para daha koyun; 3= 2+1 oldu. Şimdi 2 para yerine 3 parayı yan yana teğet koyalım; buniann üstüne 2 ve bu ikinin de üstüne 1 para gelir; toplam 6= 1+2+3 para vardır. Dikkat edilirse 3+2+1 para veya 2+1 para bir üçgen oluşturmuştur; onun için bunlara üçgen sayılar denir: 1=1, 3=1+2, 6=1+2+3,10= 1+2+3+4,15= 1+2+3+4+5vb. n. üçgen sayıyı veren formül t^!) dır (aritmetik seri toplam formülü). Örneğin, T12=12.13/2=78. Üçgen sayıların toplam formülü bulunabilir. Örneğin 2n= 12 için
1+3+6+10+15+21+28+36+45+55+66+78= 364. Biz bu 364 sayısını daha kolay şöyle bulabilirdik: 4 {12+22+32+42+52+62)= 4 x 91= 364. Demek ki T?n inci üçgen sayıya kadar olan üçgen sayıların toplamı şuna eşittir: £*’. Verdiğimiz örnekte n= 6 dır (2n= 12). Bu nedenle en büyük üçgenin solundaki siyah sayıların toplamını şöyle ifade edeceğiz: *•£*’ . Bütün bu üçgenlerin tabanı B’C’ üzerindedir.
Şimdi B’C’ doğru parçasına bakalım. Tepesi bu doğru parçası üzerinde bulunan yeni üçgenleri sayalım. Şekil 2’de görüldüğü gibi tepesi bu doğru üzerinde bulunan üçgenler sırasıyla mavi, kırmızı, koyu yeşil, san, açık yeşil, pembe ve mavi renkle gösterilmiştir. Dikkat edelim ki 1 mavi, 2 kırmızı (birer kenarları paralel, küçüğü noktalı, büyüğü kısmen noktasız). 3 koyu yeşil, 4 sarı, 5 açık yeşil, 6 pembe ve 7 mavi üçgen vardır. Mavi üçgenin kenarındaki mavi sayılar bu üçgenin içindeki 7 üçgeni temsil etmektedir. Üçgen sayısı 1 ’den 7’ye kadar ardışık arttıktan sonra yine 7’den 1 ’e doğru azalmaktadır. Tepesi B’C’ üzerinde olan üçgenlerin sayısı dir, n= 7 için (2n=14)
bu 56 verir. Benzer yolla tepesi BC üzerinde olan üçgenlerin sayısı 1,2,3,4,5,6,7,6,5,4,3,2 ve 1 dir. Bunun sayısı ise S=1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1’dir. Bu ise şu demektir: Vden 6’ya kadar olan sayıların toplamının iki katı *’=<Y . Benzer usa vuruma devam ederek yatay çizgilerdeki tepeleri saya saya A’ya doğru gideriz. Her çizgideki üçgen tepe sayısı, büyük üçgenin sağına yazılmıştır. Bu seri şöyle oluşmuştur: 0+1+0=1, 0+1+1+0= 2, 1+2+1=4, 1+2+2+1= 6, 1+2+3+2+1 =9,1+2+3+3+2+1= 12…
Bu sen şöyle gidiyor:
1,2,4,6,9.12,16,20,25,30,36,42.49,56… Acaba buniann toplamı için bir formül bulamaz mıyız? Evet, böyle bir formül çıkarabiliriz; seriyi biraz değişik yazalım: V-0, 2*-2, 2\ 352, 62-6,
62, 72-7, T, 85-8 vb. Bunian topladığımızı düşünelim. Her kareden 2 adet var: 2 tane 12,2 tane 22, 2 tane 3Z vb. Bunlardan çıkarılan sayılar ise 1+2+3+4+.,.+n. O halde toplamı kolayca şöyle gösterebiliriz: %1,Kk Bu ifadeyi daha önce üçgen sayılar için bulduğumuz toplamla toplarsak;
S-S«’-X **-t-S «’-1
1 ‘den n’e kadar olan sayıların karelerinin toplamı şuna eşitttir. [n (n+1) (2n+1)]/6. -k ise belli ki şuna karşılıktır: – (n (n+1)]/2.0 halde eşkenar üçgen kenarı 2n parçaya ayrılmışsa bu eşkenar üçgendeki toplam üçgen sayısı şudur:
Şimdi bir de eşkenar üçgen kenan 2n+1 parçaya ayrılmışsa çözümü görelim. Bunun için ABC üçgeni ile A B’C’ üçgeni arasındaki üçgen sayısı farkını bulmalıyız. (2n+1). üçgen sayı şudur. T>r*ı= (2n+1) (2n+2) / 2= (2n+1) (n+1). Tabanı B’C’ üzerinde bulunan üçgen sayısı = 2(1+2+.. .+n)= 2. ^ =n(n+1). O halde AB’C üçgenindeki üçgen sayısı ile ABC üçgenindeki üçgen sayısı farkı şuna eşittir:
(2n+1) (n+1) + n (n+1) = (n+1) (3n+l). Demek ki: B|rer uygulama yapalım.
2n=12 olsun. (n=6); yani eşkenar üçgenin kenan 12’ye bölünmüş s^6 i2-5=52î Bir sağlama yapalım. S2n=4(12+22+32+42+5i+62)+(1+2+4+6+9+12+16+20 +25+30+36)=(4×91) + 161 = 364 + 161 = 525. Doğal imiş. Şimdi Szn+ı için örnek yapalım. Eşkenar üçgenin kenarı 13’e ayrılmış olsun; 2n+1 = 13 ven=6.
19=658. Bir sağlama yapalım: San..= (364+91) + (161+42) = 658. (364 ve 161 San için elde ettiğimiz sayılardı, Bunlara Şekil 2 sol kenardan 91 ve sağ kenardan 42 ekledik). (Selçuk Alsan tarafından bulunmuş … orijinal çözümdür).
İki Garip – J Formül
Kalp biçimi eğ-| rinin denklemi şu-dur: (y-lxl)*=3-x2 ve- ‘A
/=±V555+jjj”
Cı, C2, ti, h içeren ikinci köşeli parantez şekilde görülen virgül biçimi eğrinin denklemidir, Kızın yolladığj mesaj şuydu: “Mersi, ben evliyim!”, (cebirsel harfler yan yana okuyun!), (virgül formülünde Cı=a<î>/a,C2=a<{>/2jt+a, îı=<|>-a, t2=$’a-2jı’dir. Resimde a= 3ıt/2 dir).
Çok Yönlü Sayı
n= 2a. 3°.5C olsun, (a-1), b ve c çift sayılar; a, (b-1) ve c 3’ün katı ve a, b ve (c-1) 5’in katı olsunlar. Başka bir deyimle:
a-1= 2pı, b= 2qı, c= 2n a= 3p2, b-1= 3qa, c= 3rs a= 5p3, b= 5qa, (c-1)= 5ra demektir.
Bu ise a= 30p+15, b= 30q+10, c= 30r+6 demek olur, a-1 = 30p+14 olduğundan (a-1), 2’ye; a ise 3’e ve 5’e bölünür (30 sayısı 2, 3 ve 5’in en küçük ortak katıdır). (a= 30p+15 hem 3’e, hem 5’e bölünebilir). b-1= 30q+9, 3’e ve b= 30q+10, 5’e ve 2’ye bölünür. c-1= 30r+5, 5’e ve c= 30r+6, 2’ye ve 3’e bölünür. p=q=r=0 alırsak a= 15, b=10, c= 6 olur. n= 2’5. 310.56 bulunur. Hesap makinesinde
Vn/2 = 3 883000 Vtı/3 = 21 600 ve VnS * 360 QİdUğUnU gÖr6-
ceksiniz.
Bir Satranç Turnuvası
9 kişi.
mumunun
1 0 0 t 7 1 1 1
7 J_ a. 0 7 i I 7
0 1 1 sİ 0 O T 1 1_
0 0 1 ; ü O r 0 .1
0 0 0 1 7 1 1 0
0 0 0 o 1 o Vz % Vz
0 0 0 0 0 1 Vı Vz
En Büyük Yalan
Cin Ruhi krala şöyle dedi: “Hatırlarsanız haş-metmaap geçen yıl bu vakit size 1000 altın borç vermiştim ve siz borcunuzu en geç 1 yıl içinde ödeyeceğinize söz vermiştiniz. Alacağımı almaya geldim; verin 1000 altınımı”. Kral “böyle bir şey yok; yalan söylüyorsun” dese 1000 altın vermek zorunda. “Evet,
Önce CA ve sonra AB doğrultusunda birer tünel kazarak kaçmak istiyorsunuz. Fakat elinizde yalnız AC’nin uzunluğu var: AC=10 m. AB’nin ve BC’nin uzunlukları belli değil. Ayrıca BC’nin altı kayalık; orayı kazamıyorsunuz. Bir kez tünel kazıp diküçgen dışına çıkabilseniz gerisi kolay. Uzaylı kılığına girmiş Cin Ruhi size çelik dairenin kapısını açacak. Cin Ruhi avludan size elleriyle eşek kulağı taklidi yapıyor. Siz alay ettiğini sanıyorsunuz, oysa size AB uzunluğunu bulmanız için Pisagor kullanmanızı ima edi-var. Evet, dairenin yarıçapı ve BC ■elli değilken ve siz yalnız AC uzun-.jğunu biliyorken AB’yi bulun. (Tü–e” kazmayı göze alabilmek için AB «zuniuğunu bilmeniz şart; AB > AC ■e tüneli bitiremeden lazer odasında -.erap olacaksınız).
4 m uzunluğunda bir merdiven 1x1x1 m lik küp biçimi bir kutuya değerek duvara yaslanıyor. Merdivenin üst ucunun döşemeden uzaklığı nedir?
Göletteki Kamış
Bu eski bir Çin problemidir. 10×10 m boyutlarında kare biçimi bir göletin tam ortasından bir kamış yükseliyor. Kamışın kökü göletin dibinde, ucu ise su seviyesinin 1 m üstündedir. Kamış eğilerek göletin kenarı–na çekildiğinde tepesi su seviyesi hizasına gelmektedir. Göletin derinliği ne kadardır? (Göletin silindir biçimi olduğu varsayılıyor).
Diküçgen İçi Kare
Bu bilmece MÖ 263 yılında Liu Hui tarafından Hai Tao Suan-Ching (Denizde Klasik Aritmetik Adası) adlı kitapta sorulmuştur. Bir diküçgenin dik açılı köşesine hipotenüse değmek üzere çizilen karenin alanı nedir? (Di-
küçgenin kenarları a ve b ise karenin alanını a ve b cinsinden bulunuz.)
Tablolar
± . 3 25
3f * 11 m
o,m JL w
Soru işareti yerine hangi sayı gelmelidir? Alttaki tabloda fazla (gereksiz) olan sayı hangisi?
Bilmece Buna Derir
İki bacak ve bir bacak çıkarc; ~ —
geldi ve bir baeağ: ¿¿.¿ı I*:, dört bacağa üç bacak atr ğı geri aldı. Öyle bir cyk- zzz~ yukarıda anlatılanlar olsun.
Bisiklet Turu
Sağ alt köşedeki Philadelphia’caz başlayıp sol üst köşedeki Erie’ye kadar bisikletle gideceksiniz. Yolucus üstünde 23 kasaba var. Her kasabadar. ve her yoldan yalnız bir kere geçerek bu bisiklet turunu yapmanız isteo yor. Bakalım nasıl başaracaksınız:
Atlar ve Kaleler
a) Bir satranç tahtasına 5 at ve 5 kale, hiçbir taş diğerini tehdit etmeden konulabilir mi?
b) Bir satranç tahtasına 6 at ve t kale birbirini tehdit etmeden korunabilir mi?
Merdiven
Bu Sayı Başka Sayı
m m
-=-:2 234 567 898 987 654 321 5&zr£&ann toplamı 100.
Dareier
r ^ Çsr-an eşit dairelerin merkezleri birbirle-—’2?’ -Ti* z srzK y= x2 parabolünün kolları üzerine ■■_.ı-_.-s= ‘¿rzrş.t bir doğru en çok 2 daireyi kese-
Ee*ronik Saat
s’-asa 4 saat bulunur (20 ile 24 ara-la il s.’Eda 2 saat bulunur (02.00 ile ; ’’ t ’ 11” j3 *3 00 arası). 2 sayısı her saatin 3=- I £’233ii r (20.dakika ile 29.dakika £~ss -5-£r 50 dakikasında her biri 1
5 Kere 4. sırada bulunur (2., : M -I e 52 3a.<xalar; 22. dakika 3.sıra -■-»is-1 «,=■- ~,r. ■—şt aemek ki 2 sayısı her sa-
– ‘ -r r • 5 3, veya 4. sıradadır. 24 sa-ir=r srî :’ – ■ ~Z s^a■çn 2 saati çıkarsak ge-
± * 3 sc£:T’ her saati 15 dakika : I =■. = – s.’aöadır. Bu ise toplam
– ; iac- iCıi” -?r~”r £T* 4-^2+4,5= 10,5 S3-£ Zcs ‘-.–i. i’ s;r-?.£rşer/e: 0 veya 1 için
– == ‘ :” : iar ‘ 5 Zî<. <2. 4 veya 5 için 7 ■¿es ■” * -3 a- sa ç.r (6,7,8,9) 4 sa-
3si Zsr» Paradoksu
X ‘ *
Sabit bir tekerlekte, örneğin bir değirmen taşında, tabii ki tekerleğin her parçası aynı hızla döner; bu durumda tekerlek olduğu yerde (ilerleme yapmadan) dönmektedir. İlerleme yapan bir tekerlekte ise tabii ki tekerleğin üst bölümü alt bölümünden daha hızlı döner; eğer böyle oimasaydı tekerlek değirmen taşı gibi olduğu yerde döner, ileri gitmezdi.
Şekle bakalım. Ai.Aî, Aa ve A4 tekerleğin 4 farklı pozisyonunu gösteriyor. Tekerleğin üzerindeki sabit bir nokta tekerlek dönerken sikloid denen bir eğri çizer. Bu şekilde tekerleğin birinci (en soldaki) durumunda Aı noktası mavi ve B1 noktası kırmızı siktoid çiziyor. Dikkat ediniz ki tekerlek yanm (180 derece) dönüş yaparak 2.pozisyona geldiğinde A-, Aa’e ve Bı, Bs’e gelmiştir; görülüyorki A.Aa ve BtBs yayları birbirine eşittir; fakat Aı noktası Aa’e, B1 noktası Ba’e gelirken, Aı ve Bı’ln hızı aynı kalmamış, değişmiştir, işte kanıtı: Çeyrek (90 derece) dönen tekerlekte altta olan A1 noktası A1A2, üstte olan B< noktasıysa B1B2 yayını çizmiştir. Açıkça görülüyor ki B1B2 yayı, A1A2 den daha uzundur; yani üst nokta olan Bı ait nokta olan At’e göre daha hızlı gitmiştir. Ayrıca A^<AîA> ve B2B3<BıB2 de bize açıkça üst noktanın daha hızlı gittiğini gösteriyor. Bunu da yeterli bulmayanlar şu deneyi yapabilir; Bir kağıt üzerine bir çizgi çekin ve bu çizgiye teğet olarak bir madeni parayı kağıdın üstüne yatırın. Şimdi madeni parayı kendi ekseni etrafında hafifçe sola ve sonra sağa çevirin; göreceksiniz kı paranın teğet noktası çok az hareket ettiği halde paranın üstü bölümü sota ve sağa doğru bayağı jwn birer yay çizmiştir.
İkizkenar Üçgenler
n=7 için durumu inceleyelim. Kır-mızı=K ve Beyaz= B olsun. Bellidir ki 7 robot arasında aynı renkten en az ikisi komşu olmak zo-
o*
rundadır. Bunun ispatı kolay; bir çember üzerine 7 robotu yan yana aynı renkten olmayacak şekilde dizmeye çalışalım; ilk 6 robotu KBKBKB olarak dizdik; bu kolay. Yedinci robot ister K ister B olsun, aynı renkten iki robot komşu olacaktır, Şekil 1 ‘de aynı renkten komşu robotlara Aı ve A2 diyelim; Aı ve A2 de iki beyaz robot zorunlu olarak komşu. Aı ve A2 ile ikizkenar üçgen yapabilecek 3 robot vardır; bunlara A», As ve A? diyelim. Olasılıkları inceleyelim 1) As, As ve A? kırmızıdır. Bu üçü kırmızı ikizkenar üçgen yapar. 2) A3 veya As veya A? beyazdır; bu durumda A1A2A3 veya A1A2A5 veya AıAA beyaz ikizkenar üçgen yapar. Her iki halde de üç köşesi aynı renk ikizkenar üçgen oluşturulabilmiştir.
ŞBki’2 As At
Şimdi düzgün dokuzgen için duruma bakalım. Önce çemberi bir noktasından kesip Şekil 2’deki gibi yay haline getirelim (anlatım kolaylığı için); bu yay
üstünde eşit aralarla dizilen 9 nokta, AıA…..Ag dur.
Yedigendeki mantıkla burada da aynı renkten iki köşe komşu olmak zorundadır; bunlara A» ve As diyelim. Şimdi olmayana ergi metodu kullanalım, iddia ediyoruz ki bu sistemde olası bütün ikizkenar üçgenler, köşelerinin hepsi aynı renkten olmayan cinsden-dir. Önce yalnız A* ve As’i beyaz kabu! ediyoruz. Kendimiz ikizkenar üçgen oluştururken üç köşenin de aynı renkten olmaması için gayret edeceğiz.
Oluşturulan ikizkenar üçgen Sonuç
AaA«As ve AîAsAb As ve Ae siyah olmalı
A3A3A9 Aübeyaz olmalı.
A1A5A9 ve AsAzAs Aı ve A7Sİyah olmalı.
A1A2A3 ve AeArAa A2 ve Ae beyaz olmalı.
A2A5A6 Zorunlu olarak üç köşe-
si beyaz bir ikizkenar üçgen oluştu.
Demek ki düzgün dokuzgende her köşesi aynı renkten olmayan ikizkenar üçgenler yaratmak çaba-
ŞekiH
mız boşa gitti; en azından bir ikizkenar üçgen” A£-sAe) köşeleri aynı renkten olmak zorunda Sa.’~r kanıtlanmış oldu. Şekil 3’de sırasıyla dûzg^ s=«z-gen, eşkenar üçgen, kare ve altıgende üç kgşss. £> nı renk olan bir ikizkenar üçgen elde etme/ O-âra*-sız kılan dizilişler görülüyor.
Yedigen ve sekizgen için olan çöz^jer *>: tek sayı ve n > 4 çift sayı durumlarına gene^snes..’
Ağırlık Merkezi
Sol şekilde L biçimi şekil :fc iLcıcr-gene ayrılmış ve her bir dikdörtger ^ ag> lık merkezi (köşegenlerin kesşre -ı-c5-sı) bulunmuş ve bu merkezler
doğru ile blrleşirir^ _ biçimi şeknn “2-kezi bu doğn, jzsttce olmak zorundäur Saîca L biçimi şekil, ilkinden farklı ık, soergs-ne ayrılmış ve aynı yöntemce a§r.< kezleri bulunarak mavi doğri, e-as ekmiştir. L şe«_~ ağırlık merkez: .e mavi doğra noktasıdır.
Mayın Tarlası
Kaç Soruyu Bildi?
Komşu kral x soruyu bilip y scr-y-olsun. 48x= 12y ve x+y = 30’dar x= 6 I-lunur, Komşu kral 30 soruda1′ vurzs £sr D-ns-tir.
Üç Takım
Sonuçlar şöyle kssaîtiac- ^ ■“ «a-* £. *’ – ” – 1 p-*y(3)+ a(2); 3) y-»a’5′ • p 3 s-rrr 2_r_r^ belli ki p nın problemler a-
P>V (P. y dan daha guçi Kr: zj’jr-
dan a>Y ve üçüncü r-r/eii i
lenze | Lenze | LENZE
>Y. O halde takrr *arrac§ ırzo::”j* derecesi bakımındar $ 2 .=• – ‘ â,” Problem çöznreusîae^ra^riûEâc-iîie *: ‘ = 2’den a>p (a, y’rr 4 rssrrı ; s= * -: ; “r-lemıni çözebılrrş; 2 o 3 cer * ‘ ^ –
O halde a> y> p a2 zjzt j “ zsr a- :zsr anlar: a 3, p 2’«v’* zr^-z – f-: :
CU y.
Unlü Bir Paradoks
Aı
♦Al
doğru” dese yine 1000 altın vermek zorunda.
Geçen Ayın Çözümleri
Şekil 1
Fontys Satranç Turnuvası
Tilburg’da ilk kez düzenlenen satranç turnuvası ilginç oyunlara sahne oldu. Üst kategoriden birçok büyük ustanın katıldığı turnuvada, Gelfand ve Piket 7 puanla birinciliği paylaştı. Shirov 61/2 puanla üçüncü oldu. 45 yaşındaki Karpov 51/2 puanla altmcılığı Âdams ile paylaşırken, Polgar 4 puanla on ikinciliği aldı. Aşağıda turnuvadan sizin için seçtiğimiz oyunları bulacaksınız.
Piket-Gelfand l.Tur
1. d4 Nf6 2. c4 g6 3. Nc3 Bg7 4. e4 d6 5. Nf3 0-0 6. Be2 e5 7. 0-0 Nc6 8. d5 Ne7 9. Nd2 a5 10. a3 Bd7 11. b3 c6 12. Bb2 c5 13. Nb5 Ne8 14. b4 b6 15. bxc5 bxc5 16. a4 f5 17. Ra3 Bh6 18. f3 Bc8 19. Rel Nf6 20. Bd3 fxe4 21. Nxe4 Nf5 22. Bel Bf4 23. Nxf6+ Qxf6 24. Bxf4 exf4 25. Bxf5 Bxf5 1/2-1« Leko-Shirov l.Tur
1. e4 e5 2. Nf3 Nc6 3. Bb5 a6 4. Ba4 Nf6 5. 0-0 Bc5 6. c3 b5 7. Bb3 d6 8. a4 Bg4 9. d3 Rb8 10. axb5 axb5 11. h3 Bh5 12. Be3 Bxe3 13. fxe3 Bxf3 14. QxB 0-0 15. Nd2 b4 16. Rf2 Ra8 17. Rbl Na5 18. Ba4 Rb8 19. Rai bxc3 20. bxc3 Rb2 21. Nfl Rxf2 22. Qxf2 Nb7
23. Bc6 Nc5 24. Qc2 Qb8 25. Rbl Qa7
26. d4 Ne6 27. Nd2 Rb8 28. Bd5 Rxbl+ 29. Qxbl Nd8 30. Kf2 g6 31. Nf3 c6 32. Bc4 Kg7 33. Bd3 Ne6 34. Qb2 Qc7 35. Bc2 h6 36. Ke2 Ng5 37. Nxg5 hxg5 38. Bd3 g4 39. hxg4 Qd7
40. Kfl Qxg4 41. Qe2 Qh4 42. Qf2 Qhl+ 43. Ke2 Qal 44. Qel Qa2+ 45. Qd2 Qe6 46. Qc2 c5 47. dxc5 dxc5 48. Kel Qc6 49. c4 Qb6 50. Qc3 Nd7 51. Ke2 Qe6 52. Bc2 Qg4+ 53. Kfl Qg3 54. Qel Qh2 55. Qf2 Nf6 56. Ke2 Qhl 57. Qfl Qh4 58. Qf2 Qh2 59. Qf3 Ne8 60. Bd3 Nd6 61. Qfl Qh4 62. Qf2 Qe7 63. Qfl Qb7 64. Qal Kf6 65. Qa5 Nxe4 66. Bxe4 Qxe4 67. Qxc5 Qxg2+ 68. Kd3 Qfl+ 69. Kd2 Qf2+ 70. Kd3 Qf5+ 71.
Briç
Okan Zabunoğlu Onbir Kuralı
Rakip en iyi dördüncü atak ediyorsa, atak markasını on-bir’den çıkararak geri kalan üç elde o markadan büyük toplam kaç kart olduğu hesaplanabilir. 1994 Sonbahar Kuzey Amerika Şampiyonasında Max Hardy-’nin (ünlü oyuncu, direktör, yazar ve yayıncı) bu kuralı uygulayarak yaptığı 3SA kontratı turnuva bülteninde yayınlanmıştı.
Güneyden oynanan 3SA’ya Batı^5’li atak etti; onbir kuralına
Kc3 g5 72. Qb6+ Kg7 73. c5 g4 74. c6 g3 75. c7 g2 76. e4 Qfl 77. Kd2 gl=Q 78. Qxgl+ Qxgl 79. c8=Q Qd4+ 80. Ke2 Qxe4+ 81. Kf2 Qf4+ 82. Ke2 e4 83. Qc3+ Kg6 84. Qc6+ Kg5 85. Qc5+ Kg4 86. Qc8+ Kg3 87. Qc5 Kg2 88. Qd5 Qf3+ 89. Kel Qe3+ 0-1 Polgar-Piket 2.Tur
1. e4 e5 2. Nf3 Nc6 3. d4 exd4 4. Nxd4 Bc5 5. Be3 Qf6 6. c3 Nge7 7. Bc4 0-0 8. 0-0 Qg6 9. Nd2 Bxd4 10. cxd4 d5 11. exd5 Nb4 12. Bf4 Nbxd5 13. Bg3 c6 14. Rel Nf5 15. Nf3 Nxg3 16. hxg3 Nb6 17. Bb3 Qf6 18. Re5 Bg4 19. Qd3 Bxf3 20. gx£3 Rad8 21. Rael Rd7 22. Kg2 g6 23. Qe3 Nd5 24. Qh6 Nc7
25. Rhl Qg7 26. Qh4 a5 27. Rhel a4 28. Bxa4 Ne6 29. d5 Rxd5 30. Rxd5 cxd5 31. Bb3 Qxb2 32. Bxd5 Qd2 33. Rhl h5 34. Bxe6 fxe6 35. Qe4 Rf6 36. Qe5 Kg7 37. Rbl Qd5 38. Qxd5 exd5 39. Rxb7+ Kh6 40. Rb4 Rc6 41. a4 Rc3 42. Rd4 Ra3 43. g4 g5 44. Rb4 h4 45. Rd4 Kg6 46. Rxd5 Rxa4 47. Rf5 Rf4 48. Re5 Kf6 49. Re4 Kg6 50. Rxf4 ı/2-1/2
Gelfand-Adams 2.Tur
1. d4 d6 2. e4 Nf6 3. f3 e5 4. d5 Be7 5. Be3 0-0 6. Bd3 c6 7. c4 b5 8. Nc3z bxc4 9. Bxc4 Bb7 10. Qb3 Qc7 11. Nge2 Nbd7 12. Rel Rfb8 13. dxc6 Bxc6 14. Bxf7+ Kf8 15. Qc4 Rxb2 16. Bd5 Nc5 17. 0-0 Rab8 18. a3 Bxd5 19. Nxd5 Nxd5 20. exd5 Qa5 21. f4 e4 22. Bd4 R2b3 23. Ng3 Rxa3 24. Nf5 g6 25. Nxe7 Kxe7 26. Qe2 Qa4 27. Bxc5 dxc5 28. Rcdl Kd8 29. d6 Rb7 30. f5 Rd3 31. Rxd3 exd3 32. Qf3 Qd4+ 33. Khl Rb8 34. fxg6 Qxd6 35. g7 Qg6 36. Qf8+ Kc7 37. Qxc5+ Kd7 38. Qxa7+ 1-0 Karpov-Lautier 2.Tur
1. d4 d5 2. c4 c6 3. Nc3 Nf6 4. e3 e6 5. Nf3 Nbd7 6. Bd3 dxc4 7. Bxc4 b5 8. Bd3 a6 9. e4 c5 10. d5 Qc7 11. 0-0 c4 12. dxe6 fxe6 13. Bc2 Bc5 14. Qe2 Ne5 15. Nxe5 Qxe5 16. Khl O-O 17. f4 Qh5 18. Qxh5 Nxh5 19. e5 Bd4 20. Be4 Ra7 21. g4 Nxf4 22. Rxf4 Raf7 23. Ne2 Bxb2 24. Rxf7 Bxal 25. Rxf8+ Kxf8 26. Ba3+ Kf7
27. Bd6 g5 28. Kg2 h6 29. Kf3 a5 30. Ke3 b4 31. Kd2 b3 32. a4 Bd7 33. Nc3 Bxc3+ 34. Kxc3 Bxa4 35. Bc7 b2 36. Kxb2 Bdl 37. Bxa5 Bxg4 38. Kc3 Be2 39. Kd4 Bfl 40. Bf3 Bd3 41. Bh5+ Bg6 42. Be2 1-0
♦8763 «’AV84 O A872 *A
ADVT5 AA2
^DT752 K ^93
❖ 65 B D ^ RV94
*V4 G *DT985
*R94 ®R6 ODT3 ♦R7632
göre Doğunun elinde ^5’liden büyük tek marka olabilir, dekla-ran yerden küçük verince o marka da (9’lu) gözüktü. Deklaran ♦A’a gitti ve küçük 0 oynayıp elden S’T’lu ile kazandı; şimdi ince empas yaparak ^8’liye gitti ve yerden bir daha çevirdi. Doğu
Adams-Polgar 3.Tur
1. d4 Nf6 2. c4 g6 3. Nc3 d5 4. Nf3 Bg7 5. Qb3 dxc4 6. Qxc4 0-0 7. e4 a6 8. e5 Nfd7 9. Be3 Nb6 10. Qc5 Be6 11. Ng5 Bf5 12. Be2 Kh8 13. g4 Bc8 14. O-0-0 f6 15. Nge4 f5 16. gxf5 Bxf5 17. h4 N8d7 18. Qa3 Nd5 19. Ng5 N7b6 20. h5 Nxe3 21. fxe3 Bh6 22. Nce4 Qd7 23. hxg6 Qc6+ 24. Kd2 Qxg6 25. Rdgl Rad8 26. e6 Rxd4+ 27. exd4 Bxe4 28. Rxh6 Qxh6 29. Qe3 1-0 Polgar-Leko 4.Tur
1. e4 c5 2. ND d6 3. d4 cxd4 4. Nxd4 Nc6 5. c4 Qb6 6. Nb3 Nf6 7. Nc3 e6 8. Be3 Qd8 9. Be2 Be7 10. 0-0 0-0 11. f4 b6 12. Bf3 Bb7 13. Qe2 Rc8 14. Racl Rc7 15. Rfdl Qa8 16. Bf2 Rd8 17. g4 Ne8 18. h4 g6 19. g5 Ng7 20. Rd2 Rcd7 21. Bg4 Qb8 22. Bg3 Bf8 23. Kh2 Re7 24. Qf2 Ree8 25. Rcdl Ba6
26. Nb5 Bb7 27. Nc3 Ba6 28. Nd4 Nxd4 29. Qxd4 Bb7 30. Qf2 Qc7 31. b3 Bc6 32. f5 exf5 33. exf5 Nxf5 34. Bxf5 gxf5 35. Nd5 Bxd5 36. Rxd5 Re4 37. Rld2 Rde8 38. Qxf5 Re2+ 39. Kh3 Rxd2 40. Rxd2 Re3 41. Kg2 Qe7 42. Rf2 Bg7 43. Qc8+ Bf8 44. Qg4 Qb7+
45. Kh2 Re6 46. Rf6 Re3 47. Rf2 Re6
48. Re2 Rxe2+ 49. Qxe2 Qe6 50. a4 Qc5 51. Qd3 Qc6 52. Bf4 Qe8 53. Qe3 Qd7 54. Kg3 Qf5 55. Qf3 Be7 56. Bd2 Qbl 57. Qe3 Kf8 58. Bb4 Qdl 59. 0*3 Qgl+ 60. Kh3 Ke8 61. Qa8+ Kd7 62. Qxa7+ Ke6 63. Qa8 Qfl+ 64. Kg3 Qgl+ 65. Qg2 Qxg2+ 66. Kxg2 f6 67. Bd2 d5 68. Kf3 dxc4 69. bxc4 fxg5 70. Bxg5 Bd6 71. Be3 Bc7 72. Kg4 Bd8 73. Bd4 Bc7 74. h5 Bd8 75. Kf4 Bc7+ 76. Kg5 Kf7 77. Kf5 Bd8 78. Be3 Bc7 79. Bf4 Bd8 80. Bg3 Be7 81. Bf2 Bd8 82. Ke5 1-0
Lautier-Gelfand 5.Tur
1. e4 c6 2. d4 d5 3. Nc3 dxe4 4. Nxe4 Nd7 5. Bc4 Ngf6 6. Ng5 e6 7. Qe2 Nb6 8. Bd3 h6 9. N5f3 c5 10. Ne5 cxd4 11. Bd2 Bd6 12. NgB Nbd7 13. 0-0-0 0-0 14. Nxd7 Bxd7 15. Nxd4 Qc7 16. g3 Rac8 17. c3 a6 18. f4 b5 19. Kbl Rfd8 20. Rhel Bc5 21. Nf3 Ng4 22. Rfl Bc6 23. Nd4 Bxd4 24. cxd4 Nf6 25. Bc3 Bd5 26. f5 Re8 27. Qd2 exf5 28. Ba5 Qb7 29. Bxf5 Be4+ 30. Bxe4 Qxe4+ 31. Qd3 Nd5 32. a3 Qxd3+ 33. Rxd3 g6 34. Rf2 f6 35. Bb4 Kf7 36. Bc5 Rel+ 37. Ka2 Rce8 38. a4 R8e3 39. Rxe3 Rxe3 40. axb5 axb5 41.
O R’sı ile löveyi kazanıp, AA, A oynayınca da oyun sonunda A ile eli Batıya verip fs? ’den yatırarak (yani toplam dört V lövesi alarak) 3SA’yu yaptı.
Geçen Sayıdan
ARDVT8 K A7642
^ARV g J-) ^873
«•DT4 ,, «R92
*AR U *DT9
Batı tarafından 44, atak; AA (Güney 4* defos eder) ve A4’İü ile devam (Güney yine * defos eder). Nasıl oynamalı?
Kozları temizledikten ve «fcA, R’yı çektikten sonra ‘ T’lu oynarsanız kontratın batarı kalmıyor.
Kbl h5 42. Kcî ü +.1 r-‘- ?:ı- ” Re2 Rxh4 45. Kdl £~ —- V;’. KE” -Kfl Kf5 48. Kgl Re4 4- RzZ i; : ’ b4 Ke4 51. Ra2 g4 52. Rbl Nfi = ■ ^ Re2 54. Rfl Nd5 55. Rf2 Rxi->-t
i5 57.Ke2 f4 58. Kf2 Kd359.
60. Ke2 Nc3+ 61. Kfl Ke3 C-l Van Wely-Karpov ö.Tur
1. e4 c5 2. NB d6 3. d4 . Nxd4 Nf6 5. Nc3 a6 6. Be2 eî ‘
Be7 8. 0-0 0-0 9. Be3 Ben : . Nbd7 11. a4 Rc8 12. a5 Qc7 1? ;.’ Nc5 14. Nxc5 dxc5 15. Bf3 Ri;’ Qel Rxdl 17. Qxdl c4 18. Bb^
Qel Qb4 20. Qbl h6 21. h3 Be3 Qc6 23. Ra4 Rd8 24. Qel Rz~ Bb6 Bc5 26. Bxc5 Qxc5 27. Xc5 – –
28. exd5 e4 29. Be2 c3 30. Qxc? t 31. bxc3 Rxd5 32. Rb4 Rxa5 35 ?-Ral+ 34. Kh2 Ra2 35. Bc4 Rxt: Rxf7 1/2-1/2
Lautier-Piket 7 .Tur
1. d4 Nf6 2. c4 e6 3. Nf3 bt? -Ba6 5. b3 Bb7 6. Bg2 Bb4+ 7. Bd: . 0-0 0-0 9. Nc3 d6 10. Qc2 Nbc” Rfel Bxc3 12. Bxc3 Be4 13. Qb; . 14. Bfl c5 15. Radl Rd8 16. Bh3 ^ Nd2 axb3 18. axb3 Bb7 19. d5 e5 2. Nf8 21. f4 N6d7 22. Nf3 Re8 23. R:
24. Qc2 Qc7 25. Rai Rxal 26. K Kf7 27. Nh4 Ra8 28. Rfl Bc8 29. ■ g6 30. Qf2 Qd8 31. ND Qe7 32. N Kg7 33. Ne6+ Kg8 34. Nc7 Ra7 Nb5 Ra8 36. fxe5 dxe5 37. d6 QT Nc7 Rb8 39. Nd5 Kg7 40. Bxd7 N
41. Nxf6 Qxf6 42. Qxf6+ Nxffe Bxe5 Bh3 44. Bxf6+ Kf7 45. Rf4
46.Be7 Ra8 47. Rh4 Ral+ 48. Kf2 i
49. Ke3 Bfl 50. Rxh7 Rb2 51. d7 i 52. Kf4 Kxd7 53. Bxc5+ Kc6 54. g5+ 55. Kf3 Rb2 56. Rh6+ Kd7 57. Rxb3 58. Bxb6 Bxc4 59. Kxg5 i 60. Kf4 Bd3 61. e5 Bc4 62. Rd6-
63. h4 Be6 64. h5 Rb2 65. Be3 i 66. Rd4 1-0
Gelfand-Shirov 8.Tur
1. c4 e5 2. Nc3 Nc6 3. Nf3 N g3 d5 5. cxd5 Nxd5 6. Bg2 Nb6 Be7 8. b4 Be6 9. Rbl f6 10. d3 0-1 Ne4 Ba2 12. Rb2 Bd5 13. Nc5 a5 1 Bf7 15. Qc2 axb4 16. axb4 Nxb Rxb4 Nd7 18. d4 exd4 19. Rxd4 20. Rxd7 Bxf2+ 21. Qxf2 Qxd7 2 O Ra2 23. Qc5 Re8 24. Nh4 Qd Qxc7 Bc4 26. Rel Re2 27. Qa5 l Qb4 R8xe4 29. Nf3 Bd5 0-1
Defans #T’luyu bağışte
❖ ’dan iki löve yaparak; bağ mazsa, ♦D’ ına ulaşarak on löı gelirsiniz. [Bu el Victor t lo’nun / Challenge You adlı 1 bından alınmıştır.]
Amatörler için
AAR765 K *D98
<»A65 R r> *DV32
ORT84 n OV92
*3 +V74
Güney İSA (15-17 puan tıktan sonra Batı tarafından ulaştınız. Atak: *A, küçük < devam; elden kup, (kalan onörlerin Güneyde olduğum sayarak) nasıl oynamalı?
Satranç