Neden ve Nasıl Karşılaştırıyoruz

Vive la difference! Yaşasın farklılık!… Farklılık yasaklansaydı sayılar olmazdı, matematik olmazdı; mekân ve zaman olmaz, evren olmazdı. Belki “hiç” bile olmazdı. Evreni oluşturan herhangi
temeline inmek, karşılaştırmanın temel elemanlarını ortaya koymakta yarar var. Özellikle bilimsel düşüncede ve araştırmada kaçınılmaz derecede ihtiyaç duyulan karşılaştırmaların çelişkisiz, yanılgı-
karşılaştırma, nicel olabilmesi için bir veya bir dizi basit aritmetik karşılaştırmayı indirgenebilmelidir. Bu olmazsa, kaklaştırma kanıtlanabilecek, yani şüphe götürmez bir şekilde savunulabilecek (d-
Neden ve Nasıl Karşılaştırıyoruz?
yapılması gereken alternatifler sürekli olarak karşılaştırılıyor; seçim bu karşılaştırmanın sonucuna göre yönleniyor. Alışveriş yapmak, bir sanat eserinden zevk almak \ eya almamak, ileri sürülen bir iddiayı değerlendirmek, odanın yeni rengine karar vermek, başkalarını etkilemek… gibi akla gelebilecek hemen her eylemde, bilinç üstü veya bilinç altı, zihinsel bir farklılık arama ve karşılaştırma olgusu yer alır. Bu kadar dağınık ve po-pülasyonu yüksek bir alanda işlerin nasıl yürüdüğünü, daha doğrusu, yürümesi gerektiğini anlayabilmek için, konunun
Karşılaştırmanın Temeli
“olgu” her ikisinin de sahip oldukları veya olabilecekleri varsayılan ortak bir “özellik” açısından karşılaştırılır. Ortak özelliğin her iki olguda aynı ölçüde (miktarda veya yoğunlukta) bulunup bulunmadığı, aynı değilse hangisinde daha çok (yüksek), veya daha az (düşük) olduğu araştırılır. Herhangi basit veya karmaşık, nesnel, zihinsel veya duygusal bir
de edilmesiyle son bulur. Eşitsizlik h^| linde ise bir “yön” konusu ortaya çılw” İki taraftan hangisi sözkonusu özelliS-l ötekinden daha fazla (veya, ters yönjil daha az) sahiptir? Bu sorunun cevapla” dırılması, pek çok durumda karşılaşr’ manın amacı için yeterlidir. Meşe ; b’nin a’dan daha ucuz olduğu sonut-J b’nin satın alınmasına karar vermeye y;-
lerini tesbit etmek, İkincisi bu iki özellisi değerinin aynı olup olmadığını sormak-] tır. Eğer değerler eşitse karşılaştırma, s \ konusu özellik açısından her iki tara*’

 

rızan daha ayrıntılı bir kar-_ lerek duyulur: b, a’dan ne .^ızdur? Bu da yetmeyebilir; „üz yapan fark ne kadar Neye göre önemlidir, veya r. “çok ucuz” veya “beda–relendirilebilir mi? Pek çok -..i gelebilecek bu ve benzeri
«varlılık verilmesi iste-. ırada, üzerinde anlaşıl-“i>re\i yüklenecek bazı değerlerin de ortaya çık-

* ektir (Mesela, b’nin fiyatı _r_s:ntlan azsa çok ucuz diki. Karşılaştırmanın kalite -^selten bu gibi ayrıntıları ile–Ji karşılaştırmayı, ilk iki adı-; sonuçlanmayan dört örnek

– rmeye çalışalım.

•:.ien daha büyük (çok).

bir kilodan daha ağır. 3urak’tan daha zeki.

Sonatı, Kreutzer Sonatı’ndan

ilerde “daha”nm görevi eşit-■.rsî vurgulamak; nicelik içer-r kullanılmasa da olabilir. An-erine “oldukça”, “çok” “ola-:3i sözcükler kullanıldığı tak-rıki farkın gittikçe artan ölçü-olduğu anlaşılır (Bu arada, “:n hiç bir zaman “çok” veya ırJamına gelmediğini, “ihmal .¿k kadar” anlamında kıılla–ektiğini belirtelim). İki, üç .1?. bir kilo (kütlesi 1 kg olan *:rşey), Ayşe, Burak ve So-.Jardır. Karşılaştırılan ortak ,’k örnekte sayıların değeri ;:rlık (daha doğrusu kütle), :;kâ, sonuncu örnekte ise gü-_-:ik) olduğu açık. Yukarıdaki ırabilmek için, önce özellik-.“si bir şekilde ölçülmüş ol-::r. Yerilen sayıların değerinde ışmıştır: 2 ve 3, Diyelim ki ta-

10 X (Newton); bir kilonunki ve Burak’ın zekâ ölçüleri M). O halde ilk üç karşılaştır-_-v3 eşitsizliklere indirgenir.

” X > 9,8 N veya (b) 10 > 9,8 M)

.. özellik değerinin saptanma-va çıkabilecek hataları göz iyoruz; verilen veya bulunan doğru kabul ediyoruz. Aksi
halde, ölçme aleti, sistemi ve diğer faktörlerden kaynaklanabilecek farklı sayısal değerler başka sonuçlara da götürebilirdi. Dördüncü örneğin nicel bir aritmetik eşitsizliğe dönüştürülmemiş olması, bunun en çaprıcı kanıtı sayılabilir. Sadece güzellik denilen özelliğin, bir müzik eserinde sayısal olarak (henüz) değerlendirilemez olmasından değil, bu yapılabilse bile, sonucun kişiden kişiye değişebilmesi, bizi dördüncü karşılaştırmayı nicel olarak yapmaktan alıkoyuyor. Görünüş o ki, Bahar’ın Kreutzer’e üstünlüğünün (veya tersinin) bilimseli!) kanıtı pek kolay olmayacak.

İkinci örnekte (a) dan (b) ye geçişte, önce ağırlığın ortak birim Newton’la ifade edildiği ve sonra bundan yararlanarak eşitsizliğin iki yanından kaldırılınca (kısaltılınca), sadece rakamların kaldığı görülüyor. Bu bütün karşılaştırmalarda böyle. Diğer bir deyişle, bütün nicel karşılaştırmalar, sonunda boyutsuz iki sayı arasında aritmetik bir eşitlik/eşitsizlik şekline indirgenebilmeli. Yani a ile b ortak özelliğe, aynı birimle ölçülmüş ol-
mak şartıyla a birim ve b birim kadar sahipse, sonuç

a=b, a>b (b<a) ve a<b (b>a) dan biri olacaktır. Bu kalıba uydurulamayan karşılaştırmaların geçerliliği (eğer geçerli denilebiliyorsa!), özelliğin ancak mecazi veya sanatsaî anlamlar taşıyor almaş: ile mümkündür. Dolayısıyla, ancak o ölçülerde ve kendine özel doğruluk sınırlan içinde değerlendirilebilir. Mesela “Hava kurşun gibi (kadar) ağır…”. “Eşitler arasında daha eşit” ifadelerinde de karşılaştırma var gibi görünüyor, ama bunların nicel analizi düşünülemez bile… Ağırlık ve eşitlik, burada taşıdıkları varsayılan anlamda birer özellik iseler, bunlar rakamla ifade edilecek türden değil.
Ayrıntılar
Eşitsizlik (aynı olmama) durumunda, b<a veya a>b şeklinde kabaca sonuçlanan karşılaştırmanın, daha çok duyarlı ve ek yeni bilgiler vermek üzere detaylandırılması gerekebilir. Önce, her iki sonuçta a’nın b’den “ne kadar” büyük veya küçük olduğu yani farkı sorgulanabilir: a-b veya b-a. Bu “mutlak fark”tır. Üç, ikiden 1 kadar daha büyüktür. Taş, bir kilodan 0.2 N daha ağırdır. Ayşe, Burak’tan 15 IQ indeksi kadar daha zekidir. Mutlak farkları elde ettikten sonra, bunların “ne kadar önemli” oldukları sorusuna sıra gelir. Önem neye veya hangi referansa göre olacaktır? Bunu önceden kararlaştırılmış olması, değilse karşılaştırmanın sonucu ifade edilirken belirtilmesi gerekir. a’mı, b’mi, yoksa farklı bir c’midir referans? Sonra da mutlak farkın, seçilen referansın özellik değerine göre bağıl (göreceli) anlamı, yani oranı bulunur. Mutlak fark, özellik değerleri gibi boyutlu bir büyüklük iken, bağıl fark her zaman bovutsuz bir savıdır, t e i

den, üçe göre 1/3= % 33, ikiye göre 1/2= % 50 daha büyüktür. Taş, bir kilodan, taşa göre 0,2/10= % 2, bir kiloya göre 0,2/9,8= % 2,04 daha ağırdır. İkinci örnekte sonuçların yakın olması, bağıl farkların küçük olmasından ileri geliyor. Bu da, taşın ağırlığının 10 N yerine 9,8 N (veya bir kilonun ağırlığının 9,8 N yerine 10 N) kabul edilip edilemeyeceği sorusunu akla getirir. Bağıl fark yeteri kadar küçükse, a ve b’nin yaklaşık olarak eşit olduğu şöyle ifade edilir: a ^b (veya a= b)

Öte yandan, üç ve iki yaklaşık olarak bile eşit kabul edilemez, çünkü bağıl farkı (% 33 veya % 50) yeterince küçük değildir. Ama başka (büyük) bir referansa, mesela 100 e göre bağıl fark % 1 gibi küçük olduğu için, 3 ve 2 başka bir düzeyde (başka bir anlamda), “eşit” sayılabilir; “3 ve 2 aynı mertebedendir” denebilir.

Mertebe: Büyüklük (Küçüklük) Mertebesi

Yukarıda, yaklaşık eşitliğin gerekçesi olarak kullanılan ve bağıl farkın yeteri kadar küçük olması özelliğindeki belirsizliği gidermek gerekiyor. Niçin % 2 yeterince küçükken % 33 değil? Bunun için önce “mertebe” kavramına ihtiyaç var. Karşılaştırmaya esas aldığımız a ve b gibi değerler genellikle pozitif sayılardır. Ortak özelliğin ölçümü için kullandığımız ortak birimin büyük veya küçük olmasına göre, a ve b değerleri ve aralarındaki fark karşımıza küçük veya büyük sayılar olarak çıkabilir. Ama oranlar değişmez. O halde, “Ne kadar büyük (küçük)?” sorusuna birimlerden arınmış, değişmez bir yanıt isteniyorsa bu, karşılaştırılan büyüklüklerin mutlak farkını değil, onların oranını kullanarak elde edilmelidir. Burada “üç, ikinin 1.5 katıdır” gibi sadece oran belirtilebilir; veya mertebe kavramından yararlanılarak başka bir ölçüt de ortaya konabilir.
Şimdi, logaritma bilgimizi hatırlamak veya tazelemek zorundayız. Bütün pozitif sayılar “üstel” denilen bir gösterimle, diğer bir deyişle, bir “taban” sayısını belirli bir “kuvvet”e yükselterek elde edilebilir. 23, İO0’90 ve e2’08, 8 in 2,

10 ve e (=2,718…, doğal sayı) tabanlarına göre farklı üstel gösterimleridir. 3,

0,90 ve 2,08 kuvvetleri ise, 8 in 2, 10 ve e tabanlarına göre logaritmasından başka birşey değildir. log28=3; log8 (=log108)=0,90; ln8 (= loge8)=2,08.

Artık mertebeyi tanımlayabiliriz. Ancak, genel bir tanım yerine, yaygın olarak kullanılan ve 10 tabanını referans alan tanım bize yetecektir. Herhangi bir a sayısının (10 tabanına göre, yani desi-mal) mertebesi m, onun logaritmasıdır: m=log a veya a=10m. Buna göre, 8’in mertebesi 0,9, 100 un mertebesi 2 dir. O halde, 8’in 12,3 katı olan 100, 8’den logl2,5= 1,1 mertebe daha büyüktür. İki sayının çarpımının mertebesi, sayıların mertebelerinin toplamıdır. 800’ün mertebesinin 2,9 olduğunu kolayca ispat edebilirsiniz. İki sayının oranı için de mertebelerin farkını almak gerekeceği açık: 100/8=12,5 in mertebesi 2-0,9= 1,1. Peki, ya 1 in mertebesi? l=a/a olduğuna göre, mertebesi de m-m- 0 (veya logl=0), evet, “sıfır”. Tabii, mertebe negatif bir sayı da olabilir. Bütün karşılaştırmaların sonucu böylece, mutlak fark

Eşitlik geçişim/i, mertebe geçişimli değildir. Kırmızı top turuncuya eşitse, turuncu sarıya eşitse, kırmızı top aynı zamanda sarıya da eşittir. Beyaz top gri ile gri top siyahla aynı mertebeden olabilir; ama bu beyaz topun mertebesinin siyahla aynı olmasını gerektirmez.
a-b, oran a/b (veya b/a) veya oranın mertebesi p=log (a/b)= m-n ile ifade edileb-lir. Mertebe kullanımının bir faydası, s— nucu çok fazla ondalık sayı kullanmada ifade etme imkânı sağlamasıdır, “a, b’n r 100 000 katı yerine, a, b’den 5 mertebe büyük” (veya b, a’dan 5 mertebe küçük demek yeter. Bu şekilde elde edecet-miz sonucun, a ve b değerlerini tayin çimekte kullandığımız ortak birimden bağımsız olacağını tekrar hatırlamakta yi-rar var. İster km ister mm ile ölçelir-Dünya’nın çap itibariyle portakaldan et az 8 mertebe, dolayısiyle hacim bak-mmdan 8×3=24 mertebe (niçin 8+3=1! değil?) büyük olduğunu görürüz. Fr haşhaş tohumu da portakaldan 1,5–mertebe daha küçüktür. Eğer görmed: şeniz, haşhaş tohumunu küçük bir hesaptan sonra gözünüzde canlandırabi. siniz.

1 ve 3 Aynı Mertebeden

Çoğu zaman, karşılaştırılan büyti lüklerin gerçek değerleri yeterince dri ru olarak bilinmeyebilir. Yine de a ve arasındaki mertebe farkının kaba bir c; ğeri istenir: a, b’den çok mu biiyüke ” yoksa ikisi aşağı yukarı aynı büyüklük’ midir? Mesela portakalla elmanın, er olmayabileceklerini bildiğimiz hale* aynı mertebeden olduklarını kabul eü. bilir miyiz? Ya elmayla yumurta, ce”1 fındık. Burada karar vermek, görüşün- ’ ze bağlı olarak bize kalıyor. Yine de eŞ-kabaca, portakalla elmanın aynı, ama -mayla fındığın farklı mertebeden büy oldukları gibi bir düşünce çoğu mı. doğru görünüyorsa, mertebeler arasın ki farkın ilkinde sıfıra daha yakın, ¡kirde sıfırdan hayli uzak, bire (veya -1 daha yakın olduğunun bir şekilde, : kındayız demektir. Diğer bir dey:? a/b’nin mertebesini en yakın tam sav: yuvarlıyoruz. Mesela portakal-elma y için p=log(70 mm/60 mm)= 0,07 sı: çok yakın; elma-fındık çifti için *

tir” ¡; fc1′”-
Sf:”

«i. –

’1
i.:”

:ır-
a-b
«1
t = –
1,25 s
; aeriz. Bu çaplar arasındaki mutlak
70-60

70
) = log 0,14 = -0,85
:~:n»= 0,6 bire – Bu kritere gö-î portakalın ay-■:ien olduklarını :isa) kabul et-;e:ekiyor: log n:m)= -0,45 yani _ * – “-akın.

büyüklükle-aklaşık 1/3 ile 3 mertebelerin : :;n küçük veya 3’ten büyük ise, ; .Janu kabul ediyoruz demektir > log (1/3) =-0,5). Tabii bu yu-_ yiîğımız “desimal”, yani 10 ta-jnan mertebe için doğru. Be–¿niz, başka bir baza göre kendi : – •koyabilirsiniz, ama yerleş-

– anlayış yukardaki gibi.

– r.ertebeden olduğuna karar ve–Syüklüğün bu özelliği

a~b

gösterilir. Böyle bir ifadeden a

– eşit olup olmadığı, değilse han-.vik olduğu çıkartılamaz; ama

■ ,;;ki oranın birden çok büyük ve-■uçük olamayacağı anlaşılır. Kri-

¿öre meselâ 4, l’den “çok”bü-•.2 “çok” küçüktür; ama 3 ile 2 :1e 1 aynı mertebedendir: 3-1.

– “is bir yakınlık gösteren

a sb

-e a ve b’nin sadece yukarıdaki . ‘i kriterini sağlayacak kadar ya-

■ ıkk kalmayıp, aralarındaki bağıl V!;k küçük” (sıfıra çok yakın, bir-

olduğu anlamım taşır:
yandan, eğer a ve b aynı mer-sayılamayacak derecede farklı

– yılarındaki ilişki bazan “çok bü-î “çok küçük” sembolleri yardımı

.edilir:

(p>l)

(p<-l)

-.¿karıda açıklandığı gibi a/b’nin -asıdır.)

: nakal ve elma örneğinde buldu-

mrr . ■

mm ~ 60 mm

– n:n. yaklaşık eşit şeklinde de yazı-lıc .alamayacağını görelim. Birimleri
s 0 veya
a -b
farkın portakal çapma göre 0,85 mertebesinde daha küçük olduğunu gösterir. Pratikte, mutlak farkın ihmal edilebilmesi için esas değerlerden hiç değilse bir hatta iki mertebe küçük olması beklenir. O halde 70 mm ^60 mm yazmaya pek hakkımız yok. Fakat çapı 71 mm olan bir portakal için log[(71-70V/70]= -1.85 bularak, 71 mm =70 mm diyebiliriz.

Kesinlik, Yaklaşıklık

Pek çok zaman açıkça kullanmasak, belirtmesek de, yaklaşık eşitlik hemen hemen bütün uygulamalarda karşımıza çıkan bir kavram. Uç portakaldan ikisini bana verirseniz size “kesinlikle” bir portakal kalır. Ama bendeki portakalın çapını sorarsanız ne diyeceğim? Bir kere portakalın çapı olarak neyi ölçeceğim? Diyelim ki karşıdan karşıya ölçülebilecek en büyük uzaklık portakalın çapıdır. Bu 70 mm midir? Yoksa daha hassas ölçerek bulunacak 70,2 mm, 70,18725 mm veya çok daha fazla ondalık haneli bir değer midir? işte şimdi yaklaşık eşitliğin gölgesine sığınabiliriz:

Portakalın çapı =70 mm.

Yaklaşıklık işaretini, genellikle alıştığımız gibi, kullanmasak bile, söylemek istediğimiz budur.

Uygulamalarda hemen hemen hiçbir fiziksel büyüklük kesin bir değerle veri-
lemez, ancak çok büyük duyarlıkla saptanmış olabilir. Bu bakımdan, fiziksel içerikli bir sayısal denklemde eşit işareti genellikle yaklaşık eşitlik anlamında alınmalıdır. Bir özelliğin değerini sayısal olarak verirken de bu yaklaşıklık göz önüne alınmalıdır. Evrensel katsayıların, deneysel sonuçların, ölçümlerin, hesaplanan değerlerin gösterilmesinde kesin değerden olan farklar sadece hata payı olarak belirtilmekle kalmaz; aralarındaki etkileşimlere bağlı olarak anlamsız olduğu gösterilebilecek aşırılıklar varsa bunlar kîfpıfarak tutarlı bir şekside verilir. Or.ss elarak. Ay’dan sfecdlesbirsinyaEn Îteîyj vaklaşîk “e kadar zaman s >ıtıa alaja^az:-n! hesaplarken milyarda b:r haıa :1e b J:-nen. 9 hanel: ışik h:a yerine. ç“k b’ :ren ve sadece binde iki hata içeren 3 mi J 1,1 km/s değerini kullanmak yeıer. Çünkü, bir kere, zaten değişken olan Ay-Dünya uzaklığını binde ikiden daha az hata lîe vermek burada gereksiz. Üstelik, diyelim ki çok titiz olmakla öğünebileceğimiz (!) bir yoldan süreyi 1,2532870 saniye olarak elde ettik. Oysa sürenin 1,2 s (hatta 1 s) mertebesinde olduğunu bilmemiz yetecekti. Buna rağmen, yine de sık sık şuna benzer gereksiz olduğu kadar tutarsız ifadelerle (bazı bilimsel (!) raporlar dahil olmak üzere) karşılaşmamız mümkün

375 986,1 km
idi. (Son ifadede niçin iki yerde = kullandığımızı açıklayabilir misiniz?) Yapılan çalışmalarda, özellikle mühendislikte hareket noktası neyin ne kadar doğrulukta istendiği olmalıdır. Buna dayanarak, hangi büyüklüklerin en az hangi duyarlıkla bilinmesi gerektiği bulunur. Bütün bunlar tutarlı bir şekilde sağlansa bile, pek çok mühendislik probleminde elde edilen sonuç hâlâ % 10-30 hatta dana önemli bir hata içerebilir. Hata analizi ise nicel içeriği olan ciddi araştırma ve uygulamaların önemli bir parçasidsr.
300 000 km/s Aslında yapılması beklenen

 

Pennsylvania Eyalet Üniversite-si’nden Abhay Ashtekar, işinin başına oturduğunda, ofisinde fazla kalmıyor. Biraz matematik, onu uzun bir geziye alıp götürüyor. Gezinin nereye olduğu tam olarak belli değil; çünkü bu tanıdığımız bir yer olmadığı gibi, bölgenin tam olarak neresi olduğu da belirsiz. Matematiğin bu birkaç çizgisi, Ashte-kar’ı uzay-zamanın ötesine götürüyor. Aslında o, evreni tamamen terkediyor.

Bir teorik fizikçi olan Ashtekar, bu üç boyutlu dünyadan ve zamandan sadece eğlence için ayrılmıyor. Ashtekar, modern fiziğin bilmecelerinden birisi olan, Einstein’ın kütleçekimi teorisinin, kuantum teorisiyle nasıl “evlendi-rileceği” sorusuna yanıtın ancak bu bölgenin dışına çıkılarak bulunabileceğine inanan küçük bir grup teorisyen-den birisi. Ashtekar ve arkadaşlarının, uzay-zamanın ötesinden yaptıkları keşifler. teorik fiziğin büyük isimlerinin dikkatini çekiyor. Oxford l’niversite-si’nden konunun baş mimarlarından

ne yapılan yaklaşımlar arasında, Ashte-kar’ınkinin en etkili olduğunu söylüyor. Londra’daki Imperial College’dan Chris Isham ise. son gelişmeleri “çok

Bu gelişmeler uzay, zaman ve küt-leçekiminin doğasıyla ilgili görüşleri ve
uzun zamandır merak konusu olan küt-leçekiminin kuantum teorisi hakkında genişleyen bakış ve fikirleri içeriyor. En iyisi de, bu gelişmelerin, süpersicim teorisinin kalbindeki can sıkıcı bir paradokstan kaçınan bir stratejiyle elde ediliyor olması. Bu yaklaşım, hala kuantum ve kütleçekimi teorilerini birleştirmek amacıyla düzenlenen bir “yarışta” en önde koşuyor.