çokterimli

çokterimli, katliterIm ya da polînom olarak
da bilinir, n sayıda değişken için,
c, •••<• + c2 • ■ • *? + • • •
biçimindeki oranlı integral fonksiyon. Bu
ifadedeki her terim için c,- katsayı, a,-, bi, vb
sırasıyla x u *2 vb’nin derecesidir ve her
terimin toplam derecesi a, + fr/+… + r,’dir.
Katsayısı sıfır olmayan herhangi bir terimin
a:,’deki en yüksek derecesi, çokterimlinin
Xi’d e k i derecesi ve katsayısı sıfıra eşitlenmeyen
herhangi bir terimin en yüksek
toplam derecesi, çokterimlinin derecesidir.
Her biri birer sabit olan c,- katsayıları,
gerçek ya da karmaşık olabilir.
Tüm terimleri aynı dereceden olan çokterimliler,
homojen olarak tanımlanır. Eğer
bunlarda bir, iki, üç vb değişken bulunuyorsa,
sırasıyla birterimli, ikiterimli, üçterimli
vb olarak adlandmlır. Eğer dereceleri 1,2,3
vb ise, sırasıyla doğrusal, kuvadrik, kübik
vb biçimler ya da denklemler halindedir.
En genel durum, tek değişkenli n’inci
dereceden çokterimlidir ve
a0x” + at x”~ 1 -I—— h an- 1 x + a„
biçiminde gösterilir. Bu tür bir çokterimli
için, temel cebir kuramına göre, yalnızca
tek bir sabitler kümesi (x ıx 2,…jcn vardır ve
(x – xi)(x – x2)(x – x 3) ■ ■ ■ (x – x„) = 0
Sabitler çokterimlinin kökleridir. Bunlar
gerçek ya da karmaşık olabilir, ama hepsinin
değişik olması koşulu yoktur. Eğer k Sn
kökleri birbirine eşitse, kök k- katlıdır
denir. Aşağıdaki bağıntılar kökler için geçerlidir:
Xj + x2 H—— 1- xn = —aı/a0;
*1*2 + *1*3 H—— 1- *»-ı*n – a2la0\
* 1 * 2 X 3 + + * n – 2 * n — 1 * n = – a 3/a0; • • •
*1 *2*3 x„ = ( – \ ) na ja 0
Doğrusal, kuvadrik, kübik ve bikuvadrik ya
da kuvartik denklemlerin kökleri, katsayıları
içeren cebirsel ifadelerin terimleriyle
elde edilebilir, ama dördüncü dereceden
daha yüksek çokterimliler bu yöntemle
çözülemez. Çeşitli derecelerden denklemlerin
köklerinin yaklaşık değerleri, grafik ya
da sayısal yöntemlerle belirlenebilir,
n’inci sıradan tek değişkenli bir çokterimlide,
asıl denklemin köklerini önceden belirlenmiş
bir biçimde değiştirecek yeni bir
değişkenden yararlanmak gerekebilir. Bu
işleme değişken dönüşümü denir. Özgün x
değişkeninin dönüştürülmesine yönelik olasılıklar
şöyledir: (a) -x, tüm köklerin işaretleri
değiştirilir; (b) xlh, tüm kökler h
sabitiyle çarpılır; (c) l/x ve denklemin
xn ile çarpılması, yani kökler, özgün köklerin
tersidir; (d) x+h, artı işaret kullanılıyorsa
kökler h sabitinin miktarıyla azaltılır, ya da
eksi işaret kullanılıyorsa h’le çoğaltılır.
Diferansiyel denklemlerin çözümü çoğunlukla
çokterimlidir.