LİMİT

LİMİT; Aim. Grenze (f), Fr. Limite (f), İng. Limit.
Matematik analizde kullanılan temel bir kavram.
Euclid ve Archimedes tarafından eğrisel kenarlara
sâhip şekillerle ilgili olan teoremlerde kullanılmıştır.
Meselâ, dâireye, içine çizilecek çokgenlerle
yaklaşmak, limit kullanarak mümkündür.
Önce bir kare ve daha sonra sekizgen çizilerek
devam edilir. Her bir şekil bir öncekinden iki kat
fazla kenara sâhib olur. Böylece daireye, alan ve
çevre bakımından yaklaşmak mümkün olur. Eğer
pİ9 ilk çizilen karenin çevresi ise ve karenin bir kenarının
daire merkezine dik uzaklığa a! ile gösterilirse,
karenin alanı; (Pı/2) aj olur. İkinci şekil olan
düzgün sekizgende ise benzer şekilde çevre P2 ve
merkezin bir kenara olan dik uzaklığı a2 ile gösterilirse,
alanı (P2/2) a2 °^ur- böyle devam edilirse
n, çokgen için (Pn/2) an yazılır. Yani an dairenin
r yarıçapına yaklaştıkça, Pn çevresi de 2 p
r’ye yaklaşır. Böylece dairenin alanı olan (Pn/2) an,
giderek (2pr/2)r= pr2’ye yaklaşır.
Limit kavramı, çok önceleri kullanılmasına
rağmen sonra unutulmuş ve daha sonra Newton ile
Leibniz’in eserlerinde görülmüştür. Meselâ, diferansiyel
hesapta bir eğri (daire gibi) sonsuz küçük
uzunlukta sonsuz kenara sâhip bir çokgen olarak
kabul edilir. Limit kavramından ortaya çıkan diferansiyel
hesap, pekçok fizik probleminin kolayca
ele alınmasına sebep olmuştur. Tabii bu arada
bir takım yanıltıcı problem çözümlerine de
rastlanmıştır. Bunların çözümü daha sonra gelen
matematikçiler tarafından yapılmıştır.
Meselâ, bu problemlere bir misal için, bir eşkenar
üçgen düşünelim. Bu üçgenin kenarlarının
orta noktalarından yan kenarlara paralel çizelim.
Böylece ortaya çıkan iki eşkenar üçgende benzerişlemi tekrarlayalım. Her devrede (durumda) eşkenar
üçgenlerin yan kenarların toplamı, ilk eşkenar
üçgenin yan kenarları toplamına eşit olacaktır.
Ancak, bu işleme devam edilirse, eşkenar
üçgenlerle taban kenar arasında kalan alan sıfıra
yaklaşır. Böylece şu iddia edilebilir ki, taban kenarın
boyu yan kenarların toplamına eşittir. Ancak,
bunun yanlış olduğu meydandadır. Burada yanıltıcı
unsur, limit şekil ile buna yaklaşan şeklin
özelliklerinin aynı olmamasmdadır. Örnekte, taban
kenar düz doğru olduğu halde buna yaklaşan şekil
sonsuz sayıda köşelere sâhip bir kırık çizgidir.
Limitin aritmetik teorisi: Eğer a1? a2, a3… an,
… bir sayı dizisi ise bunun limitinin L olması için,
verilen ve istenildiği kadar küçük olan bir e (epsilon)
sayısına karşılık bir p sayısının, n>p ve lan-
L k e olmak üzere bulunabilmesidir. Meselâ:
, y â n i …. dizisinin L limiti açık
n+1 2 3 4
İ_
an = —
olarak l’dir Çünkü |an-L| = -n+a1- ) n+1
ifâdesinin
mutlak değeri verilen her pozitif e değerinden küçük
tutulacak şekilde n sayısı bulunabilir. Bu sonuç,
şeklinde yazılabilir. Diğer bir limit örneği, meşhur
a = (1+nJ> dizisidir. Bunun n—►¥ için limiti, matematik
analizde çok kullanılan e= 2,71828… sayısıdır.
Eğer f (x) bir gerçel (reel) fonksiyonsa, yâni her
lim (-JL_) = 1
n+1
gerçel (reel) x sayısına bir gerçel (reel) f(x) sayısı
karşı geliyorsa, x değişkeni a değerine yaklaştığı zaman,
f(x) de L sayısına yaklaşıyorsa f(x)in limiti
L’dir denir ve Lim f(x)= L yazılır.
x—^a