Y Ü Z E Y

Alm. (Ober-) Fläche (f), Fr. Surface (f), İng.
Surface. Cisimlerin uzay ile temas eden kısmı. İki
boyutludur. Bir insanın, bir ağacın, bir dağın yüzeyi gibi
karmaşık olanlan olduğu gibi, masanın üstü, top, soba
borusu, şeker külahı gibi geometrik olanlan da vardır.
Analitik geometri, kurallı yüzeylerin genel özelliklerini
ve denklemlerini inceler. Diferensiyel geometri
ise, yüzeyi nokta nokta inceler.
Yüzeyin Genel Denklemi: Dik koordinat sisteminde
bir yüzeyin genel denklemi, üç boyutlu uzayda,
F (x,y,z)=0
veya
Z= G (x,y)
şeklindedir. Yüzey denklemi polinom şeklinde ise yüzey
cebirsel olur. Birinci ve ikinci dereceden polinom şek-linde denkleme sahip olan yüzeyler, analitik geometrinin
temel konularını teşkil ederler.
Yüzeylerin bir de parametrik demdemleri vardır. U
ve V gibi iki parametriye bağlı olan yüzey denklemi
x~ f(u,v), y= g(u,v), z=h (u,v)
şeklindedir. U ve V parametrileri, açı veya uzunluktur.
(0,2 tt) aralığı, bütün reel sayılar veya bunların alt aralıklarında
değişirler.
Denklemi Birinci Dereceden Olan Yüzey (Düzlem):
a,b,c,d birer reel sayı olmak üzere denklemi
ax+by+cz+d= 0
şeklinde olan yüzeyler bir masanın yüzeyi gibi düzlem
denkleminin genel halidir. Buradaki a,b,c,d sayılarından
bir veya bir kaçının sıfır olmasına göre düzlemlerin
durumu değişir.
İrdeleme:
1- d=0 ise düzlem başlangıç noktasından geçer.
2- a=0 ise düzlem 0 eksenine paraleldir. Benzer
şekilde b=0 ise y eksenine ve c=0 ise düzlem “z” eksenine
paralel olur.
3- a=0, b=0 ise düzlem “ z” eksenine dik olur. Örnek
olarak x= 2 denklemi, üç boyutlu uzayda “x” ekseni
üzerinde apsisi 2 olan noktadan bu eksene çizilen dik
düzlemi gösterir.
4- a=b=d=0 ise, düzlem denklemi z=0 olur ki “xoy”
koordinat düzleminin kendisidir. Diğer koordinat düzlemleri
y =0 ve x=0’dır. Bu dört halden her birine birer
misal alınıp dik koordinat sisteminde gösterilebilir. Bu
şekillerde mevzuunun anlaşılması daha kolay olur.Denklemi İkinci Dereceden Olan Yüzeyler (Kuadrikler):
Silindir, koni, küre ile kesitleri birer konik olan
elipsoid, hiperboloid, paraboloid (Konikoidler) bu
gruba girerler. Hepsine birden kuadrikler denir.
Genel Denklemi:
a, x2+a2y2+a3 z2+ b, xy+b2x z+b3y z+c !xc2y-l-c3z+d=0
şeklindedir.
Katsayılardan bir kısmının sıfır olması halinde
çeşitli kuadrik yüzey denklemleri elde edilir.
Küre Yüzeyi: Kuadriklerin genel denkleminde
a,=a2= a3 ise yüzey bir küre olur. Merkezî orjinde olan
küre denklemi; x2+y2+z2=R 2
şeklindedir.
Koni Yüzeyi: Kuadriklerin genel denkleminde
C,=C2=C 3=d=0 ise tepe noktası orjinde olan özel bir
koni elde edilir.
Denklemi: f (x,y,z)= a,x2+a2y2+a3 z^fb,xy+b2xz+b3yz’dir.Silindir Yüzeyi: Genel olarak silindir yüzeyi, bir
eğriye dayanarak ve bir doğruya paralel olarak hareket
eden bir doğrunun taradığı yüzeye denir.
En çok kullanılan ana doğrusu z eksenine paralel
silindir yüzeyin denklemi x2+y2=R 2 şeklindedir.
Silindir yüzeyinin hesabı
Konikoidler:
1- Elipsoid: Denklemi, yüzeyin eksenleri kestiği
rtoktaların koordinatları. a,b,c olmak üzere,
Denklemi:
b2 a2 c2
3- Paraboloid; bu da iki türlüdür,
a) Eliptik paraboloid: Bu parabolün simetri ekseni
etrafında döndürülmesiyle elde edilir.
Denklemi
şeklindedir.
Paraboloid yüzeyinin hesabı
b) Hiperboloid paraboloid (Eyer yüzeyi)
y
Denklemi —– _ = z
a2 b2
şeklindedir.
2- Hiperboloid 2 türlüdür.
a) Bir parçalı hiperboloid, bir hiperbolün yedek
ekseni etrafında döndürülmesiyle elde edilir.
b) İki parçalı hiperboloid; bir hiperbolün asal
ekseni etrafında döndürülmesiyle elde edilir.Bu yüzey at eyerine benzediği için bu ismi almıştır.
Regle Yüzeyler: Bir doğrunun hareketi ile meydana
gelen yüzeylere regle yüzeyler denir. Silindir ve koniler
birer regle yüzeydir.
Tor Yüzeyi: Aynı düzlem içinde, eğrinin, kendisini
kesmeyen bir doğru etrafında dönmesiyle elde edilen
yüzeye dönel yüzey denir. Bu eğri bir daire olursa elde
edilen yüze simit veya tekerlek lastiği şeklinde sınırlı bir
yüzey olur ki bu yüzeye tor yüzeyi denir.
Merdiven Yüzeyi: Herkesin bildiği vidada bir koni
yüzeyi üzerine sarılmış helis eğrisi vardır. Dairesel silindir
üzerine sarılmış bir helis eğrisi düşünüldüğünde helis
eğrisi üzerindeki noktalardan silindirin eksenine çıkılan
dik doğruların geometrik yerine merdiven yüzeyi (Helikoid)
denir. Denklemi z= Arctg y/x dir. Minare merdiveni
veya yangın merdiveni bu yüzeye benzediğinden
= ı şeklindedir.bu isim verilmiştir.