Hedef

MATEMATİK

1         — Bir bilinmeyenli birinci dereceden eşitsizliklerde köke kadar a’ntn işaretinin tersi, kökten sonra aynı işareti alır.

2—     İkinci dereceden eşitsizliklerde (bir bilinmeyenli) iki farklı kök varsa, kökler arası a’nın işaretinin tersi, kökler dışı aynı işareti alır. Kökler eşitse veya gerçek kök yok­sa her yerde a’nın işaretini alır, a’nın işareti diye en büyük dereceli terimin işaretine denir.

3—     Büyük dereceli eşitsizliklerde veya bir eşitsizlik içinde birden fazla çarpan varsa eşit­sizlik tek tabloda incelenebilir. Tek tabloda eşitsizlik incelerken, çarpanlardaki a’ ların işaretleri çarpılır. Tabloda en sona yazılır, her kökte işaret değiştirilir. Çakışık kök varsa, çakışık kökte işaret değişmez.

4—    Derecesi çift olan denklemlerin kökleri eşitse, çakışık kök, denklemin derecesi tek iken kökler eşitse tek dereceli eşitsizliklerdeki gibi işaret incelenir. (İşaret köke ka­dar a’nın işaretinin tersi kökten sonra aynı)

5—     Eşitsizlikler negatif sayılarla çarpılır veya bölünürse, yön değiştirir.

6—     Eşitsizlik >0 veya <0 şeklinde ise yalnız payın köklerine eşitlik yazılır. ÖrneklefFclikkatlice izleyiniz.

1           – x² + 4x < 5 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.

ÇÖZÜM: x² 4-4x — 5 <0 Eşitsizliği 0 yapan kökleri bulalım: x² + 4x — 5 = 0 =* (x + 5)(x -1)=0=*x=-5,x = 1 olur.

a’nın işa^reti dolduğundan kökler arası — kökler dışı + dır. x² + 4x — 5 < 0 olduğundan negatif aralık alınmıştır.

—x² + 2x 4- 3                                   (

2— ——————— >0 eşitsizliğinin çözümüııedir?

3x                                           ^

ÇÖZÜM: Pay ve paydanın köklerini bulalım:

-x² +2x + 3 = 0 =*x² — 2x— 3 = 0=>(x – 3) (x +1) = 0x = 3, x = -1 olur.

Birinci işareti — olduğu için kökler arası + kökler dışı — oldu, ikinci tek dereceli olup işareti + dır. Köke ka­dar — kökten sonra + dır. > O ol-

dugu için çözüm + yerlerdir.

-•C <x<-1 V 0<x <3 olur.

İKİNCİ YOL: Bu eşitsizliği tek tabloda incceleyelim

-x² + 2x + 3’iin işareti (-)

3x’iln işareti ise (+) dır. Çarpımları ise (—) olur. En sona (—) yazıldı. Her kökte işaret değişti

• •<0 eşitsizliğinin çözümü nedir? (ÜYS — 81)

B)                                      0<x <3  C) x <0, 3 <x

E) x<-3, —2<x

ÇÖZÜM: 0 yapan kökleri bulalım:

x = 0 ;x² + 4x +4 — 0 =>(x + 2)² =0 =>x = -2 çakışık kök; 3 — x = 0 =*x = 3 x² + 4x + 4 çarpanında kökler çakışık olduğundan her yerde a’nın işaretini aldı.

ÇÖZÜM: x<0,3<x,x*-2dir.

C seçeneğinde ayrıca x 2 olduğu belirtilmeliydi. x = —2 için eşitsizlik 0 olur. İKİNCİ YOL:

Çarpanların işaretleri +, +,-olduğun­dan, çarpımları – olur. En sona – yazıldı. 3 ve 0 da işaret değişti. Ça- kışık kökte (-2) işaret değişmedi

ÇÖZÜM: Kökleri bulalım:

x² -8x + 7=0=>(x-?) (x – 1) =0=*x = 1,x = 7 (x -f 2)² =0=*x = -2 çakışık kök

Tek tabloda inceleyelim. Çarpanların işaretleri 4- olduğu için çarpımları 4- dır.

-2 çakışık kök olduğu için işaret değişmedi.

Eşitsizliği sağlayan tam sayıların toplamı 2 4- 3 ,+ 4 4- 5 4-6 = 20 dir.

5x² (x 4- 2)

5-       ———————– =———- >0 eşitsizliğinin çözümü nedir?

(x²+1)(1-x)³

ÇÖZÜM: Çarpanların köklerini bulalım:

5x² = 0 =*x = 0 çakışık kök (derece iki kök bir tane) x + 2 = 0=»x=~2

x² 4-1 =0^ss*^,x² =—1 (kök yok x² ^-1)

(1 — x)³=0^llM—x=0″M = x (Derece tek olduğu için çakışık değil)

Tek tabloda inceleyelim:

0 çakışık kök olduğu için işaret değişmedi

ÇÖZÜM: -2 < x < 1 payın köküne eşit yazılır.

I

6-       x² – x + T>0               eşitsizlik sistemini sağlayan x değerleri hangi aralıkta bulu- -x²+2x + 8<0 nur?

ÇÖZÜM: x² — x + 1 = 0, A = b² -4ac

A = (—I)² —4.1 .1 =-3 <0 kök yok.

-x² + 2x + 8 = 0 =* x² — 2x — 8 = 0 (x – 4) (x + 2) = 0 x = 4, x = -2 oiur.

Eşitsizlik sistemleri tek tabloda incelenmez. Birinci eşitsizliğin kökü olmadığı için her yerde a’nın işaretini alır. Bu eşitsiz­liklerde işaretlerin

çarpıtmadığına dikkat ediniz. Her ikisini sağlayan taralı bölge çözümdür.

–    oo <x<-2V4<x<«w>

a ERİ, |f(x)| >a =>f(x) >a V f(x) <-a dır.

1—    3—¡5 — 2x| <1 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.

ÇÖZÜM: önce eşitsizliği düzgün hale getirelim:

—¡5 – 2x, <1 – 3 =M5 – 2x| <-2 ¡5 – 2x| >2 olur.

3

5 – 2x >2 =>-2x >-3 ve x <-—

2

7

5 – 2x <-2 =>-2x <-7 ve x >— dir.

2

2-       |2x + 5| — 3 <8 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.

ÇÖZÜM: ¡2x +5j <11 =*-11 <2x 4- 5 < 11 de her tarafa – 5 ekleyelim:

—*U — 5<2x<‘l’\ — 5 -16<2x<6=*-8<x<3 olur.

ax² 4- bx 4- c = 0 denkleminin köklerinin işaretinin incelenmesi:

c           —b

Kökler x« ve x₂ olsun. x_t . x₂ =  ve x₁ 4-x₂ =  idi.

a            a

c

—  <0 ** kökler ters işaretlidir. ^a (

—  <0 =* A >0 (daima iki farklı gerçek kök vardır) a

c       U

—  <0ve— >0^x₁ <0<x₂ ve |xji <x₂

a              a

c              b

—  <0ve—— <0^Xı <0<x₂ ve jxı| >x₂

a       a

c

A>0 ve——– >0 ise kökler aynı işaretlidir.

a

c b A>0,———- >0 ve    >0<*X! >0, x₂ >0

a              a

c b A>0,—— >0ve    <0^xı <0, x₂ <0

a >0 ve A<0 ise her x ER için ax² + bx + c >3

a <0 ve A<0 ise her x GR için ax² 4- h% 4- e <ö dır.

f(x) =ax² 4- bx 4- c = 0 denkleminde,

A>0veaf(x) <0=>x₁ <a<x₂

A>0 ve a f(û) >0 ise a sayısı köklerin dışındadır.

1 — mx² — (m 4* 2)x 4- m — 3 = 0 denkleminde x_x <0 <x₂ olması için m hangi aralık­ta bulunmalıdır?

c          c

ÇÖZÜM: X! <0 <x₂ ise kökler ters işaretli olup  <0 dır.

a   a

m— 3 =0=»m = 3 m =0

2—     (m — 1)x² 4- (m 4-1) x — m 4- 2 =0 denkleminin köklerinin ters işaretli ve negatif kökün mutlak değerinin pozitif kökten büyük olması içinjhangi aralıkta bulunmalı­dır? ,    m

c

ÇÖZÜM: Kökler ters işaretli ise  < 0

a

3—    px² — (p 4- 2)x 4- p — 3 = 0 denkleminin kökleri x_t ve x₂ dir. x_x <0 <x₂ ve ¡Xj j <x₂ olması, ¿ccn p~ ?

c                  —b

ÇÖZÜM: — <0 ve- >0 olmalıdır.

a      a

1____ ¿^-<0 ^p=3

a    p      p=0

^P                          o

P=0 J

4_ x² – (m + 2)x + 4 = O denkleminin her iki kökünün de pozitif olması için m ne ol malıdır?

ÇÖZÜM: A>0, —>0 ve————– — >0 olmalıdır.

A = b² — 4ac >0

(m + 2)² – 4.4 >0 ^ m² + 4m + 4 – 16 >0 m² +4m — 12 >0

m²+4m-12=0=>m=-6 m =2 olur.

__ >0 =>——- = ⁴ >0 sağlar.

a              a —

1

__ ^

__ _ >0=*m + 2 >0 da kök m =-2 olur.

b ‘                               V,- .

Çözüm; m >2 dir.

5-       x² + 2x >x + m – 2 şartının daima sağlanması için m ne olmalıdır?

ÇÖZÜM: a>0ve A<0 olmalı.

x² +2x-x-m+2>0=*x² +x – m + 2>0olur.

a = 1 >0 sağlar.                ,                                         _

A = b² — 4ac = 1 — 4(—m + 2) <0

1 + 4m – ?<0 =*■ m <—— olur.

4

6—     mx² — (m +1 )x +4 ~ 0 denkleminin kökleri x^[1] ve x₂ dir. x_t <2 <x₂ koşulunun sağlanması için m ne olmalıdır? (ÖYS — 82)

ÇÖZÜM: f(x) = mx² —(m + 1)x + 4 ise af (2) <0 f(2)=4m-2m-2+4=2m+2 a f(2) = m(2m + 2) <0           ^ ^

m = 0, m = —1               Çözüm: -1<m<

2— 1/x< 2 ve 1 /x>—3 ise x için aşağıdakilerden hangisi doğru olur?

A) — 1/3<x<1/2              B) -1/2 <x ‘3 0)x>1/2

A) x >1/2, – 1/3 <x<0 E) x >1/2 x <—1/3

3— 4x + 3 >x³ + 3 eşitsizliğini sağlayan x değerleri hangi aralıkta bulunur?

A) —2 <x <0             B)x<-2 C) x >2                  D)x>5

B) 0<x-<1

^; 3x^[2] (x + 2)

4— —————————-           <0 eşitsizliğinin çözümü nedir?

1 — x

A)x4-2, x>1 B) —2<x <1                           C) -1 <x <1

D)                            x<0 E) x <—1/2, x >1

(x³ +1) (x² – 4x +4)

\

12—  |x 4- 2j = 2jx — 2| denklemini sağlayan x’in reel delerlerinin toplamı nedir?

A)  1/3               B)2/3               C) 6 D$20/3                       E) 19/3

13— 11 — |2x — 71 <8 eşitsizliğini sağlayan x’in reel değerleri aşağıdaki aralıklardan han­gisinde bulunur?

Afx<2,x>5           B) 2 <x <4           C)x>1;x<-1

B) x <1 ;x >4            E) —1 <x <3

14—  |3 — 2x| <7 eşitsizliğini sağlayan kaç tane tam sayı vardır?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

15—(m – 1) x² 4- mx 4- m + 2. =0 denkleminin gerçek köklerinin ters işaretli ölması için m hangi aralıkta olmalıdır?

A)-1<m <2           B) 0 <m <5          C)1<m<2                 D

D)                            —1 <m <3  E) —2 < m < 1

16— x² —(m 4- 2)x 4- 2m 4-1 =0 denkleminin reel köklerinin aynı işaretli olması için m hangi aralıkta bulunmalıdır?

A) 0 <m <4 B) -1/2 <m <0, m >4                        C)m<-1/2

D)  —1/2 <m <4                 C) m >0

17— mx² — (m — 1)x 4- 2m — 4 =0 denkleminin gerçel kökleri x₁ ve x₂ dir. x_x vex₂ kökleri arasında x_t <0 <x₂ ve \x_l | >x₂ bağıntısının olması için m aşağıdaki ara­lıklardan hangisinde bulunmalıdır?

A) m <0            B) 1 <m <2               C) m >2            D)m<1

E) 0 <m <1

18— (m 4-1) x² 4- mx 4- m — 4 =0 denkleminin gerçel köklerinin ters işaretli ve pozitif kökün, negatif kökün mutlak değerinden büyük olması için m hangi aralıkta bulun­malıdır?

A)m<-1 B) m>4                 C) m >-1 D)0<m<4

E)-i<m<o

19— x² — (m 4- 2) x +” m 4-1 =0 denkleminin iki gerçel kökünde pozitif olması için m aşağıdaki aralıklardan hangisinde bulunmalıdır?

A) m <-2 B) —2 <m <—1 C) m >—1 D)m<0 E) m >-2

20— x² 4- x >x 4- m — 1 şartının daima sağlanması için m ne olmalıdır?

A) 1 >m            B) m<1             C)0<m<2             D)m<-1

E) -1 <m<1

z1— m hangi aralıkta bulunmalıdır ki x’in her gerçel değeri için (m 4-1) x² – (m 4- 1)x

1- m <0 şartı sağlansın?

A) m<—1 B) m >—1 C)-1<m<1/3

D) m >1/3 E) m >2

22—  (m — 1)x² 4-mx4-2m —3 =0 denkleminin gerçel kökleri x_t vex₂ dir. x_t <3<x₂ olması için m ne olmalıdır?

A) 1 <m<2            B) 0<m<1            C)7/6<m<2

10 D) 6/7 < m <1          E m >1

x

ekseni arasındaki alan fonksiyonuna x’in logaritması denir, y = log x biçiminde gös­terilir, k

y =        fonksiyonundaki k, x = a için y = 1 olarak seçilirse, buna a tabanına lo-

x

goritma denir, y = log_ax biçiminde yazılır.

Tabanı e ise (lim (1 + —)ⁿ =« = 2, 718….)

n-*» n

y – log_ex = lnx ile gösterilir. Bu logaritmaya doğal (tabi) logaritma denir. Taban 10 ise y = log] ₀x ile gösterilir. 10 tabanı genellikle yazılmaz.

t.

Logaritmanın özellikleri:

1-       a, b pozitif reel sayılar ise, a^x =b=Mog_ab =x dir.

2-       Negatif sayıların logaritmaları yoktur.

3-       log_a(b.c.d) =Iog_flb + log_gc ~Hog_ad + …

b

^,og_a(-^~) =log_ab – log_a C log_baⁿ = n log_faa

4—    ^c               ———— dır. (logaritmada taban değiştirme)

log_ca log a                                                * ‘

loga”             n loga              n

Karekteristik ve mantisin bulunuşu:

a E ¡t olmak şartı ile m E z, O — n < 1 olmak üzere log a = m + n ise logaritmanın tam kıs­mı olan m karekteristik n ise mantis denir, a sayısını 10 ile çarpıp, veya bölmekle mantis değişmez.

log a ile log(a .10*) sayılarının mantisleri aynıdır.

1    tabanına göre bir sayının karekteristigini bulmak» sayı tam sayı ise basamak sa­yısının bir eksiği olan pozitif tam sayıdır. Sayı ondalık ise tam kısmının basamak sayısının bir eksiği pozitif tam sayıdır. Sayının ondalık kısmı yok ise ondalık sayıdaki 0 sayısı kadar neptif tam sayıdır.

log 4768 sayısının karekteristiği 3, log 72,435 sayısının karekteristiği 1; log 7,463 sa­yısının karekteristiği 0 ve log 0,00674 sayısının karekteristiği ise -3 olup 3 biçiminde yazı­lır.

Bir sayının tersinin logaritmasına veya logaritmasının ters işaretlisine bu sayının loga­ritması denir.

1

colog x = -log x = log—- dir.

x

10  tabanına göre bir sayının logaritmasını bulmak için karekteristiğine 1 eklenir. El­de edilen sayının ters işaretlisi karekteristik olur. Mantisin birler basamağı 10’a, diğer basa­makları ise 9’a tamamlanır.

Örnekleri dikkatlice inceleyiniz.

log a = 4,76832 ise Colog =1,23168

= x +1 ise x nedir? < i – J

ÇÖZÜM: log_ab = c;a^c = b ye göre

^loV’~n^-=x+,~^l‘^/5r=4“

2                          X + 1

3                                          —3 den   = —3 ve x = —7 olur.

*>*%? ^s ^ssf #

2-                                                                                                                                                                       a = log 27 ve b = log₉32 olduğuna göre a ve b arasındaki bağıntı nedir?   .7-

Cj                   ^

loeb

ÇÖZÜM: log_ab =#.——-     idi.

———- !2*iL- ^3I<’»³

log4            İog2² 2 log2

log32 log2⁵ 5log2

b = log₉32 =■

İ0g9 log3² 2log3 Taraf tarafa çarparsak:

3  log3 5 log2 15

a • b—- —-——.———— =—-—**4ab = 15 olur.

• 2 log2 2 log3 4

3-       log2 = 0,3 ve log3 = 0,4 ise 3^X = 5 denkleminde x ne olur? ^ i°3 ^ -s*

3                                                                              ³ 40Ş ^

ÇÖZÜM: log3^x = log-5 den x log 3 = log 5 olur.                                    AOJ2 ^

^ , X

log 5 10 ^X=_İög3  olur, log 5 = log —— = log 10 – log 2 = 1 – 0,3 = 0,7

0.7 7           *

(Iog10 = 1), x=  =    olur.

0,                   4 4

4-       log_?a = m,log₃a = n ise log_a48’in eşiti nedir?

ÇÖZÜM: log_a48 = log_#(2⁴3) = log_a2⁴ + log_a3 = 4log_g2 + log_a3

1                                                       1

log₂a – m ise log 2 = — ve log a = n ise log 3 = — olur. Bu değerleri yerine m    ^a    ■ n

koyalım:    1 , 4n+m

4                                              log ² + log 3 -4.   H                       dir.

*                               m n mn

log³

5-       8 ¹⁶ eşiti nedir?

log.^c log_Ka   ,m m

ÇÖZÜM: a —c ve log* =—– ıdı.

an

‘3

log 3 log.^8 log .2 ‘                         

8    16 =3 16 =3 2 =3^3/4=^/57 olur.

6-       log a = 1,28 İse        in değeri nedir?

ÇÖZÜM: x = =a^25/16 (Her iki tarafın logaritmasını alalım.)

25 25 logx = loga ^{5/ 6} =            log a    1,28 = 2

15                   16 logx =2=^log₁₀x = 2=^x = 10² =100 olur.

7-       log x = 2,46325 ise log^/x’in değeri nedir?

1                           1

ÇÖZÜM: log^/x = -j- log x = —— (ı,46325) karekteristik negatif ise karek­teristik ayrı mantis ise ayrı bölünmelidir. Karekteristiğin paydaya böliinebilmesi için karakteristiğin üzerine uygun negatif sayı eklenir. Eklenen sayının pozitifi ise manti­sin üzerine eklenir.

_c_. -2 + 0,46325                       -2-3+3+0,46325

log$/x = —

5              5

-5 + 3,46325

—=-1 +0,69265 = 1,69265

8—    x=logb y = log c ise x nedir? (ÖYS — 83)

d                               3

logb      log c x logb ^ ylogb

ÇÖZÜM: x =– y =—- =>– =—– =*x—-

log a       log a y log c  log c

9—   yf{\og2)² + (log — )² ifadesinin değeri nedir? (ÖYS-82)

2

ÇÖZÜM: log = + log T¹ = – log 2 dir. (-log 2)² = (log 2)²

y/(\og2)² + (—log2)² -y/l(\og2)² =y/l log 2

10—  y = log₇ — ve x = 7^S ise y nin değeri nedir? (ÖYS-81) x

ÇÖZÜM: y = log₇x^-1 = -log₇x = — log_?7⁵ = -5 log₇⁷ = -5

11      — x log23 — (y/x +1) log₄3 = 0 denkleminin kökü nedir? (ÖYS — 82)

log3     _r . . log3 xlog3 _                                     log3

ÇÖZÜM: x – —— Vx + 1)- –

log 2                    log 4 log 2                                2 log 2

■\7x+1

x =————– =>x = 1 olur.

14    2

12-     3″ = a-,log_a81² = n² ise n = ? (78-ÜYS)

ÇÖZÜM: a”² =81²=>(3ⁿ)ⁿ² =81²=>-3ⁿ³ =(3⁴/ ~ 3″³ =3® den n³ = 8 ve n = 2 olur.

13-     ¡KL( = log 8

¡LN|=2lo_gv/x“

|KM| = log(2x +1 )

jMNi =3 log (-L^/54) ise x = ?

ÇÖZÜM: |KL, + ¡LN¡ = |KM; + |KN|

log 8 + 2 logy^T= log (2x +1) + 3 log (—f/S4)

log8 + log (\/x)² = log (2x +1 ) + log (——-^/53)³ log 8 + log x = log (2x +1 ) + log 2

log 8 .x=log(2x + 1)2^8x=4x+2vex = –

21

14_ 4 log-y/x = log (x – ) + 1 denkleminin çözüm kümesi nedir?

21

ÇÖZÜM: log (y^)⁴ =log (x–jjp)+log 10

21

log x² =log (x—– —). 10=^x² = 10x — 21

•= log x veriliyor. Burada logaritmalar aynı ta-

Iog₂x + log₂y >6 olduğuna göre x + y nin alabileceği en kiiçiik değer aşağıdakiler- den hangisi olur?       /

A)V§”              B) 6 C)8v/T                      İ)) 16                  E) 12

Eğer x = t^1/1‘^t ve y = t^t/1‘^t (t > 1) ise x ve y arasındaki aşağıdaki bağıntılar­dan hangisi vardır?

A)y^x=x^1/y B)y^1/X=x^y C)y^x=x^y D)x^x=x^y E)y=x

^{a =} log₈225 b — log₂15 ise a ile b arasında hangi bağıntı vardır?

A) a = b/2 B)a = 2b/3                         C)a = b             D)b=a/2

E) a = 3b/2

log₂(log₃(log₄x)) = log₃(log₄(log₂y)) = log₄(log₂(log₃z)) = Oisex+y+z toplamı neye eşittir?

A) 50                B) 58                C) 89                D) 111              E) 1296

Aşağıdakilerden hangisi 2^2x — 8. 2^X +12 = 0 denkleminin bir köküdür?

log_mN=log_Nrn, m=£N ,m #1, nise m . N = ?

A)1/2               B)1                  C)2

E) 2’den büyük, 10’dan küçük sayı

işleminde xy # 1 olduğuna göre bu işlemin değeri nedir?

log_xxy log_yxy

A) 1                  B) -1

log 3 =0,47704 ise 3³⁸ kaç basamaklı bir sayıdır?

A) 16                B)17             C)18             D)19

log x = 3,47683 ise aşağıdakilerden hangisi doğru olur?

D)  10 <x <100 E) 0 <x<1

2-       log₂x + log₂y > 6 olduğuna göre x + y nin alabileceği en küçük değer aşağıdakiler- den hangisi olur?

E) 12

3-       Eğer x = t^1/1*^t ve y = t ^t/1‘^t (t > 1) ise x ve y arasındaki aşağıdaki bağıntılar­dan hangisi vardır?

A)y^x=x^1/y B)y^1/X=x^y C)y^x=x^y D)x^x=x^y E) y =x

4—    a = log₈225 b = log₂15 ise a ile b arasında hangi bağıntı vardır?

A) a = b/2 B) a = 2b/3                       C)a = b             D)b=a/2

E)a =3b/2

2-       log₂(log₃(log₄x)) = log₃(log₄(log₂y)) = log₄(log₂(log₃z)) = Oisex + y+ z toplamı neye eşittir?

A) 50                B) 58                C) 89                D) 111              E) 1296

6—     Aşağıdakilerden hangisi 2^2x — 8. 2^X + 12 = 0 denkleminin bir köküdür?

8-                                                                             log_mN =log_Nm, m#N    #1, n#1 ise m . N =?

A) 1/2               B) 1                  C) 2

E) 2’den büyük, 10’dan küçük sayı

10-     log 3 = 0,47704 ise 3³⁸ kaç basamaklı bir sayıdır?

A) 16                B) 17                C) 18                D) 19

2  — log x = 3,47683 ise aşağıdakilerden hangisi doğru olur?

D)  10<x<100 E) 0 <x <1

12-    log x = 0,64 ise          in değeri nedir?

AJVTÖ              B) 10                C) 1/2               D) 100              E) 2

13-    log x = 7,46825 olduğuna göre log^/xin değeri aşağıdakilerden hangisi olur?

A) 2,69365                B) 1,69365 C) 2,43286 D) 3,89365

E) 1,68435

14-    x^1 dir. log₂x = a, log₃x = b ise log_x108 in eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

,3 + b ₄ ab 2a + 3b ,3a+2b A)——- B)—— O—    D)

ab                 2a + 5b ab   ab

15— log 2 = 0,3 log 3 = 0,4 ise 9* = 125 olduğuna göre x aşağıdakilerden hangisine eşit­tir?

22                                                                         21 22 14  ‘ 12

A) —-—             B)——- C)—— D)—    E)

9                      8            7                5                   5

log 2

16-    x=9 ⁷ olduğuna göre log_1/2x’in eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

A) 1/2    B) -1    C) -2/3   D) -3/2   E) -2

17-    x log₉(log₂8) -y/4x +1‘ log₂₇(log₅125)=0 olduğuna göre x kaçtır?

A) 1      B) 2      C) 3      D) 4      E) 5

8

18-    4 log\/x — log (x ——) +1 denklemini sağlayan x değerlerinden büyüğü küçüğü­nün kaç katıdır?

A) 2 B) 3       C) 4      D) 5      E) 6

19-    x =£0 olduğuna göre log_3x4 – log_2x8 = 0 denklemini sağlayan x değeri kaçtır?

A) 4 B) 27      C)—       D)—       E) ⁸

27         9       27

A) 2 ²    B) 1/2   C) 1/5    D)y/2      E)y/S

U

2i-     ,

f(x) = ax² + bx + c = 0 denkleminin gerçel kökleri Xj ve x₂ dir. k ise pozitif reel sayıdır. fflO . f(— k) <0 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur. (xj <x₂) A) Xj <-k <x₂ <k     b) X! <-k <k <x₂ C) x_x <x₂ <k <-k

D)                                                 xj<x₂<-k<k    E)-k<X!<x₂<k

dir.

Yi — y₂                                                    yi — y₂

y — yi =—————— (x — Xj) biçiminde yazar ve m =———– olarak alırsak

X j—X₂                                         Xj — x₂

denklem;

Y  — Yı = m (x — x₂) olur. Eğimi ve bir noktası belli doğru denklemi;

Paralel doğruların eğimleri birbirine eşittid. d_l ve d₂ doğrularının eğimleri nij ve m₂ olsun, //d₂ <^n\ı = m₂ olur.

–  Dik doğruların eğimleri çarpımı —1 dir. d_x ld₂ ^mj . m₂ = —1 dir.

Doğru denklemi y = ax 4- b ve eğim m = a dır.     •

doğru denklemi ax 4- by + c =0 ise eğim m =—– dir.

b

SİMETRİ: Bir A noktasının A doğrusuna göre simetriğini bulmak için A’dan Aya dik indirilir. İACj = jCBj olacak şekilde B noktası bulunur. A’nın A doğrusun» gi^e simetriği B’dir.

C noktası AB doğrusunun orta noktası ise,

_w _ ^xl + ^X2                _ Yı +Y2 ..                   •———- 7^— »——————-

2                ^{Ve y} 2 ‘^r                                     V Clr;-J)

x — eksem y =0 ve y — ekseni x= o doğrusu olarak gösterilir.

Bir A (a; b) noktasının y = 0 doğrusuna göre simetriği A(a, -b) vex = 0 doğru­suna göre simetriği ise A^M(-a ; b) dir.

A(a ; b) noktasının orjine göre simetri­ği ise A”‘(-a;-b) dir.

Bir (a;^noktasınm x = m doğrusuna göre simetriği (2m — a ; b) dir. Aynı şekilde (a; b) noktasının y = m doğrusuna göre simetriği ise (a ; 2m—b) dir.

Bir (a ; b) noktasının y = x (birinci açı ortay) doğrusuna göre simetriği (b; a) ve y =—x (ikinci açı ortay) doğrusuna göre simetriği ise (— b ; —a) dır.

Eğimleri m_x ve m₂ olan iki doğru arasındaki açının tanjantı:

dj =ax + by 4- Cj = 0 ve d₂ =ax 4-by +c₂ = 0 doğruları birbirine paralel ise aralarındaki d uzak­lığı;

Paralel olan ve d₂ doğrularına eşit uzaklıktaki d’ doğrusunun denklemi ise; c i 4” c₂

ax4-by4————– -=0 dır

2

_x= ^xı +x₂ +x₃

3                                   ‘                3

Köşelerinin koordinatları (xj ; yj , (x₂ ; y₂) ve (x₃ ; y₃) olan üçgenin alanı S ise,

= 1x^2 +x₂y₃ +x₃y_t -(y^j +y₂x₃ +y₃x*₁)i

dır. Alan sıfır ise üç nokta bir doğru üzerindedir. (Doğrusaldır.)

x y — H——– = 1 doğrusunun grafiğini

a b

çizmek için x = 0 için y = b ve

y = 0 için x = a bulunur.

ax +by +c = 0 vea’x +b’y +c’ =0 doğruları için; a b c

—■— — ■ — …..  ise sonsuz çözüm var (doğrular çalışır.)

a b c*                                                             ‘

a b                                                                          ;

• •tF—— ise Tek çözüm (Doğrular bir noktada kesişirler.)

b’

2—    xy- düzleminde p(-1, -2) ve 0(4;2) noktaları ile PR + RO minumum olacak şekil­de R(1,m) noktası alınıyor. Buna göre m aşağıdakilerden hangisidir?

%

-3                     -2                      -1                      1

A> —               B)_                   C)_ D)_

I

_c, 1 . 1

E)              veya —— den biri.

5                  5

3—     (0 ; 4) noktasından x — 3y — 7 =0 doğrusuna dik olarak çizilen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

A)y+3x-4=0                B)y+3x+4=0               C) y — 3x — 4 = 0

D)                                    3y +x — 12 =0       E) 3y-x- 12=0

4—    xy — düzleminde koordinatları x + y = 5 şartını sağlayan, pozitif rasyonel sayılar olan noktaların sayısı ne kadardır?

A) 9                  B) 10                C) 14                D) 15                E) Sonsuz

5—     Bir eşkenar üçgenin xy- düzleminde iki köşesinin koordinatı (-2,0) ve (4,0) ol- duğuna göre üçüncü köşenin koordinatı nedir?

A)(1,V3) B) —1;3y/3) C) (1, +3y/3)

■D) (-t 2) E) (1, i2y/3)

6—    y = 3x +6 y = — 1/3 x + 2 ve y = 0 doğrularının meydana getirdiği üçgenin köşelerinden geçen çemberin yarıçapı kaç birimdir?

A) 2 B) 3                           C) 4                  D) 5                  E) 6

^x . y

7—    —— “I ^— 1 doğrusu ilex =0 ve y =0 doğrusunun meydana getirdiği

⁴3

üçgenin kenarlarına içten teğet olan çemberin çevresi kaçtır?

■ v                                       3tt

A) ——             B)ît ^C^‘7^—                         °)^{2rr                                       E}^^37r

8—    xy— düzleminde 2x — 3y — 7 = 0 ve 3x + 3y — 8 = 0 doğrusunun ikisine birden ait olan noktanın y = -x doğrusuna göre simetriği olan nokta nedir?

A) (3; -4-)                  B) (-3 ; -İ-) C) (-1- ; -3)

’D) (—– ’3)                 E) (1 ;-3)