Dedekind, (Julius Wilhelm) Richard

(d.
6 Ekim 1831, Braunschweig, Brunswick – ö.
12 Şubat 1916, Braunschweig, Brunswick,
Almanya), irrasyonel (oransız) sayılara,
aritmetik kavramlara dayalı yeni bir tanım
geliştiren Alman matematikçi. Gerçek sayı-lan oluşturan öğeler ile sonsuz kavramı
üzerine yaptığı ve kendi döneminde pek
kabul görmeyen çalışmalarının modern matematik
üzerindeki etkileri günümüzde de
sürmektedir.
Bir avukatın oğlu olan Dedekind, 1843-47
arasında Brunswick’teki Martino Catharineum
Lisesi’nde öğrenim gördü. Önceleri
kimya ve fiziğe daha çok ilgi duyuyordu
ama 1848-50 arasında devam ettiği Caroline
College’da, çalışmalarını integral ve diferansiyel
hesap, cebir ve analitik geometri
alanlarında yoğunlaştırdı ve bu konularda
edindiği bilgilerin yardımıyla Göttingen
Üniversitesi’nde Carl Friedrich Gauss’un
yüksek matematik derslerini izleme olanağını
buldu.
İki yıl süreyle kendi başına cebir, geometri
ve eliptik fonksiyonlar üzerine çalıştıktan
sonra, 1854-58 arasında Göttingen Üniversitesi’nde
ücretsiz okutman olarak görev
yaptı. Galois denklem kuramını ilk olarak
buradaki derslerinde ortaya attı, bu arada
Alman matematikçi Peter Gustav Lejeune
Dirichlet’in derslerini izledi. Bu dönemde
Dedekind, irrasyonel sayıların, aritmetiksel
özellikler açısından yeniden tanımlanması
gerektiği sonucuna vardı. İÖ 4. yüzyılda
Eudoksos irrasyonel sayıları, geometrik bir
yaklaşımla yaklaşık rasyonel sayılar
örn. V2~= 1,414213… gibi,tekrarsız ondalık
basamaklar serisi biçiminde tanımlamıştı.
1859’da Zürich Politeknik Okulu’nda dersler
vermeye başlayan Dedekind, 1862’de
Brunswick’teki Teknik Üniversite’ye geçti
ve yaşamının sonuna değin burada, toplumdan oldukça uzak bir biçimde çalıştı.
Teknik Üniversite’de verdiği dersler sırasında
Dedekind, hem rasyonel, hem de
irrasyonel sayılardan, bir doğru üzerindeki
noktalarla bire bir ilişki içinde olmaları
koşuluyla gerçek sayılardan oluşan kesiksiz
bir sürey kurulabileceği düşüncesini ortaya
attı. Bu durumda irrasyonel sayı, özel
olarak kurulmuş iki rasyonel sayı kümesini
birbirinden ayıran sınır değer oluyordu.
Dedekind, süreyin niteliğinin, doğru parçası
(ya da sürey) üzerindeki noktaların
niceliğinden çok, doğrunun nasıl bölünebildiğiyle
ilgili olduğunu belirledi. Kendi adıyla
tanınan kesim yönteminde, bir serideki
gerçek sayılar iki bölüme ayrılıyor ve bir
bölümdeki her gerçek sayı, öteki bölümdeki
gerçek sayıların hepsinden daha küçük oluyordu.
Verili bir değere karşılık gelen
böylesi bir kesim, her iki bölümde de daha
küçük ya da daha büyük herhangi bir sayı
bulunmuyorsa, bir irrasyonel sayıyı tanım55lar; buna karşılık bir rasyonel sayı, bölümlerinden
birinde daha küçük ya da daha
büyük bir sayının bulunduğu bir kesimle
tanımlanır. Bu nedenle Dedekind, süreyi,
bir bölümdeki bütün elemanların öteki
bölümdeki elemanların hepsinden daha büyük
olduğu iki bölüme ayıran biricik sayının
V2~olduğunu gösterdi. Başka bir deyişle,
kesim ya da bölünme sonucunda oluşan iki
bölümden birisindeki sayıların hepsinin karesi
2’den büyük, öteki bölümdeki sayıların
hepsinin karesi 2’den küçüktür.
Dedekind, irrasyonel sayılar üzerindeki
aritmetiksel çalışmalarını, Stetigkeit und
Irrationale Zahlen (1872; Sürey ve İrrasyonel
Sayılar) adlı yapıtında geliştirdi. İki yıl
sonra da, Alman matematikçi Georg Canto
r^ ) ile birlikte, bir kümenin bir esas
altkümesiyle bire bir örtüşen bir uygusunun
bulunması durumunda o kümenin sonsuz
olduğu; yoksa kümenin sonlu olduğu yolundaki
savı ortaya attı. Sonsuzküçük ve sonsuzbüyük
kavramları üzerindeki çalışmalarıyla
da modern matematiğin gelişmesine
önemli katkılarda bulundu.
1874’te İsviçre’deki Interlaken’de tatilini
geçirirken Cantor’la tanıştı. O sıralarda
Cantor’un henüz yayımlanmış olan ve daha
sonraları modern matematik alanında
önemli bir yer tutacak olan kümelere ilişkin
önemli çalışmaları Dedekind’in ilgisini çekmişti.
Her iki matematikçi de son derece
özgün kavramlar geliştirmişler, ama bu
görüşlerine, çağdaşları, fazla bir ilgi göstermemişti.
Bu ortak özellikleri, Dedekind ile
Cantor arasında sağlam bir arkadaşlık ilişkisinin
gelişmesine katkıda bulundu.
Tam sayıların özellikleri ve ilişkileri üzerindeki
araştırmalarını sürdüren Dedekind,
1879’da Über die Theorie der ganzen algebraischen
Zahlen, (Cebirsel Tamsayılar Kuramı
Üzerine) adlı yapıtını yayımladı. Bu
kitabında “İdeal” olarak nitelendirdiği bir
sayılar topluluğunu ele alıyordu. Kendisinden
daha geniş bir topluluktan ayrılabilen
bu topluluğu oluşturan cebirsel tamsayılar,
adi tamsayılar birer sabit katsayı olmak
üzere, polinom denklemleri sağlıyordu.
İdeal, verilen bir cebirsel tamsayının çarpanı
olan cebirsel tamsayıların oluşturduğu
topluluktu. Örneğin, (2) biçimindeki bir
gösterim, …-8,-6,-4,-2,0,2,4,6,8… ideal
topluluğunu tanımlıyordu. İki idealin toplamı,
elemanları bu ideallerdeki bütün elemanların
birbiriyle toplamından oluşan yeni
bir idealdi. İki idealin birbiriyle çarpımı da,
benzer biçimde açıklanıyordu. Dedekind,
ideal kuramının yardımıyla, tam çarpanlarına
ayırma işleminin (bir sayıyı, yalnızca tek
bir asal sayı takımının çarpımı olarak ya da
1 ve kendisinin çarpımı olarak ifade etmek),
birçok cebirsel yapıya uygulanmasını olanaklıkıldı.