değişkenlerin ayrılması yöntemi

değişkenlerin ayrılması yöntemi, kimi
kısrni diferansiyel denklem türlerinin çözü­
münde yararlanılan, en eski ve en yaygın
tekniklerden biri. Bilinmeyen fonksiyonun
ve türevlerinin, en büyük üssü birden büyük
olmayan ve fonksiyonun değişik basamaktan türevlerinin birlikte yer aldığı ( //y a d a /’
/”gibi) terimler içermeyen kısmi diferansiyel denklemler doğrusal olarak adlandırılır.
Eğer denklemdeki her terim, fonksiyonu ya
da türevlerinden birini içeriyorsa, denklem
hom ojendir./’ + / 2 = 0 örneğinde,denklem
homojendir, ama doğrusal değildir;
f’+ x 2 =0 örneğinde doğrusaldır, ama homojen değildir; f xx+fyv=0 örneğinde, homojen olduğu gibi aynı zamanda doğrusaldır.
İki değişkenli bir doğrusal homojen denklemin g(x) ve h(y) gibi, her biri bir değişkeni iki çarpandan oluşan f(x,y) gibi bir
çözümü varsa, kimi zaman bu bilinmeyen
çarpanların çarpımını, bilinmeyen bileşke
fonksiyonun yerine koyarak her değişken
için bir adi diferansiyel denklem elde edilebilir. f xx +f v y = 0 örneğinde f(x, y) denklemi
sağlıyorsa, f(x, y) yerine g(x)h(y) koyarak,
denklem, gxxh + ghyy= 0 ya da ~gxx/g =
hyY/h şekline dönüştürülür. Son denklemin sol yanı, yalnız x değişkenine, sağ yanı
ise y değişkenine bağlı olduğundan, ancak
ve ancak her iki taraf sabit bir sayı olursa,
denklemin iki tarafı eşit olabilir. Böylece,
-gxx/g=c olandenklem, çözümleri,g=a sin
(xchl) ya da g = a cos (xc1/2) olan, tek
değişkenli,gxx +cg=0 adi diferansiyel denklemine dönüşür. Benzer biçimde, hyy/h = c
denkleminden, h = exp( ±ycm) sonucu çıkar.
Böylece, ilk denklem /^+ ^= 0’ın çözümleri
de, f=gh=a exp( ±ycm) sın (xc1/2) ya da a
exp(±ycm) cos (xc1/2) olur, a ve c, denklemin
çözümlerinin sağlaması gereken fiziksel durumun sınır değerleri ve ilk değerleri gibi
öteki yardımcı koşullara bağlı olarak seçilen
sabitlerdir, a v e c gibi değişik sabitler içeren
a exp( ycm) sin (xcm) gibi terimlerin toplamı da verilen diferansiyel denklemi sağlar.
Fourier serileri olarak adlandırılan sonsuz
sayıda terimlerin toplamı yöntemi kullanılarak daha geniş ve çeşitli yardımcı koşulları
sağlayacak çözümler bulunabilir.
Değişkenlerin ayrılması yöntemi,
f x x + x2f y = 0 gibi katsayıları değişkenlerden
oluşan denklemler ile daha yüksek basamaktan denklemlere ve daha çok değişken
içeren denklemlere de uygulanabilir.