DOĞADAN
MATEMATİKSEL
ESİNTİLER
Doç. Dr. Öner ÇAKAR*
B
ugün sîzlerle doğa’da kısa bir gezinti yapmak istiyoruz. Doğada bulunan cisim ve anlıların sahip olduğu geo¬metrik yapıyı, matematiksel özelikleri ve kusursuz simetriyi, bu varlıkların çok küçük ve önemsiz olduğu gerekçesiyle gör¬memezlikten gelmemiz görüşünde olduğumuz için, bu gezi¬miz sırasında, hemen her gün yan yana bulunduğumuz, bir¬likte yaşadığımız halde, belki uğraşılarımızın yoğunluğu ve dalgınlığımız yüzünden, belki de pek fazla ilgi duymadığımız için dikkatimizi çekmeyen bazı cisim ve canlılardaki bu gü¬zellikleri bir matematikçi gözüyle görerek (ya da Watson Da- vis’in deyimiyle bir MATESKOP’tan bakarak) göstermeyi amaçlıyoruz. Örneğin, bahar ve yaz günlerinde hemen her sabah yolumuz üzerindeki bahçe ve parklarda gördüğümüz tarla sarmaşıklarının tomurcuklarındaki spiraller, bin bir bi¬çimde süslenmiş düzgün altıgenler şeklinde karşımıza-çıkan kar tanecikleri, Chambered Nautilus’un akıl almaz güzel¬likte spiraller çizen kabuğu, mineral kristallerinde gördüğü¬müz kusursuz geometrik yapılar ilk ağızda söyleyebileceği¬miz örneklerdir.
Doğada bulunan mineral kristallerinde, çoğu kez doğal olduklarına inanılmayacak kadar görkemli bir güzellik ve si¬metri vardır. Bunların yakından incelenmesi sırasında ise, söz konusu kristallerin aynı zamanda şaşırtıcı matematiksel özel¬liklere de sahip olduğunu görmekteyiz. Mineral kristalleri, temelde altı farklı yapıda karşımıza çıkmakta ancak bu altı temel yapının değişik kombinasyonları sonucu otuziki tür¬den yapıda görünüm kazanmaktadırlar. Kübik, Tetragonal, tleksagonal, Rombusal, Mçnoklinal ve Triklinal olarak ad¬landırılan bu altı temel sisteme ait minerallerin tümünde bu¬lunan değişmez matematiksel özelliklerden birincisi, ünlü İs-viçreli matematikçi L. Euler (1707—1783) tarafından bulu¬nan ve kristallerde, yüzey, köşe ve kenar sayıları arasındaki ilişkiyi ortaya koyan;
YÜZEY SAYISI + KÖŞE SAYISI = KENAR SAYISI + 2 formülünün belirlediği özelliktir. Kristallere ilişkin bir başka özellik ise açıların değişmezliği ilkesidir: Kimyasal bileşimleri aynı olan mineral kristallerinde belirli yüzeyler arasında olu-
Tarla sarmaşığı
şan açılar hiç bir zaman değişmez. Örneğin, Kuvars krisıalk-l rinde bu açılardan iki tanesi, sırasıyla, 46° 16’ vc 38″ I M dır. Kristallerde simetri yasası ve Zone yasası ile paranıctr^l oranlarının daima rasyonel olduğunu belirleyen m*temacik sel özelliklere ise yerimizin darlığı nedeniyle değ’nrn®dcrl geçeceğiz.
Mateskopumuzu şimdi de minerallerden biraz uzaklaş tırıp, doğanın diğer köşelerine çevirelim. Sesinde11 hoşlan
masak da renk ve tüylerini büyük bir beğeni ile seyrettiğimiz tavus kuşunun kuyruğunu kabartması halinde oluşan yelpa¬zedeki renkli benekler, çift yönlü, kusursuz Archimedes spi¬ralleri çizerler. Logaritmik ya da eşaçılı spiralin en güzel ör neğini ise yüzey spirali olarak Chambered Nautilus’un ka-buğunda görmekteyiz Şekil’de de görüldüğü gibi, spiral eğrisi merkez ışınlarını daima sabit bir açı altında kesmekte¬dir. Buna karşılık, Charonia tritonis, Fusus longicauda, Pyrula pugilina ve benzeri deniz kabuklarında ise birer helis- spiral eğrisi karşımıza çıkmaktadır. Logaritmik spiralleri, ay¬rıca, fil dişlerinde, yaban koyununun boynuzlarında, kanar¬yanın tırnaklarında, yine bir deniz hayvanı olan Paper Nau- Ulus’un kabuğunda görmekteyiz.
Bakışlarımızı papatyalara çevirirsek; papatyanın ortasında bulunan floret’lerin (çiçekcik) sağ ve sol yönde olmak üzere çift yönlü düzgün spiraller çizdiği dikkatimizi çeker. Ancak burada çok daha ilginç bir özelliği ortaya koymak için bu spi- raileri sayarsak, normal bir ortamda büyüyen papatyaların he-men tümünde sağ spirallerin sayısının 21, buna karşılık sol spirallerin sayısının 34 olduğunu görürüz. Benzer olarak, kı- zılçam (Pinus brutia) ve Himalaya çamı (Pinus exelsa) gibi bazı çam türlerinin kozalaklarındaki pulların oluşturduğu sağ spirallerin sayısı 5, sol spirallerin sayısı ise 8’dir. Kara çam (Pinus nigra) kozalaklarında ve ananas meyvelerinde ise bu sayılar 8 ve 13 olarak belirlenmektedir. Benzer yapıdaki di¬ğer bir çok bitkide de görülen bu sayıların ilginçliği nedir! Şimdi bu sorunun cevabını arayalım. Matematikte Fibonacci Sayıları olarak bilinen ve her biri kendisinden önce gelen iki terimin toplanmasıyla elde edilen terimlerin oluşturduğu si¬hirli (!) bir dizimiz vardır. Leonardo Fibonacci da Pisa (1170—1250) tarafından bulunan bu dizinin bir kaç terimini yazmamız yararlı olacaktır:
Burada biraz durup bu sayıları inceleyecek olursak, yukarıda papatya, çam kozalağı ve ananas için verdiğimiz ve bunların sağ ve sol spirallerinin sayılarını belirleyen 21: 34, 5: 8 ve 8: 13 sayı İkililerinin aslında sihirli dizimizde yer alan ardışık terimler olduğunu görürüz. Demek ki, bir başka yazımızda değinmeye çalışacağımız ve çeşitli Güzel Sanatlar dalında te¬mel öğelerden birisi olan Fibonacci sayıları, doğada başlan¬gıçtan bu yana kullanıla gelmektedir.
Hemen her bitki ve çiçekte kolayca görebileceğimiz geo¬metrik yapı ve özellikleri bir yana bırakarak, bakışlarımızı bitkiler aleminin nefes kesen güzelliğe sahip örneklerinde, yani Diatome’ler üzerinde yoğunlaştıralım. Varlıkları ancak 17. yüzyılda, mikroskopun bulunmasından sonra anlaşılabi¬len ve 25.000 farklı geometrik desende karşımıza çıkan Dia¬tome’ler, genelde iki gruba ayrılmaktadır. Büyüklükleri an¬cak mikron ölçüsünde olabilen Diatome’lerin birinci grubu yuvarlak bir şekle ve kusursuz bir simetriye sahip “Centrales” ler, ikinci grubu ise ince ve uzun bir şekle sahip “Pennales” lerdir.
Diatome’lerden söz edince, hayvanlar aleminin mikrosko¬bik canlılarından olan Radiolaria’ya değinmeden edeme¬yeceğiz. Bunlar da Diatome’ler gibi binlerce farklı geomet-
/ Ttvus ‘ ‘ ‘ kuşu
Papatya
rik yapıda bulunan, her zaman göremeyeceğimiz kadar gör¬kemli güzellikte iskeletlere sahip, yine mikron ölçüsünde minik yaratıklardır.
Doğadaki geometrik yapı ve şekillerin incelenmesi sıra¬sında hemen herkes, örümcek ağlarının olağanüstü geometrisi karşısında etkilenegelmiştir. Gerçekten, her biri bir mühen¬dislik harikası olan örümcek ağları, böcekleri avlama amacı¬na yönelik fonksiyonel birer yapıdır. Her örümcek, öreceği ağın mimari yapısını ve planını bulunduğu çevreye ve amacı¬na uydurur. Örneğin, ağın yapı ve şekli; ağın kurulacağı ye-
Radiolaria
rin çevresine, rüzgârın yönüne ve şiddetine, araya giren gellere, yağış durumuna ve benzeri daha bir çok etkene I lıdır. Aydınlık pencerelerde, yuvarlak tipte, sık dokum ağlara rastlamamıza karşın, karanlık yerlerde aynı tipte, kat seyrek dokunuşlu ağları görmekteyiz. Erigone cinsi lerinin ağaç dallan ve çalılar arasına dikey platformlar o turacak şekilde düzlemsel ağlar örmesine karşılık, /.mı//; marginata türü yüksek ağaçların arasına, güneşte ipek paraşütmüş gibi parlayan kubbeli ağlar kurmaktadır. Ily otes cinsi türleri ise bir noktadan çıkan dört eksen ara’ yerleşmiş üçgen ağlar kurmaktadır.
Her biri ayn ayn ilgimizi çeken bu ağlar, yapışkan r de damlacıklarıyla kaplı, spiral dokulu ipek elyaflarından ı şur. Bu elyafların, bazı örümcek türlerinde I/1.000.000 çapında olmalarına karşılık, Madagaskar’da yaşayan bazı örümcek ağlarından, yerli halkın ufak çapta da olsa ku dokuduğu ve hatta kenarianna sopalar geçirerek balık olarak kullandığı bilinmektedir.
Şimdi de mateskopumuzu, doğanın gerçek mimarini onun yaşantısına çevirelim. Evet, arılardan söz etmek yoruz. Adeta bir devlet düzeni içinde yaşayan arıların şamlarında en önemli yeri tutan bal peteğim bıı.ız y.ıkıı inceleyelim. Kesiti düzgün altıgenler oluşturan pıt/ma Ündeki petek gözlerinin dipleri, bir piramit mryd;m.ı geı cek biçimde üç eşkenar dörtgenden oluyu I şkrıuı d genlerden her biri ise, peteğin diğer ytı/ılnılr Imlıııun yana üç gözün dibindeki üçte bir parçaya k.ıi)ilık (¡«Ilı vandaki şekliyle, dik olarak duran İki (»irkir, (»rirh (¡ö yatayla sabit bir açı yapacak şekildr ın>.ı nlılıı Dmiııhl
ıı/- nntimntı-ft Lı/lır ftUn k/ır kir ı«A*lkıt ıLııuı L-tlıttlıL
MERCEK
AXON
Petek göz kesidi
KRİSTAL
KONİ
GÖRME
HÜCRELERİ
yük bir direnç kazanırlar ve arıların depoladıkları kilolarca balı rahatlıkla taşıyabilirler. Arılar, tamamen karanlık bir or¬tamda inşa ettikleri ve derinliklerini antenleri yardımıyla ölç¬tükleri bu peteğin yapımında oldukça zor bir matematiksel problemi de birlikte çözmektedirler. Gerçekten, en az bal¬mumu harcayarak, maksimum ölçüde bal depolamak için ge¬rekli şekil arıların inşa ettiği altıgen prizmalardır.
Arıların kendi aralarında kurdukları haberleşme sistemi de çok ilginçtir. Kırlarda dolaşırken bal özü ya da çiçek tozu kaynağı bulan bir arı hemen kovanına dönerek, içgüdüsel ola¬rak (yoks.ı bilinçli mi!); fakat gerçek anlamda geometri ve pılan ağır hareketli bir dans, kaynağın kovana yakın olduğu anlamına gelmekte, kuymğun hoplatılarak hızlı bir biçimde dans edilmesi, kovandaki arılara uzun bir uçuşa hazır olma¬ları gerektiğini belirtmektedir. Prof. Kari von Frisch’in yıllar suren araştırma ve incelemelerine dayanan bu sonuçlann geo
metrik ve matematiksel yönlerini, Şekil’de görmekteyiz. Bu¬rada da gördüğümüz gibi, arılar yön belirleme sırasında gü¬neşten yararlanmakta ve Güneş-kovan-kaynak üçlüsü arasın¬da oluşan açıyı ölçerek kullanmaktadırlar. D«ğal olarak ak¬la, bu işin nasıl yapıldığı sorusu gelmektedir. Bu soruyu ce-vaplayabilmek için biraz serilere piHin IftOfi vıibnnH^