Yeni Bir Geometrinin Doğuşu
Dedüktif Geometrinin Kökeni
Bir zamanlar -aşağı yukarı M.Ö. 600 lerde-, Anadolu’da, Mi-let’de, bugün, insanlık carihinin ilk bilim adamı sayılan Tales adında bir adam yaşardı.
Tales’ten önce, düşünürler olayların arkasındaki ilkeleri aramıyorlar ve yeterince soyut düşünmüyorlardı. Buluşları -ki bunlar daha çok mitlerdi- tanrıların ve tanrıçaların birbirleriyle olan ilişkilerini anlatan öyküler etrafında dönüyor ya da fırtına, güneş tutulması. mevsimler gibi doğal olayları açıklamayı amaçlıyordu. ‘Doğruyu söylemek gerekirse, Okîid öncesi geometriye, ilişkin
arJantuklanmız da bir bakıma r.:n::. t’ztn bir dönemlik gelişme-..:. ‘zrzrk.^- efsanevi kahramanın
:>e r.er;*: j: nesnelerle –~~i~.-y.–i valışn ve bazı geometrik gerçeklerin diğerlerinden elde edilebildiğini gözledi ve geometrinin olabildiğince saf akıl yürütmelerden oluşması gerektiğini söyledi.
Tales elli yaşlarındayken, Mi-let’in birkaç km açığındaki Sisam adasında doğan Pisagor, Tales’in bilimle ilgili düşüncelerini öğrendi ve Tales’in geometriyle ilgili önerilerinden etkilendi. Ege’den ayrıldıktan sonra bir süre Mısır’da çalıştı ve sonunda bugünkü İtalya’nın güneyinde yer alan o zamanlar Kroton diye anılan bir Yunan kentine yerleşti. Burada, kadınlardan ve erkeklerden oluşan ve matematiği doğayı anlamanın anahtarı olarak gören bir topluluk olan Pisagoryanlar Tarikatı’xı\ kurdu. Bu topluluğun ömrü 30-40 yılı geçmese de, ilkeleri Yunan düşüncesini uzun süre etkiledi ve yüzyıllar sonra bile Akdeniz’de kendilerini Pisagoryanlar olarak tanımlayan ve Pisagoryan inanışını savunan düşünürler oldu.
Pisagoryanlar, Tales’in geometriyi dedüktif bir bilim yapma uğraşma sahip çıktılar ve en bü-
yük katkıları kendileri için üzücü bir sonuç olmuştu. Tales, teoremlerini mantık ve sezgilerini birleştirerek çıkartıyordu, ama Pisagoryanlar mantık ve sezginin birbirine ters düşebildiğini gördüler. Ne olduğunu kısaca anlatalım:
Keiî_” ./ ^una 1 dedikleri
_r.err,L: ınan^ıanndan biri: dünyadaki her şeyin oranlu yani rasyonel olduğuydu. Yani herhangi iki uzunluk aldığımızda, bunların birbirine oranı rasyonel olmalıydı. Ama sezgi yanılmıştı ve bunu gösteren de yine bir Pisagoryan olmuştu (M.Ö. 430 da Metaponti-on’lu Hippasos olduğu tahmin ediliyor). Bu kişi 4z nin rasyonel olmadığını kanıtladı. Bu kısa ve güzel kanıtı biz de bir kez burada anlatalım:
-4z nin rasyonel bir sayı olduğunu varsayalım ve çelişkiye ulaşalım. yfz rasyonel bir sayıysa, 4z =mjn ve m ile n aralarında asal
Öklid
tamsayılar olacak şekilde, yani m ile n nin 1 den büyük ortak böleni olmayacak şekilde yazabiliriz. Çünkü her rasyonel savı bu şekilde yazılabilir; payı ile paydası aralarında asal olmayan bir rasyonel sayıda ortak bölenler sadeleştirilerek istenen biçimin elde edilebildiğine dıkka: ediniz. , – =m n _k: tararın karesini z.-:z^k 2=*v- U’ Turadan
ne 2k koyarsak 4£-=2c- ve buradan n~=Zk- elde ederiz, yanı n de bir çift sayıdır. Sonuç olarak 2, m ile n nin ortak bölenidir, ama biz m ile n nin 1 den büyük ortak böleni olmadığını varsaymıştık. Böy-lece çelişkiye ulaştık: V2 rasyonel birsavı değildir!
Zamanla metamatikçiler, sezgilerin de yanılabileceğim ve sezgilerin doğru sayılabilmesi için mantıksal çıkarımlarla kanıtlanması gerektiğini anladılar. Bundan, sezgilerin matematikte öneminin azaldığı anlaşılmamalıdır. Tersine, matematikçiler kanıtlamadan kabul ettikleri genel gerçekleri -aksiyom ve postuladarı-koyarken, öncelikle sezgilerden yola çıktılar. Bunun yanında sezgi ve hayal gücü, teoremlerin bulunmasında belki de en önemli etken oldu.
M.Ö. 5. yüzyılın sonlarına doğru, Chios’ta yaşayan Hippokrates adlı bir matematikçi, yazdığı Ele-manlor adlı kitabında V2 nin rasyonel olmadığının kanıtını da yazıyordu. Bunu izleyen yıllarda, adı Elemanlar olan ve her biri öncekilerden daha sıkı bir mantık, daha basit aksiyomlar ve daha çok teorem içeren kitaplar yazıldı. Bunlardan, M.Ö. 300 yıllarında, İs-
kenderiye’de yazılanı o kadar başarılıydı ki, bu kitap hem kendisinden önce gelen tüm kitapları tarihten sildi, hem de Elemanlar serisinin sonuncusu oldu.
Öklid ve Elemanlar’ı
Öklid’in Elemanlar”ı hiç kuşkusuz insanlık tarihinin başyapıtlarından biridir. Bu eser bilimin ve matematiğin gelişimini öylesine etkilemiştir ki, eserin ortaya çıkışı bir dönüm noktası olmuş, kimi bilim tarihçileri bilimsel gelişmelerden söz ederken Öklid’den öncesi ve sonrası biçiminde tanımlamaları kullanmıştır.
Elemanlar aynı zamanda şimdiye kadar yazılmış en iyi ders kitabıdır. Binlerce kez basılmış ve 20. yüzyılın başına kadar, dünyanın hemen hemen tüm üniversitelerinde okutulan elemanter geometri derslerinin rakipsiz ders kitabı olmuştur. Bugün liselerde okutulan geometri kitapları da büyük olasılıkla Elemanlar’in modernize edilmiş biçimidir.
Bu anlattıklarımızdan sonra Elemanların en çok okunan kitaplar listesinde yerinin yüksek olduğunu duymak herhalde şaşırtıcı olmaz. Elemanlar, İncil ve Kzran’la. birlikte, insanlık tarihinin en çok okunan üç kitabından biridir.
Peki bu ünlü kitapta neler vardı? Kitap, 13 küçük kitaptan ve bu kitaplardaki toplam 465 teoremden oluşan dedüktif bir bilgi birikimiydi ve sadece büyük miktarda elamenter geometri değil aynı zamanda cebir ve sayılar kuramı ile ilgili kimi önemli sonuçları da içeriyordu. Ama bu eserin en önemli özelliği yöntemiydi. Bu y^öntem, kendisinden sonra yazılan hemen hemen tüm bilim ve matematik kitaplarına bir örnek oluşturuyordu. Şimdi Elemanların Aksiyomatik Yöntem diye de anılan yönteminden söz edelim.
Aksiyomatik Yöntem
Öklid’den kısa bir süre önce yaşamış olan Aristoteles, aksiyomatik yöntemi şöyle açıklıyordu:
Kantta yönelik her bilim, konusunun ilkelerini oluşturan varsayımlarla işe başlar. Bu varsayımların bir bölümü tüm bilim alanları için ortak niteliktedir (Aristoteles bunlara aksiyom adını veriyor); diğerleri her alanın kendi konusuna özgü ilkelerdir (Aristoteles bunlara postulat adım veriyor). Postulatlar, inceleme konusu nes-
«tr:
Yeni Bir Geometrinin Doğuşu
Tales
Pisagor
Matematik Dünyası
Çözmece
ti-vhî
sayılarından hangisi da^a fcüyJ<tur, 2. Dik kenarlarına uz un ” o ar ikizkenar dik üçgene >’er “CKtası dört değişik renkten bınyie Boyansın. Aralarındaki uzaKİ:k en azından
2-V2 olan aynı renkli ¡kı noktanın bulunduğunu gösteriniz.
Geçen Ayın Çözümleri
1. Çözümde Cauchy-Schwarz eşitsizliğini kullanacağız:
x1 ,…,xn,y1…..yr>0 olmak üzere
x1 y1+x2y2+—+xnyn
<(x12+…+xn2)1/2(y12+…+yn2)1/2dir. n = 2,
-İd -1
~ 1, X2 = 1, Y2 = Vb- 1 a p C-S eşitsizliğini kullanırsak bu eşitsizlik de gösterilmiş olur ve kanıt Diter.
2. BC üzerinde ISE=ISDI olacak şekilde E noktasını alalım. Böylece \AD\=\EC\ dir. Açıortay teoreminden
\AB\_ \AD\
ICB\~ \DC\ dir. ACED ve ACAB üçgenlerinde C açısı ortaktır ve
ICE\ \AD\ _\AB\ \AC\
ıcd\” \cd\~ ıceı ~ ıceı
dir. Buradan &CED-&CAB ve
m(CDE) = m{DC E) elde edilir.
lemlerinden biri olmuş. “Bu postulatın yerine bir başkası koyulursa acaba nasıl bir geometriyle karşılaşırız?” sorusunu ise ilk kez Gauss sormuş. Ardından Bolyai, Lo-baçevski ve diğerleri, ve matematikte yepyeni bir serüvenin kapıları aralanmış. Bu öyküye başlamadan önce, meraklılarına, beşinci postulatı kullanmadan kanıtlayabilecekleri bir teoremden söze-delim:
Teorem: Verilen bir sonlu doğru parçası üzerine bir eşkenar üçgen çizilebilir.
Kanıt: 1. AB verilen sonlu doğru parçası olsun, (teoremin hipotezi)
2. A merkezli, AB yarıçaplı bir çember çizelim, (postulat 3*
Playfair
niz teureTılen re?:r.-
m{DCE) = 2x
dersek
: . •
m(DE3 –ve ASSE■ <c :
:
yı =1, x2 = 1, Vc-1 = y2 alırsak
Va -1 + Vö-1 + Vc -1 Va-1-\C-J r > dir. Şimdi
l~a~-1 *\C-J <¿.1 olduğunu göstere* r *
neleri, bunlara ilişkin özt/►,^ ;*• ilişkileri belirlent n öne rtm it rdır. Örneğin geometride ‘nokta \ “çizgi’ nesneler varsayılmakta, ‘üçgen’, ‘’daire’ gibi tanımlanan diğer nesneler, varsayılan nesnelere dayanılarak inşa edilmektedir. Örneğin, “Tüm dik açılar eşittir” postulatı, bir küme nesnenin belli bir özelliğini dile getirmektedir.
Her ne kadar bu satırlar aksiyom, postulat ve tanımın ne olduğunu açıkça belirtmese de, zamanına göre oldukça ileri bir anlayışın ifadesidir.
Öklid, kanıtlamadan kabul ettiği 10 doğruluktan ilk beşini postulatlar, ikinci beşini ise genel doğrular olarak adlandırmıştır. Modern geometricilerin yapmadığı bu ayırım postulatların özel olarak geometrik varsayımlar, genel doğruların ise diğer bilimler için de geçerli olduğunun düşünülmesinden kaynaklanmaktadır.
Postulat 1. Herhangi bir noktadan, başka herhangi bir noktaya bir doğru çizilebilir.
Postulat 2. Bir doğru parçası doğrusal bir çizgi üzerinde sürekli uzatılabilir.
Postulat 3. Herhangi bir merkez ve herhangi bir uzaklıkla (yarıçap) bir çember belirlenebilir.
Öklid, açıkça yazmasa da, birinci postulattaki doğrunun ve üçüncü postulattaki çemberin tek olduğunu da varsaymıştır.
Postulat 4. Tüm dik açılar birbirine eşittir.
Postulat 5. tkı doğru düşen bir doğru, aynı taraftaki at açıları iki dik açıdan küçük yapıyorsa, iki doğru, yeterincc uzatıldığında, açıların iki dik açıdan küçük olduğu tarafta kesişir.
Öklid’in “Genel Doğrular” diye adlandırdığı ifadeler de şunlardı
1. Aynı şeye eşit olan şeyler birbirine eşittir.
2. Eşit olan şeylere eşit şeyler eklendiğinde sonuçlar eşit olur.
3. Eşit olan şeylerden eşit şeyler çıkarıldığında kalanlar eşittir.
4. Birbiriyle çakışan şeyler birbirine eşittir.
5. Bütün, parçasından büyüktür.
Bu on varsayımdan, beşinci postulat dışında kalan dokuzu, dikkatsiz bir okumada bile kolayca anlaşılıp, “Evet, gerçekten de öyle” dedirtiyor, ama beşinci postulat, diğerlerine göre oldukça uzun ve karışık ifadesiyle bir aksiyom ya da postulattan çok, kanıtlanması gereken bir teorem gibi duruyor. Zaten Öklid de bu postulatı olabildiğince geç kullanmaya çalışmış, şöyle ki Elemanlar’m ilk
28 teoremi beşinci postulat kullanılmadan kanıtlanmış. Belli ki Öklid’in kendisi de bu postulattan hiç hoşnut olmamış. Binlerce yıl boyunca, bu postulatın diğerlerinden çıkarılabileceğin düşünen ve bu postulatı kanıtlama yolunda yıllarını harcayan bir çok matematikçi olmuş ve bu problem matematik tarihinin en popüler prob-
5. A C ve B C yi çizelim, (postulat 1)
6. A C=AB (yarıçapın tanımı)
7. BC=AB (yarıçapın tanımı)
8. A C=B C (6, 7, genel doğru 1 )
9. ABC bir eşkenar üçgendir. (6,7,8, eşkenar üçgenin tanımı)
A 9-
ÆSSISk
J_
B
10. Böylece, verilen bir sonlu doğru parçası üzerine bir eşkenar üçgen çizilebilir, (genelleştirme) İşte bir teroem, beşinci postulat yardımı olmaksızın kanıtlandı. Öklid geometrisine ilişkin bildiği-