DÜZLEM ANALİTİK GEOMETRİSİ

DÜZLEM ANALİTİK GEOMETRİSİ
Düzlemdeki bir noktanın konumunu belirlemek için,
aynı düzlemde kesişen birbirine dik iki doğru (koordi­
nat eksenleri) gereklidir. Bu eksenlerin kesişme noktası,
“orijin” ya da “başlangıç noktası” diye adlandırılır ve
O’yla gösterilir.Genellikle x ekseni başlangıç noktasına
yatay, y ekseniyse düşey bir doğrudur. Pozitif x ekseni
başlangıç noktasının sağ tarafı, pozitif / ekseniyse baş­
langıç noktasının yukarı tarafıdır. Eksenler, yukarı sağda
birinci bölge, saat yönünün tersine aşağı sağda dördün­
cü bölge olarak, düzlemi dört bölgeye ayırır.
Düzlemde herhangi bir P noktasının x koordinatı
(apsis),P’nin y ekseninden dik olan uzaklığıdır; P, / ek­
seninin sağındaysa “pozitif” (birinci ya da dördüncü
bölgede), y ekseninde ise O, y ekseninin solundaysa
“negatif” diye adlandırılır. Benzer biçimde, P’nin y ko­
ordinatı (ordinat) P’ninx ekseninden dik olan uzaklığı­
dır ve “pozitif”, “sıfır” ya da “negatif” olabilir. P’nin apsi­
si x, ordinatı y ‘yse,(x,y) sayı çifti Pnoktasının değişmez
koordinat eksenlerine göre “kartezyen koordinatla­
radır (bu ad Descartes’ıh anısına verilmiştir). Örnek
olarak (3,-5), dördüncü bölgede üç birim y ekseninin
sağında ve beş birim xekseni altında yer alan Pnoktası-
nın kartezyen koordinatlarını belirtir. Her (x,y) gerçek
sayı çifti, düzlemde belirli ve karşılıklı tek bir nokta be­
lirtir. Başlangıç noktası (0,0) dır. (x, y) koordinatlı Pnok-
tası P(x,y) simgesiyle gösterilir.
Açıklanan bu koordinat sistemine, “dik kartezyen
koordinat sistemi” adı verilir. Eğik koordinat sistemleri
bu bölümde incelenmeyecektir.
Kutupsal koordinat sistemi, “başlangıç” ya da “ku­
tup” denilen değişmez bir
O
noktası ve bu noktadan
geçen, “kutup ekseni” denilen değişmez bir eksenden
oluşur. Düzlemde bir P noktası iki niceliği belirtmekle
yerleştirilebilir. (1) Kutup eksenini saat yönünün tersine
döndürerek P’den geçmesini sağlayan 0 açısı; (2) P
noktasının başlangıçtan pozitif uzaklığı olan r. Açı de­
ğişmez eksen çevresinde dönmeyi sağlayarak bir doğ­
ru belirler ve
r
uzaklığı, başlangıçtan P”yeulaşmak için
ne kadar birim uzunluk gerektiğini gösterir. Kutupsal
koordinatlarda P noktası, P(r,
0)
olarak
gösterilir
. Bir
kartezyen koordinat sisteminden öbürüne dönüşüm
yapmak, ayrıca bir kartezyen sisteminden, kutupsal sis­
teme karşılıklı dönüşüm yapmak olasılığı her zaman
vardır.
Düzlemde P(x,y) noktasının hareket ettirilmesi sonu­
cu oluşan şekil,’bir eğridir; x ve y gibi iki değişkenli bir
denklem, yalnızca eğri üstündeki noktalar tarafından
sağlanıyorsa ve öbür noktalar denklemi sağlamıyorsa,
buna “eğrinin denklemi” denir. Koordinat sistemi sabit
olduğundan, bir eğrinin tek bir denklemi vardır ve her
denklem tek bir eğriyi belirtir (analitik geometride sağ­
lanan cebir ve geometri arasındaki bağlantı);
ax+by+c=0
biçiminde herhangi bir birinci dereceden
denklem
(a, b
ve c), bir doğru denklemidir (ya da doğ­
rusal denklem).