Matematik Dünyası
Geçen sayıda pi ile bir gezintiye çıkmış ve ünlü Fransız matematikçi François Viete ile de kısa bir mola vermiştik. Gelin isterseniz, kaldığımız yerden serüvenimize devam edelim, ama öncelikle son olarak ele aldığımız Viete’nin o ilginç eşitliğini bir kez daha hatırlayalım:
2 _ V2 -¡2 + ^2 -<¡2 + ^2 + ^
K~ 2 2 2
(?)… Ve işte kanıtı.
Önce birim yarıçapa sahip bir daireyi ele alalım. Bu durumda 6=45° iken, secö kirişler karesinin bir kenarını verecektir. Aynı şekilde, düzgün kirişler sekizgeninin iki kenar toplamı da secftsec(0/2); düzgün kirişler onaltıgeninin dört kenar toplamını da sec0.sec(0/2).sec(0/4) verecek ve böyle devam edecektir. Böylelikle secftsec(0/2).sec(0/4)… -mt/2 olacak, yani çeyrek dairenin uzunluğuna vakınsayacaktır. Dolayısıyla 2/jr=cos0.cos(0/2).cos(0/4)… elde edilecektir.
Şimdi de
cos0 = -/2 / 2 ile
cos(0/2) = [(l + cos0)/2]1/2
cos(0/4) = [{l + cosi’0/2)}/2]ı;2
ve devam eden eşitlikleri kullanırsak, sözkonusu çarpıma ulaşacağımız açıktır. (Not: Bu eşitliği geçen sayıda kanıtladığımız ve Arşimet’in de kullandığı düzgün kirişler çokgenlerinin kenar uzunluklarına dair formülden yararlanarak çözmeniz de mümkün).
Bil gelişmelerden \’ıl gnnrı yani
görüldüğünden (ki 262 kenarla oturup hesap yapmak hiç kolay iş değil), dul eşi şimdi kayıp olan mezar taşına bu sayıyı yazdırmıştı. Bu nedenle günümüzde bu sayıya “Ludophine sayısı” olarak da rastlanmaktadır. 1621 ’de karşımıza yine bir Hollanda-
lI bilim adamı çıkmaktaydı: \Villeb-rord Snell. Sneell, pi yi hesaplamak için klasik bir metodu trigonometrik olarak geliştirmiş ve bu sayede pi için daha yakın sınır değerleri saptaması mümkün olmuştu. Bu metodla van Ceulen’in ömrünü verdiği pi nin 35 ondalık basamağını yalnızca 230 kenarlı çokgenlerle elde edebilmişti. Oysa klasik metod bu kenar sayısıyla ancak 15 ondalık basamağı vermekteydi. Diyebiliriz ki, Snell bu yeni açılım sayesinde pek çok matematikçinin ömrünü de uzatmış oluyordu. Bu arada ancak 1654 yılında Snell’in bu açılımının doğru ispatı getirilebilmişti. O da yine bir Hollandalı’dan; matematikçi ve fizikçi Christaan Huygens’den. Son olarak Grienber-ger’in Snell’in bu yeni açılımını kullanarak elde ettiği 32 ondalık basamakla (1630) hem çevre uzunlukları kullanılarak pi hesaplamaları yapılması hem de pi üzerinde uzun müddet devam eden HollandalI matematikçi egemenliği son buluyordu.
Artık 17. yüzyılın sonlarıydı ve İngiliz matematikçi John VVallis (1650) ilginç bir ifade bulmuştu:
K 2.2.4.4.6.6.8.8…
Z~ 1.3.3.5.5.7.7…
Ne yazık ki bu ifade pi nin daha geniş hesaplamalarında hiçbir katkıda bulunmamıştı. Ancak ardından (1671) tskoç metamatikçi James Gre-gory
F. Lindemann, 1882 yılında, pi rı’ın üstünlüğünü (transandant olduğunu) matematik camiasına duyurdu.
(İpucu: tan(4arctan(l/5)-arctan(l/239) )=1 ifadesini elbette bir tanjant açılımı ile birlikte kullanmanız yeterli olacaktır.)
İyi güzel de tüm bu ifadeler içinde kullandığımız n sembolü ne zaman ortaya çıkmıştı? Bu sembol aslında önceki dönemlerde İngiliz matematikçileri William Oughtred, Isa-ac Barrovv ve David Gregory tarafından dairenin çevresini temsil etmek için kullanılıyordu, ^yi çevrenin çapa oranı olarak ilk kullanansa, 1706’da basılmış bir yayınıyla, İngiliz yazar William Jones idi. Ancak sembol bu haliyle fazla kabul edilmemiş, üstad Euler 1737’de bir bakıma bu sembolü sahiplenerek belirsizliğe son vermişti.
Peki, bu pi nasıl bir sayıydı? Eli yüzü düzgün müydü? Şaka bir yana; pi nin rasyonel olup olmadığı, yani a ve b tamsayı olmak üzere alb olarak yazılıp yazılamayacağı hep merak konusu olmuştu. Bu yüzden matematikçiler pi nin ondalık basamaklarıyla uğraşıp durmuşlar, bir yerlerde basamakların önceki değerlerini tekrar etmesini beklemişlerdi. Böylelikle pi devirli bir ondalık sayı halinde yazıla-
verdiğiydi. Bu deneyi oldukça fazla sayıda tekrarlayıp başarılı durumları not alarak yukarıdaki formülle pi ye yaklaşık bir değer elde etmek elbette mümkündü. Bu yolla elde edilen en iyi sonuç ise 1901 ’de İtalyan Lazzeri-ni’den geldi. Topu topu 3408 kez çubuğu atmak suretiyle pi nin 6 ondalık basamağına ulaşabilmişti! Emin olun, onun bu sonucu bu yolu deneyenlerin elde ettiklerinden kat kat iyiydi. 1904 yılında da, R. Chartres bilinen bir gerçeğin uygulamasını ortaya koydu; rasgele yazılan iki pozitif tamsayının aralarında asal olma olasılığı 6/jfi idi.
Yıl 1794 ve Adrien-Marie Le-gendre 7T2 nin irrasyonelliğini gösteriyordu.
1841’de İngiltere’den William Rutherford, daha sonra ancak 152’si-nin doğru olduğu tespit edilen,/)/’ nin 208 ondalık basamağına ulaştı. Bunun için de Gregory’nin serisini şu eşitlikle birlikte kullandı: fl/4=4arctan(l/5)-arctan(l/70)+arctan (1/99)
1844 yılında, doğal bir hesap makinesi olan Zacharias Dase pi nin 200 ondalık basamağını doğru olarak elde etti. Ancak onun yetenekleri bununla sınırlı değildi. 8 basamaklı iki sayıyı 55 saniyede, 20 basamaklı olanları iki dakikada, 40 basamaklıları kırk dakikada ve 100 basamakları da 2 saat 45 dakikada çarpabiliyordu. Yine 52 dakikada aklıyla 100 basamaklı bir sayının karekökünü hesaplayabiliyordu. Hatta 7 000 000 ile 10 000 000 arasındaki sayıların çarpım tablosunu dahi oluşturmuştu. Ancak Dase genç bir yaşta, 37’sinde ölmüştü. Kimbilir belki daha uzun bir ömür, insanlığın bilgisayarlarla tanışmasını geciktire-bilirdi(? !).
Artık pi nin basamaklarını hesaplamak bir yarış haline gelmişti. Önce Rutherford (1853) probleme geri dönüş yaptı ve 400 ondalık basamağı
Serüvene Devam
Pi ile Bir Gezinti
377 3
– ~IfJXI> Töfi
esıtsızlteı olmıışrıı. Daha so
rı nin irrasyonel olduğunu kanıtlamıştı.
1 lıı vılınüa pt ye çok Farklı bir şekilde u’aşı’nT^ çalışıldı. Comte
1882’de is t pi nin. üstünlüğü tescil edildi. Tabii, bu pt nin matematik-sel anlamda Ustun tavnı zamanda
“askın” \a da “rnınv;!nri>ınr‘ \ .
için şu seri elde ediliyordu;
r
magını 2“ kenarlı çokgenleri klasik metodda kullanarak elde etti. Bu iş için hayatının büyük bir kısmını harcadığı ve başarısı oldukça olağandışı
Sharp’la aynı değeri kullanıp 112 ondalık basamağı elde etti.
(?) Machin’in kulandığı yukarıdaki eşitliğin ispatı da artık sizden.
düşürüldüğünü varsayın. İşte Buf-fon’ın gösterdiği bu çubuğun düzlemdeki doğrulardan birinin üstüne düşme olasılığını, p=2Hm ifadesinin
atıyor ve 20. yüzyılın başdöndürücü buluşlarına o da bizzat şahit olmak fırsatını buluyordu. 1946 yılında İngiltere’den D.F. Ferguson Shanks’ın
\ erdiği değerde 528. basamak-‘2s‘a\an hatalar buldu ve Ocak ‘ie 710 basamaklı düzeltilmiş a^kladı. \ynı ay Amerikalı Wrench, jr. 808 basamaklı birpi ‘ \avmladı, ancak yine Fergu-Unı sonra 723. basamakta bir ha-iidu. 1948 Ocak ayıyla beraber, usun ve Wrench birlikte 808 ba-
*m‘ l^’+irctand/’O’+arctan’1/19^55
2>ais^ıiK mayınına L-auuıaıuaiiaii nua bulunan elektronik bilgisiyar ENIAC
hilgisayarlarla pi nin daha fazla ondalık basamağı gün ışığına çıkarıldı. François Genuys, Wrench ile Daniel Shanks, M. Jean Guilloud gibi bilim adamları ayrı ayrı bu çalışmalarda yer aldılar ve 1973’te (Guilloud ve ekibi) pi yi 1 000 000’uncu ondalık basamağına ulaştırdılar.
1981 yılında pi nin üzerinde bu defa uzakdoğu rüzgarları esiyordu. Tsukuba Üniversitesinden iki Japon matematikçi Kazunori Miyoshi ve Kazuhika Nakayama FACOM M-200 bilgisayarı ile 137,30 saatte pi nin
2 000 038 hanesini hesapladılar. Bu esnada
*T=32arctan(l/10)-4arctan(l/239)-16arctan(l/515) formülünü kullanırken, Machin’in formülüyle kontrol etmeyi de ihmal etmemişlerdi. (Ne de olsa, birinin çıkıp “1 398 271. basamakta hatanız var!” demesini istemezlerdi).
Ocak 1986’da Kaliforniya’da bulunan NASA Ames Araştırma Merkezinden D. H. Bailey 28 saat boyunca feır Cray-2 süper bilgisayarını çalıştırarak 29 360 000 basamağı elde etti. Bu hesaplamayı Dalhouise Üniversitesi’nden J. M. ve P. D. Borwein’in ¿Igoritmasına dayanarak yapmıştı. Kısa bir süre sonra da Tokyo Üniversitesinden Yasumasa Kanada bir NEC >X~2 süper bilgisayarını yine Borwe-:r*!ar’ın algoritmasıyla kullanarak, pi
Çözmece
1.
.T = 4^cor12 r2 ‘=1
z c-ğunu gösterin.
2.3’ dairenin n adet düzgün doğ-‘_ya bölünmesi sonucunda elde sc ecek maksimum bölge sayısı -a;tr?
Geçen Ayın Çözümleri
1. S’={arctansls e S} olsun. O
o/ / TT 7T,
S c(–, —)
2 2
-e S’ 9 elemanlı bir küme ol-3j5-~3ar, farkları ıt/8 den az olan ve /?0=arctanb0 gibi
nin 134 217 700 basamağını elde etti. Son olaraksa Yasumasa Kanada’nm rekor kıran hesaplaması, yani pi nin
6 442 450 000 basamağı 1995 yılında elde ediîdi.
Elbette,/»/ için süren bu yarış devam edecek. Hem ondalık basamakları hesaplanacak hem de gizemli sayının özellikleri ortaya çıkarılmaya
bilir daha ka° tarih sayfasında kendine ver ıçmav! becerecek Bekleyip
Evet, doğru okudunuz. Bu salgı-
geldi, ancak halen yan etkilerine rastlanıyor. “Nereden nereye?” demeyin. Çünkü bu hastalığın da sorumlusu, artık yakından tanıdığınız pi. Hastalığın en önemli belirtisi, alanı bir daireninkine eşit olan kare çizme isteği… Belki de bu hastalık, daha doğrusu bu problem, yeryüzünde böylesi çok ve uzun ilgiyi görmüş tek problem. M.O. 1800’lere dek uzanıyor tarihçesi. Önce problemi Mısırlılar “çözmüş”. Karenin kenarını dairenin çapının 8/9’una eşit alarak işi halletmişler. Daha sonra eski Yunanlılar ele almış olayı. Anaxagoras, Sakızlı Hi-pokrat, Hippias, Dinostratus ve Arşi-met bu soru uğrunda ter dökmüşler. Ardından da bu soruyu çözdüğünü iddia eden bir kişi olmaksızın tek yıl geçmemiş. Zaten bundan ötürü 1755’de, Fransız Bilimler Akademisi bir daha daireyi kare yapma sorusunun çözümlerini incelemeyeceğini açıklamış.
İşte bu soruyu “çözenlerden” biri de, Sieur Mathulon. Bir amatör olmakla beraber, o da bu sorunun büyüsüne kapılmış ve 18. yüzyılda soruyu çözdüğünü ilan etmiş. Hatta kendisine öyle çok güveniyormuş ki, çözümünün yanlış olduğunu ispatlayana 1000 ecu (5 Frank değerinde gümüş Fransız parasıdır.) ödeyeceğini taahhüt etmiş ve bu parayı mahke-
en az iki elemanı vardır. 0<ao-/3o<7t/8 olduğunu varsayalım. O zaman
tan an – tan ß„
, 1 + tan a0 tan ß0 = tan (a0- ß0)
ve
O < tan (a„
o) =
< tan n / 8 = –
f2
olur.
2.
1
f(x) + f(-^) = — (1) 1-x^x-l
eşitliğimizde, x*0,1 olsun. O
zaman (x-1)/x*0,1 olur ve
(1)’de x yerine (x-1)/x koyarsak
me önünde de ödemek zorunda kalmış. Anlayacağınız, bu soru matematikçilerin yalnız zihinlerini değii keselerini de yoklamış.
Ancak 1882’de tüm umutlar Felix Klein’in öğrencisi Lindemann tarafından toprağa gömülmüş. Bu ismi önceki satırlardan hatırlamanız mümkün. Zaten daha önce yazdığımız;
ııu aııınınan iyin gu Lraja y^n-ıCı^
başvuralım: 1 birim uzunluktaki bir
\apiiaü w.vumier yalnızca
-r) ve KareKOKun y v ) uygulanmasıyla yeni uzunluklar ve kare alanları oluş-
sayı” olduğunu söylemek de doğru olur. İşte daha önce de bahsettiğimiz gibi, Lindemann’ın pi sayısının üstün olduğunu göstermiş olması; sorumuzun çözümünü olanaksız kılmıştır.
Pi için Değer Biçenler
Yazımıza son verirken pi nin uğradığı akıbetlerden de bahsetmeden geçmek istemedik. İlk örneğimiz, A.B.D. Indiana Eyaleti’nden? Olay, bir tıp doktoru olan Edwin Good-win’in pi için yeni bir değer bulup, bunu yasalaştırmak istemesiyle başlıyor. Hatta öyle iyi niyetli davranıyor ki, telif hakkını alacağı bu yeni değer için Indiana eyaletinden hiçbir ücret talep etmeyeceğini tasarısında belirtiyor. Yasa tasarısında şu sözcükler yer alıyor: “… ayrıca 90°’lik kiriş uzunluğunun yay uzunluğuna oranı 7/8’dir. Öte yandan karenin köşegeninin kenarına oranı 10/7’dir ki, bu şu önemli dördüncü gerçeği ortaya koymaktadır: Dairenin çapının çevresine oranı 5/4’ün 4’e oranıdır…”
(?) İşte bu satırlarda bir çelişki ortaya çıkıyor. Son olarak bunu bulmakta yine size düşüyor.
(İpucu: Hareket noktanız, pi nin değeri olsun.)
246 no lu tasarı, Bataklık Arazi Komisyonu, Eğitim Komisyonu gibi
f(—) + f(x) = 1-x (2) x
elde ederiz.
(2)’den (1)’i çıkarmamız bize
f(—)-f(—!-) = -*–(3)
x 1-x x-1
verecektir. Şimdi (3)’te x yerine (x-
1)/x koyarsak bu bize
f(—!-)-f(x) = ~ — + x (4)
1- x x
verecektir.
(4)’ten (1)’i çıkarırsak da
2f(x) = ^- + —-x (5) x-1 x
elde ederiz.
Tersine, eğer f (5) ile tanımlanırsa,
o zaman (1)’in de sağlandığı yine kolaylıkla elde edilebilir.
20. yüzyılın başdöndürücü hızıyla pi de ENIAC ile Maryland’de tanıştı.
çok ilgili komisyonlarca görüşüldükten sonra 1897’de 67 oya karşılık 0 oyla Temsilciler Meclisi’nde kabul ediliyor. Ardından Senato’ya ulaşan tasarı, Senato tarafından yine çok ilgili ve bilgili (?!) bir komisyon olan Alkollü İçkilerle Mücadele Komis-yonu’na havale ediliyor. Ancak tasarının gazete sütunlarına yansıdıktan sonra tepkilere uğraması rafa kaldırılmasına sebep oluyor.
1892 yılında ise New York Tribune gazetesinde bir yazar tarafından uzun yıllar bilinmeyen gizli bir keşfin duyurusu yapılıyor,/)/ nin tam olarak 3,2 değerine eşit olduğunun… Daha sonra bu yeni değer, pek çok taraftar toplamayı başarıyor. Tekrar 1931 ’de bu yazının yayınlanmasıyla beraber, Amerika’daki pek çok fakülte ve halk kütüphanesi yardımsever yazar tarafından gönderilip
ı 13
n = 3–
81
eşitliğini gösteren kalın kitaplar alıyor.
işte kendisine biçilen tüm bıı değerlere karşın pi, halen gizemini koruyarak yeni matematikçilerin kapısını aralamasını bekliyor. Tabu, sizin de..
Han Nazmı Ö/s vi.
Bılketıt Matematik Tep.i.iği
Kaynaklar
Büyük Larousse, cilt 18, Milliyet, İstanbul Eves, H., An Introduction to The Huton cf M schematics, Saunders College Publishing Jacobs, K-, Invitation to Matheir.atuj, Pnncn:'” University Press, Princeton New Jersrv 1992
Tepedenlioğlu, N., Kim Korkar Matemzıttî-‘ Amaç Yayınlan, Istanbul, 1990 httpi/Avww.ast.unuivie.ac.atAvasiPl ~r—
http://www.groups.des.st-and.ac uk/hasr:— B £-PicturesA’iete.jpeg http://\v\v\v.groups.dcs-St-and-2C.Lk.^-Si:*~ c z-Pictures/Lindemann jpeg