ÖDÜLLÜ SORULARIN YANITLARI

ÖDÜLLÜ SORULARIN YANITLARI

MATEMATİK:

1)   İstenilen eşitsizlik bir basım hatası sonu­cu 2A \T3r² olarak çıkmıştır. Doğrusu 2A ^ \Î3r² olacaktır. Değerlendirme, soruyu doğru yorum­layıp çözenler arasında yapılmıştır.

B o¹                      Eşkenar üçgenler

ABC ve A ’B’C’ olsun ve AB kenarı A ’B’ kenarını P, A ’C’ kenarını Q nok­talarında kessin. Şekil ,\x ,q      vj 60° ’tik dönme altında de-

b\~—l—              l\ / ğişmez olduğundan, iste-

, , nen alanı A ile gösterirsek, 0

A = alan (ABC)-3 alan (A ’PQ) olur. Simetriden, A’Q=AQ ve A’P ~ PB olduğundan A ’PQ üçge­ninin çevresi sabittir ve AB’nin uzunluğuna, rV~3’e eşittir. Çevreleri sabit olan üçgenler için­de alanı en büyük olanı eşkenar üçgenlerdir (ke­narlardan birini sabit tutarsak karşı köşe bir elips üzerinde hareket eder ve en büyük yükseklik di­ğer iki kenar eşit olunca elde edilir, yani iki ke­narı farklı bir üçgenin alanı maksimum olamaz). Dolayısıyla A ’PO üçgeninin alanı, kenarı 1/3 r^3 olunca maksimum olur ve değeri r²/4 VJ’dür. Bu ise A ’nın minimum olması demektir. O halde A nın en küçük değeri3 \Î3r²/4-3.r²/4\f3 = \/~3r²/2 olur. Bu ise 2A > \Î3 r² eşitsizliğine denktir.

2)  P, = P(x= 18), P=P(y = 18) ve P₃ = P (max (x,y) = 18) verilmiştir.

P₄=P(x= 18, y< 18); P₅ = P(x< 18, y = 18);

P₆ = P(x= 18, y = 18); P₇=P(x = 18,y> 18); P,_P(x> 18, y = 18) olsun. Bu durumda aşağıda­ki eşitlikler elde edilir.

P,=P₄ + Pö + P7 P2=Ps+P6 + P8 P3=P4 + Ps + P6 öte yandan

P(min(x,y) = 18) = P6 + P7 + Ps olur. Yukarıdaki üç eşitliğin toplanmasıyla

P,+P₂ + P₃ = (Pö+P?+ Ps) + 2(P₄+P₅ + Pö)

= P (min (x,y) = 18) +2P3, buradan da P(min (x,y) = 18) = Pı + P2—P3 elde edilir.

Not: Bu soruya yanıt gönderen okurlarımızın tamamına yakın bir bölümü, Erzurum ve Kars’taki sıcaklıkların (x ve y) bağımsız olmadıkları varsayımını gözardı ederek, bunla­rı bağımsız olaylarmış gibi alma hatasına düşmüşlerdir.

FİZİK:

1. 1.    Cıva yüzeyinin parabol olduğunu göste­rirsek, ışınların bir noktada odaklanacağını gös­termiş oluruz. Herhangi bir noktadaki cıva yü­zeyi, o noktaya etki yapan tüm kuvvetlerin bileş­kesine dik olacaktır. Eksenden r uzaklıkta bir nok­tanın yüzeyin dip noktasından yüksekliği h olsun. Yüzeyin bu noktadaki eğimi dh/dr olacaktır. Aynı noktaya r yönünde mu>²r kuvveti ve aşağı doğru mg küvetleri etki yapmaktadır. Bu kuvvetlerin bi­leşkesi teğete dik olacaktır. Dolayısıyla, bileşke ile mg kuvveti arasındaki açı, teğet ile r arasın­daki açıya eşittir. Bu açının tanjantı = dh/dr = uı ²r/g şeklinde yazılabilir. İki tarafın integralini alırsak, h = u>²r²/2g + h(r-o) elde edilir. Bu da parabol denklemidir.
2. 2.    Diskin içinde ve eksenden r uzaklıkta bir elektron üzerinde, r yönünde qoJrB magnetik kuvveti vardır. Elektronlar bu kuvvetin etkisiyle atomlarından uzaklaşacak ve r yönünde yük ku­tuplaşması, dolayısıyla onları geri çeken bir elek­trik alan oluşacaktır. Bu kutuplaşma, iki kuvvet denkleşene, yani E =^to rB olana kadar sürecek­tir. Bu elektrik alanını eksenden kenara kadar en­tegre edersek cua²B/2 elde edilir ki bu da iki tel arasındaki gerilimi verir. Nümerik değerler yeri­ne konulduğunda, 1 voltluk gerilim verebilcek açı­sal hızına =500 radyan/s olduğu bulunur.

MART SAYIMIZDAKİ SORULARI DOĞRU YANITLAYARAK ÖDÜL KAZANAN OKUYUCULARIMIZ:

Matematik dalında her iki soruyu da doğru yanıtlayan okuyucumuz çıkmamıştır.

FİZİK: Deniz ADIGÜZEL, Taner OĞÜZER, Tayfun SÖNMEZ (Ankara) Mükremin ER, Metin KARABAG (İstanbul)

Ferit ÖZTÜRK, M.Deniz ERTAŞ, Mehmet GENÇER (İzmir)