DİFERANSİYEL HESAP

DİFERANSİYEL HESAP; Alm. Differentialrechnung
(f), Fr. Calcul (m), différentiel, İng.
Differential Calculus. Matematikte y= f(x) gibi
bir fonksiyonda x bağımsız değişkeninde meydana
getirilen sonsuz küçük dx artımına karşılık,
bağımlı y değişkeninde meydana gelen dy artımı
ile ilgili hesaplar. Kelime olarak fark anlamına
gelir.
Türev: Matematik analizin önemli kavramlarından
biri. Bir fonksiyonun sonsuz küçük değişimlerini
inceleyen konu. En basiti dy/dx’tir ki, buna
fonksiyonun incelenen noktadaki türevi denir.
Geometrik olarak teğetin eğimi ile ilgilidir. Türevin
değişik bir fizik karşılığı da, hareket hâlinde
bulunan bir cismin âni hızıdır. Meselâ bir noktanın
doğru üzerindeki hareketi belirli bir noktadan olan
uzaklığı f (t) ile ölçülüyorsa, âni hızı df/dt olarak
belirtilir. Eğer artımlar sonlu bir değerde iseler, meselâ
y=f (x) fonksiyonunda x’deki Dx sonlu artımına
Dy = f(x + Dx) – f(x) artımı karşı gelir. Dx ve
Dy’ler küçüldükçe dx ve dy’e yaklaşırlar. Buna
göre y= f(x)in x0 noktasındaki türevi:
f W = Limf<X. + Dx)- f(X-,= L i . « ’ ‘ «
Dx fi 0 DX xfi x X- X O o
dır.
y = f(x) her noktada türevli ise
y. = d; = f w = * =D,f
dx dx
notasyonları kullanılır.
Maksimum ve minimum: Sürekli fonksiyonların
bir noktadaki teğeti yataysa bu nokta bir
maksimum veya minimum nokta olabilir. Bu ise
fonksiyonun türevi sıfıra eşitlenerek kolayca aranabilir.
Diferansiyel denklem: Matematiksel fizik ve
kimyâda olayları kontrol eden ifâdeler genellikle
fonksiyonu ve türevlerini ihtivâ ederler. İşte böyle
aranan fonksiyonun türevlerini de ihtivâ eden
denklemlere “diferansiyel denklem” denir. Meselâ
dy/dx = -ky bir diferansiyel denklemdir.
Kısmî türev: Eğer U gibi bir fonksiyon x,y ve
z gibi birden fazla bağımsız değişkene bağlı ise,U=U (x,y,z) bu hâlde türev işlemi her üç değişkene
göre yapılabilir. Bu hâlde türevi alınmayan bağımsız
değişken sâbit gibi kabûl edilir. Birden fazla
bağımsız değişken olmasındaki bu özel durum:
au
ax
au
uy
au
az
yazılarak ayırt edilir. Bilinmeyen fonksiyonların bu
çeşit türevlerini ihtivâ eden denklemlere ise kısmî
türevli diferansiyel denklemler denir.
Zincir kâidesi: Bir fonksiyonun bağımsız değişkeni,
başka bir bağımsız değişkenin fonksiyonu
ise, yâni z=z (y) ve y=y (x) ise, ilk fonksiyonun
esas bağımsız değişkene göre türevi zincir kâidesi
denilen:
dz
dx
dz dy
dy dx
ifâdesine göre hesaplanır.
Diferansiyel geometri: Matematiğin, türev
işleminin anlamlı olduğu uzayları bu vâsıta ile inceleyen
koludur. Fonksiyonun bağımsız değişken
sayısı uzayın koordinatlarına karşı getirtilebilir. İncelediği
temel büyüklükler eğri, yüzey, teğet, düzlem,
normal vektör olarak sayılabilir.
Târihî gelişim: Diferansiyel hesap üzerinde
batıda ilk çalışan İngiliz İsaac Newton’dur. 1665’te
yayınladığı çalışmalarında sonsuz küçük büyüklerden
bahsetmiştir. Ancak daha büyük bir katkıya
Alman Gottfriend Wilhelm Leibniz sâhiptir.
1673’te günümüzde de kullanılan dx sembolünü
vermiştir. Almanya’da tutulmayan eseri, İsviçre’de
Jakob ve Johann Bernoulli Kardeşler tarafından
dikkatlice tâkip edilmiş ve verilen hesap metodları
uygulanmıştır. Daha soılra bu alanda ilk çalışan
İtalyan Jacopo Riccatti, Leonhard Euler, N.H.
Abel ve Augustin Louis Cauchy olarak sayılabilir.